【模擬測試】數(shù)學高考押題卷附答案解析

2022年數(shù)學高考模擬測試試卷學校________??班級________??姓名________??成績________（滿分150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.已知多項選擇題的四個選項、、、中至少有兩個選項正確，規(guī)定：如果選擇了錯誤選項就不得分．若某題的正確答案是，某考生隨機選了兩個選項，則其得分的概率為（）A.B.C.D.3.不等式的解集是（）A.B.C.D.4.在的展開式中，常數(shù)項為（）A.B.C.D.5.設復數(shù)滿足，在復平面內對應的點到原點距離的最大值是（）A.B.C.D.6.在中，為的中點，為邊上的點，且，則（）A.B.C.D.7.勞動力調查是一項抽樣調查.2021年的勞動力調查以第七次人口普查的最新數(shù)據(jù)為基礎抽取相關住戶進入樣本，并且采用樣本輪換模式．勞動力調查的輪換是按照“”模式進行，即一個住戶連續(xù)受調查，在接下來的個月中不接受調查，然后再接受連續(xù)個月的調查，經(jīng)歷四次調查之后退出樣個月接本．調查進行時保持每月進入樣本接受第一次調查的新住戶數(shù)量相同．若從第個月開始，每個月都有的樣本接受第一次調查，的樣本接受第二次調查，本接受第四次調查，則的值為（）的樣本接受第三次調查，的樣A.B.C.D.8.已知為雙曲線右焦點，為雙曲線右支上一點，且位于軸上方，為漸近線上一點，為坐標原點．若四邊形為菱形，則雙曲線的離心率（）A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得分，部分選對的得2分．9.設函數(shù)的圖象為曲線，則（）A.將曲線向右平移個單位長度，與曲線重合B.將曲線上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，與曲線重合C.是曲線的一個對稱中心D.若，且，則的最小值為10.已知，且，則（）A.C.B.D.11.三棱錐的三視圖如圖，圖中所示頂點為棱錐對應頂點的投影，正視圖與側視圖是全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為的正方形，則（）A.該棱錐各面都是直角三角形B.直線C.點到底面12.若直線與曲線相交于不同兩點與所成角為的距離為D.該棱錐的外接球的表面積為，，曲線A，點處切線交于點，則（）A.B.C.D.存在，使得三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為_____.14.設是首項為的等比數(shù)列，是其前項和．若，則__________．15.有以下三個條件：①定義域不是；②值域為；③奇函數(shù)；寫出一個同時滿足以上條件的函數(shù)__________．16.設拋物線的焦點為，直線與交于，，與軸交于，若，則__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知為等差數(shù)列（1）求；的前項和，，．（2）記數(shù)列的前項和為，證明：．18.改革開放是我國發(fā)展最大“紅利”，自1978年以來，隨著我國社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，人民生活水平的不斷提高以及醫(yī)療衛(wèi)生保障體系的逐步完善，我國人口平均預期壽命繼續(xù)延長，國民整體健康水平有較大幅度的提高．下表數(shù)據(jù)反應了我國改革開放三十余年的人口平均預期壽命變化．人口平均預期壽命變化表單位：歲年份年份代碼人口平均預期壽命1981199020002010（1）散點圖如上圖所示，可用線性回歸模型擬合與的關系，已知回歸方程中的斜率；，且，求（2）關于2020年我國人口平均預期壽命的統(tǒng)計數(shù)據(jù)迄今暫未公布，依據(jù)線性回歸（結果保留兩位小方程，對進行預測并給出預測值數(shù)），結合散點圖的發(fā)展趨勢，估計與的大小關系，并說明理由．19.如圖，在多面體中，底面為正方形，，平面平面，，．（1）判斷平面與平面交線與的位置關系，并說明理由；（2）求平面20.在與平面中，角所成二面角大小．，，的對邊分別為，，．，邊上的高為．（1）若，求．的周長；（2）求的最大值．，求21.已知函數(shù)（1）若的取值范圍；（2）若22.已知有兩個零點，，且，證明：．、分別為橢圓的左頂點和下頂點，為直線上的動點，的最小值為．（1）求（2）設的方程；與的另一交點為，與的另一交點為，問：是否存在點，使得四邊形為梯形，若存在，求點坐標；若不存在，請說明理由．答案與解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合A.，，則（）B.C.D.[答案]C[解析][分析]先化簡集合Q，再利用集合的交集運算求解.[詳解]因為所以，，故選：C2.已知多項選擇題的四個選項、、、中至少有兩個選項正確，規(guī)定：如果選擇了錯誤選項就不得分．若某題的正確答案是，某考生隨機選了兩個選項，則其得分的概率為（）A.B.C.D.[答案]A[解析][分析]利用古典概型的概率公式求解.[詳解]由題得從4個選項里選兩個選項，共有種方法，從3個正確選項里選擇兩個選項，共有種方法.由古典概型的概率公式得所求的概率為.故選：A[點睛]方法點睛：利用古典概型的概率公式求解，先要求出基本事件的總數(shù)，再求出事件A的基本事件的數(shù)量，再利用古典概型的概率公式求解.3.不等式的解集是（）A.B.C.D.[答案]B[解析][分析]在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，先求得[詳解]再同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示：的解，然后由圖象寫出的解集.當時，解得，由圖象知：的解集是故選：B4.在的展開式中，常數(shù)項為（）A.B.C.D.[答案]D[解析][分析]寫出二項式展開式的通項公式求出常數(shù)項.[詳解]展開式的通項，令常數(shù)項故選：D．，[點睛]方法點睛：本題考查二項定理.二項展開式問題的常見類型及解法:(1)求展開式中的特定項或其系數(shù)．可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可．(2)已知展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù)．可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù)．5.設復數(shù)滿足，在復平面內對應的點到原點距離的最大值是（）A.B.C.D.[答案]D[解析][分析]根據(jù)復數(shù)模的幾何意義可求得結果.[詳解]設，則，所以，即，所以復數(shù)對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以.所以復平面內對應的點到原點距離的最大值是.故選：D6.在中，為的中點，為邊上的點，且，則（）A.B.C.D.[答案]B[解析][分析]根據(jù)平面向量的線性加減運算以及向量的基底表示化簡判斷.[詳解]如圖，可知.故選：B7.勞動力調查是一項抽樣調查.2021年的勞動力調查以第七次人口普查的最新數(shù)據(jù)為基礎抽取相關住戶進入樣本，并且采用樣本輪換模式．勞動力調查的輪換是按照“”模式進行，即一個住戶連續(xù)個月接受調查，在接下來的個月中不接受調查，然后再接受連續(xù)個月的調查，經(jīng)歷四次調查之后退出樣本．調查進行時保持每月進入樣本接受第一次調查的新住戶數(shù)量相同．若從第個月開始，每個月都有的樣本接受第一次調查，的樣本接受第二次調查，的樣本接受第三次調查，的樣本接受第四次調查，則的值為（）A.B.C.D.[答案]C[解析][分析]假設每月新增一組人，將其編號為1,2,3,4,……，然后分析每個月接受調查的情況，即可判斷.[詳解]假設每月新增一組人，將其編號為1,2,3,4,……，則每個月接受調查的情況為：1月：1；2月：1,2；3月：2,3；4月：3,4；5月：4,5；6月：5,6；7月：6,7；8月：7,8；9月：8,9；10月：9,10；11月：10,11；12月：11,12；13月：12,13,1；14月：14,13,2,1；15月：15,14,3,2；可知到第14個月開始，接受調查的有4組，并且分別是第一次調查、第二次調查、第三次調查和第四次調查.故選：C.8.已知為雙曲線且位于軸上方，為漸近線上一點，為坐標原點．若四邊形（）的右焦點，為雙曲線右支上一點，為菱形，則雙曲線的離心率A.B.C.D.[答案]D[解析][分析]設，由，求得，再設，代入雙曲線的方程，求得，且漸近線方程，，利用，和雙曲線的離心率的定義，即可求解.[詳解]由題意，雙曲線的焦點因為四邊形設為菱形，如圖所示，，因為，解得，可得，即，，設，代入雙曲線的方程，可得，可得又由，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：D.[點睛]求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得分，部分選對的得2分．9.設函數(shù)A.將曲線B.將曲線C.的圖象為曲線，則（）向右平移個單位長度，與曲線重合上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，與曲線重合是曲線的一個對稱中心D.若，且，則的最小值為[答案]BD[解析][分析]A：根據(jù)正弦型函數(shù)圖象變換的規(guī)律進行判斷即可；B：根據(jù)正弦型函數(shù)圖象變換的規(guī)律進行判斷即可；C：根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性進行判斷即可；D：根據(jù)正弦型函數(shù)的零點進行判斷即可；[詳解]A：曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)，顯然該函數(shù)的圖象與曲線不重合，故本說法不正確；B：由曲線上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可得，故本說法正確；C：因為，所以點不是該函數(shù)的對稱中心，故本選項不正確；D：由，可得因為所以即，所以，，，因為，，所以的最小值為1，的最小值為，故本選項正確，故選：BD10.已知A.，且，則（）B.C.D.[答案]ACD[解析][分析]利用不等式的性質和基本不等式的應用，結合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，對選項逐一分析判斷.[詳解]因為，且，對A，，所以，故A正確；對B，取，所以，故B錯誤；對C，，當且僅當，取等號，又因為，當且僅當取等號，所以，當且僅當取等號，因為，所以，所以不能取等號，故C正確；對D，當；當，，所以，當且僅當取等號，因為，所以不能取等號，故D正確.故選：ACD.[點睛]在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．11.三棱錐的三視圖如圖，圖中所示頂點為棱錐對應頂點的投影，正視圖與側視圖是全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為的正方形，則（）A.該棱錐各面都是直角三角形B.直線與所成角為C.點到底面[答案]CD[解析]的距離為D.該棱錐的外接球的表面積為[分析]根據(jù)三視圖可知三棱錐幾何特征，即可逐項分析.[詳解]由三視圖可知三棱錐的底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，且，如圖，其中為等邊三角形，故A錯誤；由側視圖可知直線與所成角為，故B錯誤；由正視圖，側視圖可知點到底面由條件可知三棱錐外接球直徑為故選：CD的距離為，故C正確；，所以，故D正確.[點睛]關鍵點點睛：根據(jù)三視圖可知，三棱錐為正方體中的邊，面上的對角線，體對角線構成的三棱錐，邊長分別為1，，屬于中檔題.12.若直線與曲線相交于不同兩點，，曲線在A，點處切線交于點，則（）A.C.B.D.存在，使得[答案]ABC[解析][分析]對于A：求出過原點的切線的斜率為，根據(jù)直線與曲線有兩個不同的交點，可得出和范圍；對于B：由已知得，，不妨設，則，分別求出在點A，點B處的切線方程，由兩切線方程求得交點的橫坐標，可得結論；對于C：要證.構造函數(shù)，即證，，即證，因為，所以需證，求導，分析導函數(shù)的正負，得出所構造的函數(shù)的單調性和最值，可得結論；對于D：設直線AM交軸于C，直線BM交軸于點D，作軸于點E．若，則，即，根據(jù)正切函數(shù)的差角公式和切線的斜率得，[詳解]對于A：當時，直線與曲線沒有兩個不同交點，所以，如圖1所示，當直線與曲線相切時，設切點為，代入點，則，所以切線方程為：相切，解得，此時，所以直線與曲線所以當當時直線與曲線與曲線，有兩個不同的交點，時，直線沒有交點，故A正確；對于B：由已知得，不妨設，則，又在點A處的切線方程為：，在點B處的切線方程為，兩式相減得，將，代入得，因為，所以，令，即，故B正確；對于C：要證，即證，即證與，因為，所以需證.令，則，則點A、B是的兩個交點，令，所以，令，則，所以當，所以時，，，單調遞減，而即，所以，所以時，單調遞減，所以，，又，所以，，而以，所以當時，單調遞增，又，，所，則，即，故C正確；對于D：設直線AM交軸于C，直線BM交軸于點D，作軸于點E．若，即，所以，化簡得，即，所以，即，令，則，又，所以，而，所以方程無解，所以不存在，使得，故D不正確，故選：ABC．[點睛]方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為_____.[答案][解析][分析]依據(jù)展開圖與圓錐的對應關系列方程解出圓錐的底面半徑和母線長，求出圓錐的高，得出體積.[詳解]解：設圓錐的底面半徑為，母線長為，則，解得，∴圓錐的高，∴圓錐的體積.故答案為：.[點睛]本題考查了圓錐的側面展開圖，圓錐的結構特征，圓錐的體積計算，屬于基礎題.14.設[答案][解析]是首項為的等比數(shù)列，是其前項和．若，則__________．[分析]根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求出結果.[詳解]設等比數(shù)列的公比為，，將則代入得，得，所以.故答案為：15.有以下三個條件：①定義域不是；②值域為；③奇函數(shù)；寫出一個同時滿足以上條件的函數(shù)__________．[答案][解析]，或或等[分析]列舉出滿足三個已知條件的函數(shù)即可.[詳解]滿足已知的函數(shù)為，或或或等.（答案不唯一）故答案為：，或等.（答案不唯一）16.設拋物線的焦點為，直線，則與交于，，與軸交于__________．，若[答案][解析][分析]由題設知直線必過F點，且在，之間，，聯(lián)立拋物線和直線方程整理并結合韋達定理有，而由拋物線定義可得，即可列方程求，進而求.[詳解]由題設知：∴在，，而直線過點，又，之間，且，，即，聯(lián)立拋物線與直線方程，若，整理得且，，則，而，∴，可得，即.故答案為：.[點睛]關鍵點點睛：判斷直線過F且在，之間，，由勾股定理得，聯(lián)立拋物線和直線，結合韋達定理及拋物線定義得，即可求.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知（1）求為等差數(shù)列；的前項和，，．（2）記數(shù)列的前項和為，證明：．[答案]（1）[解析]；（2）證明見解析．[分析]（1）由已知等差數(shù)列的前n項和求基本量，寫出即可；（2）利用裂項求和法求[詳解]（1）設等差數(shù)列，應用放縮法證明不等式.的公差為，則，∴由題意，有，得，．∴．（2），∴，．18.改革開放是我國發(fā)展的最大“紅利”，自1978年以來，隨著我國社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，人民生活水平的不斷提高以及醫(yī)療衛(wèi)生保障體系的逐步完善，我國人口平均預期壽命繼續(xù)延長，國民整體健康水平有較大幅度的提高．下表數(shù)據(jù)反應了我國改革開放三十余年的人口平均預期壽命變化．人口平均預期壽命變化表單位：歲年份1981199020002010年份代碼人口平均預期壽命（1）散點圖如上圖所示，可用線性回歸模型擬合與的關系，已知回歸方程，且，求；中的斜率（2）關于2020年我國人口平均預期壽命的統(tǒng)計數(shù)據(jù)迄今暫未公布，依據(jù)線性回歸方程，對進行預測并給出預測值明理由．（結果保留兩位小數(shù)），結合散點圖的發(fā)展趨勢，估計與的大小關系，并說[答案]（1）[解析]；（2）；；答案見解析．[分析]（1）先求出，再把樣本中心點的坐標代入回歸方程即得解；（2）2020年對應的年份代碼[詳解]解：（1），求出即得解.，．（2）2020年對應的年份代碼，．從散點圖的發(fā)展趨勢可以得出：隨著年份代碼增加，人口平均預期壽命提高的越快．因此，估計．[點睛]結論點睛：散點是否在回歸直線上，不能確定，但是，樣本中心點是回歸直線的一個重要性質.一定在回歸直線上.這19.如圖，在多面體中，底面．為正方形，，平面平面，，（1）判斷平面與平面的交線與的位置關系，并說明理由；（2）求平面[答案]（1）[解析]與平面所成二面角的大?。?；答案見解析；（2）．[分析]（1）（2）先證明，證明見解析；，再利用向量法求解即可.[詳解]解：（1）由，，可知延長，交于一點設為．過點作的平行線即為，，理由如下：由題意可知，平面，平面，則平面．又平面，平面平面，則．（2）由，，，，得，，又，則，所以，由題意可知，點向平面引垂線，垂足落在上，設為，則．以為原點，以，的方向分別為軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．，，，則，，設平面由的法向量為，，得，，可取，，，則，設平面的法向量為，同理可得，因為，所以平面與平面平面，即平面平面，所以，平面所成二面角的大小為．[點睛]方法點睛：二面角的求法：方法一：（幾何法）找作（定義法、三垂線法、垂面法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出兩個平面的法向量；再代入公式（其中分別是兩個平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通過觀察二面角的大小選擇“”號）20.在中，角，，，求的對邊分別為，，．，邊上的高為．（1）若（2）求的周長；的最大值．[答案]（1）[解析]；（2）．[分析]（1）由三角形面積公式可得，，結合余弦定理，可得，即可得的周長；（2）由（1）和正弦定理可得，，轉化為三角函數(shù)以后利用輔助角公式化簡運算，由，根據(jù)三角函數(shù)的性質求解最大值.[詳解]解：（1）依題意，可得，因為，所以．由余弦定理得，因此故，即．．的周長為（2）由（1）及