2017版數(shù)學(xué)知識(shí)方法篇專題1集合與常用邏輯用語(yǔ)二第2練含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2練用好邏輯用語(yǔ),突破充要條件［題型分析·高考展望]邏輯用語(yǔ)是高考?？純?nèi)容，充分、必要條件是重點(diǎn)考查內(nèi)容，題型基本都是選擇題、填空題，題目難度以低、中檔為主，在二輪復(fù)習(xí)中，本部分應(yīng)該重點(diǎn)掌握四種命題的真假判斷、否命題與命題的否定的區(qū)別、含有量詞的命題的否定的求法、充分必要條件的判定與應(yīng)用，這些知識(shí)被考查的概率都較高,特別是充分、必要條件幾乎每年都有考查。體驗(yàn)高考1.（2015·山東)若m∈R，命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題是()A.若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m＞0B。若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m≤0C.若方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)根，則m＞0D.若方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)根，則m≤0答案D解析原命題為“若p,則q”,則其逆否命題為“若綈q，則綈p”.∴所求命題為“若方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)根，則m≤0"。2。（2015·天津)設(shè)x∈R,則“|x－2｜＜1”是“x2＋x－2＞0”的()A。充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D。既不充分也不必要條件答案A解析|x－2|＜1?－1＜x－2＜1?1＜x＜3，x2＋x－2＞0?x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要條件，故選A。3.(2015·重慶）“x＞1”是“l(fā)og（x＋2）＜0”的()A。充要條件B。充分不必要條件C.必要不充分條件D。既不充分也不必要條件答案B解析log(x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1，因此選B.4。（2016·北京)設(shè)a，b是向量，則“|a｜＝｜b|”是“|a＋b｜＝|a－b|”的（）A.充分不必要條件B。必要不充分條件C。充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案D解析由|a＋b|＝｜a－b｜?(a＋b）2＝（a－b)2?a·b＝0?a⊥b，故是既不充分也不必要條件，故選D。5。(2016·浙江)命題“?x∈R，?n∈N＊，使得n≥x2”的否定形式是（）A.?x∈R,?n∈N＊，使得n＜x2B。?x∈R，?n∈N＊，使得n＜x2C。?x∈R，?n∈N*,使得n＜x2D.?x∈R，?n∈N＊,使得n＜x2答案D解析全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，n≥x2的否定是n＜x2,故選D.高考必會(huì)題型題型一命題及其真假判斷常用結(jié)論：（1）原命題與逆否命題等價(jià)，同一個(gè)命題的逆命題、否命題等價(jià)；（2）四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為偶數(shù);（3)只有p、q都假，p∨q假，否則為真,只有p、q都真，p∧q真,否則為假；(4）全稱命題的否定為特稱命題,特稱命題的否定為全稱命題，一個(gè)命題與其否定不會(huì)同真假.例1(1）（2015·安徽)已知m,n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B.若m,n平行于同一平面，則m與n平行C.若α，β不平行,則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D。若m，n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面（2）命題p:若sinx＞siny，則x＞y;命題q：x2＋y2≥2xy。下列命題為假命題的是（)A.p或qB.p且qC。qD.綈p答案（1）D(2)B解析（1）對(duì)于A,α，β垂直于同一平面，α，β關(guān)系不確定,故A錯(cuò)；對(duì)于B，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯(cuò)；對(duì)于C，α，β不平行，但α內(nèi)能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故C錯(cuò)；對(duì)于D，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項(xiàng)，故D正確。(2）取x＝eq\f（π,3),y＝eq\f（5π，6)，可知命題p不正確；由（x－y)2≥0恒成立,可知命題q正確，故綈p為真命題，p或q是真命題，p且q是假命題。點(diǎn)評(píng)利用等價(jià)命題判斷命題的真假，是判斷命題真假快捷有效的方法。在解答時(shí)要有意識(shí)地去練習(xí)。變式訓(xùn)練1已知命題p：?x∈R，x2＞0,命題q：?α,β∈R，使tan（α＋β)＝tanα＋tanβ,則下列命題為真命題的是（)A。p∧q B.p∨（綈q)C.（綈p)∧q D.p∧（綈q）答案C解析因?yàn)?x∈R,x2≥0，所以命題p是假命題,因?yàn)楫?dāng)α＝－β時(shí)，tan(α＋β）＝tanα＋tanβ，所以命題q是真命題，所以p∧q是假命題，p∨(綈q)是假命題，（綈p）∧q是真命題，p∧（綈q)是假命題.題型二充分條件與必要條件例2（1）(2015·北京)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α.則“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要條件B。必要不充分條件C.充分必要條件D。既不充分也不必要條件答案B解析m?α，m∥β?α∥β，但m?α，α∥β?m∥β，所以“m∥β”是“α∥β"的必要不充分條件。（2)已知（x＋1）（2－x）≥0的解為條件p，關(guān)于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1＜0（m＞－eq\f(2,3))的解為條件q.①若p是q的充分不必要條件時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②若綈p是綈q的充分不必要條件時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解①設(shè)條件p的解集為集合A,則A＝{x｜－1≤x≤2}，設(shè)條件q的解集為集合B，則B＝｛x｜－2m－1＜x＜m＋1｝，若p是q的充分不必要條件，則A是B的真子集eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＋1＞2，,－2m－1＜－1，,m＞－\f（2,3)，））解得m＞1。②若綈p是綈q的充分不必要條件，則B是A的真子集eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＋1≤2,,－2m－1≥－1,,m＞－\f（2，3)。))解得－eq\f(2，3)＜m≤0。點(diǎn)評(píng)判斷充分、必要條件時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題（1)先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A。（2)舉出反例：如果從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行時(shí)，可以通過(guò)舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明。（3）準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：若綈p是綈q的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件,那么p是q的充要條件.變式訓(xùn)練2(2015·湖北）設(shè)a1，a2，…,an∈R，n≥3。若p:a1，a2，…,an成等比數(shù)列;q:（aeq\o\al（2，1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al（2，n－1))·（aeq\o\al（2，2）＋aeq\o\al（2，3)＋…＋aeq\o\al(2,n)）＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2，則（）A.p是q的必要條件，但不是q的充分條件B。p是q的充分條件，但不是q的必要條件C.p是q的充分必要條件D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件答案B解析若p成立，設(shè)a1,a2,…,an的公比為q，則（aeq\o\al(2,1）＋aeq\o\al（2,2）＋…＋aeq\o\al(2,n－1))(aeq\o\al（2,2)＋aeq\o\al（2，3)＋…＋aeq\o\al(2,n))＝aeq\o\al（2,1)(1＋q2＋…＋q2n－4)·aeq\o\al（2，2)(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aeq\o\al（2，1)aeq\o\al(2,2）(1＋q2＋…＋q2n－4）2,（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2＝(a1a2）2(1＋q2＋…＋q2n－4）2，故q成立，故p是q的充分條件。取a1＝a2＝…＝an＝0,則q成立，而p不成立,故p不是q的必要條件，故選B.題型三與命題有關(guān)的綜合問(wèn)題例3下列敘述正確的是(）A.命題：?x0∈R,使xeq\o\al（3，0)＋sinx0＋2〈0的否定為：?x∈R,均有x3＋sinx＋2<0B。命題:“若x2＝1,則x＝1或x＝－1”的逆否命題為：若x≠1或x≠－1,則x2≠1C。已知n∈N，則冪函數(shù)y＝x3n－7為偶函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n＝1D.函數(shù)y＝log2eq\f（x＋m，3－x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0）中心對(duì)稱的充分必要條件為m＝±1答案C解析A：命題：?x0∈R，使xeq\o\al(3,0）＋sinx0＋2<0的否定為：?x∈R,均有x3＋sinx＋2≥0，故A錯(cuò)誤；B：命題：若x2＝1，則x＝1或x＝－1的逆否命題為：若x≠1且x≠－1，則x2≠1，故B錯(cuò)誤；C:因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x3n－7在x∈（0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3n－7〈0,解得n〈eq\f(7，3），又n∈N，所以n＝0，1或2；又y＝x3n－7為偶函數(shù)，所以，n＝1,即冪函數(shù)y＝x3n－7為偶函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n＝1,C正確；D：令y＝f（x）＝log2eq\f(x＋m，3－x），由其圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱,得f（x)＋f（2－x)＝0,即log2eq\f（x＋m，3－x）＋log2eq\f(2－x＋m，3－2－x）＝log2eq\f(x＋m2＋m－x,3－x1＋x)＝0，eq\f（x＋m2＋m－x,3－x1＋x）＝1。整理得：m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3，當(dāng)m＝－3時(shí)，eq\f(x＋m,3－x）＝－1<0，y＝log2eq\f(x＋m,3－x)無(wú)意義，故m＝1.所以，函數(shù)y＝log2eq\f（x＋m,3－x)圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0)中心對(duì)稱的充分必要條件為m＝1，故D錯(cuò)誤。點(diǎn)評(píng)解決此類問(wèn)題需要對(duì)每一個(gè)命題逐一作出判斷，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，這是破解此類問(wèn)題的前提條件。若需證明某命題為真，需要根據(jù)有關(guān)知識(shí)作出邏輯證明，但若需要證明某命題為假，只要舉出一個(gè)反例即可,因此，“找反例”是破解此類問(wèn)題的重要方法之一。變式訓(xùn)練3下列命題:①若ac2＞bc2，則a＞b;②若sinα＝sinβ，則α＝β；③“實(shí)數(shù)a＝0”是“直線x－2ay＝1和直線2x－2ay＝1平行”的充要條件;④若f(x）＝log2x，則f(｜x｜）是偶函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是________。答案①③④解析對(duì)于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正確;對(duì)于②，sin30°＝sin150°?30°＝150°，∴②錯(cuò)誤；對(duì)于③，l1∥l2?A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a?a＝0且A1C2≠A2C1，∴③正確；④顯然正確.高考題型精練1.已知復(fù)數(shù)z＝eq\f（a＋3i,i)(a∈R,i為虛數(shù)單位)，則“a＞0”是“z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的()A.充分不必要條件B。必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析z＝eq\f(a＋3i，i)＝－（a＋3i)i＝3－ai，若z位于第四象限,則a＞0,反之也成立,所以“a＞0”是“z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的充要條件。2。已知條件p:x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1,則p是q的(）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D。既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)閜：x＋y≠－2,q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因?yàn)榻恞?綈p但綈p?綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件.3.(2015·湖北)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p:l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交,則（）A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件C.p是q的充分必要條件D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件答案A解析兩直線異面,則兩直線一定無(wú)交點(diǎn)，即兩直線一定不相交；而兩直線不相交，有可能是平行，不一定異面，故兩直線異面是兩直線不相交的充分不必要條件，故選A.4。(2016·天津)設(shè)｛an｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0"的(）A.充要條件B.充分不必要條件C。必要不充分條件D。既不充分也不必要條件答案C解析由題意得，a2n－1＋a2n＜0?a1(q2n－2＋q2n－1)＜0?q2（n－1)（q＋1）＜0?q∈(－∞，－1)，故是必要不充分條件，故選C.5.設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC,BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的（)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C。充分必要條件D。既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí)，必有對(duì)角線互相垂直，即AC⊥BD；當(dāng)四邊形ABCD中AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD不一定是菱形，還需要AC與BD互相平分。綜上知，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD"的充分不必要條件。6.已知命題p：?x∈R,x3＜x4;命題q:?x0∈R，sinx0－cosx0＝－eq\r（2)，則下列命題中為真命題的是（)A.p∧q B.(綈p)∧qC。p∧（綈q) D。(綈p）∧(綈q)答案B解析若x3＜x4，則x＜0或x＞1,∴命題p為假命題；若sinx－cosx＝eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（π，4））)＝－eq\r（2），則x－eq\f(π,4)＝eq\f(3π，2）＋2kπ(k∈Z），即x＝eq\f（7π，4)＋2kπ(k∈Z），∴命題q為真命題，∴(綈p)∧q為真命題.7。(2016·四川)設(shè)p:實(shí)數(shù)x，y滿足(x－1)2＋（y－1)2≤2，q：實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y≥x－1，，y≥1－x，,y≤1,））則p是q的（）A。必要不充分條件B。充分不必要條件C.充要條件D。既不充分也不必要條件答案A解析畫出可行域（如圖所示),可知命題q中不等式組表示的平面區(qū)域△ABC在命題p中不等式表示的圓盤內(nèi),故選A。8.下列5個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（)①“若log2a＞0，則函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題；②m＝3是直線(m＋3）x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直的充要條件；③已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則線性回歸方程為eq\o（y，\s\up6（^))＝1.23x＋0.08；④若實(shí)數(shù)x，y∈［－1，1］,則滿足x2＋y2≥1的概率為eq\f（π，4）；⑤命題“若a∈M，則b?M"與命題“若b∈M,則a?M"等價(jià)。A。2B.3C.4D。5答案A解析①錯(cuò)，若log2a＞0＝log21，則a＞1，所以函數(shù)f(x)＝logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù);②錯(cuò)，當(dāng)m＝0時(shí)，兩直線也垂直，所以m＝3是兩直線垂直的充分不必要條件；③正確，將樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)代入，滿足方程；④錯(cuò)，實(shí)數(shù)x，y∈［－1，1］表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，而x2＋y2＜1所表示的平面區(qū)域的面積為π，所以滿足x2＋y2≥1的概率為eq\f（4－π，4）；⑤正確，不難看出，命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”是互為逆否命題，因此二者等價(jià)，所以正確。9。已知命題p:實(shí)數(shù)m滿足m2＋12a2＜7am(a＞0），命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程eq\f（x2,m－1)＋eq\f（y2,2－m)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,且p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍為_(kāi)_______.答案eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1，3），\f（3，8）））解析由a＞0，m2－7am＋12a2＜0,得3a＜m＜4a，即命題p：3a＜m＜4a，a＞0。由eq\f（x2,m－1)＋eq\f（y2，2－m）＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可得2－m＞m－1＞0，解得1＜m＜eq\f（3,2）,即命題q：1＜m＜eq\f(3，2）.因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＞1，，4a≤\f(3,2）))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3a≥1，,4a＜\f（3,2），)）解得eq\f（1,3）≤a≤eq\f（3，8），所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）,\f(3,8)）).10.已知函數(shù)f（x）＝4｜a|x－2a＋1.若命題：“?x0∈(0，1)，使f(x0）＝0"是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）,＋∞）)解析由于f(x)是單調(diào)函數(shù),在（0，1）上存在零點(diǎn),應(yīng)有f(0）·f(1）＜0，解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。由f(0）·f(1）＜0?（1－2a）（4|a|－2a＋1)＜0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a≥0，，2a＋12a－1＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＜0，，6a－12a－1＜0））?a＞eq\f(1，2)。11.下列結(jié)論：①若命題p：?x0∈R,tanx0＝2；命題q:?x∈R，x2－x＋eq\f（1,2)＞0.則命題“p∧(綈q）”是假命題；②已知直線l1：ax＋3y－1＝0,l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是eq\f(a,b）＝－3；③“設(shè)a，b∈R,若ab≥2，則a2＋b2＞4”的否命題為：“設(shè)a，b∈R,若ab＜2，則a2＋b2≤4”.其中正確結(jié)論的序號(hào)為