數(shù)值分析第一章誤差2015

數(shù)值分析林甲富linjiafu@1教材丁麗娟,程杞元,《數(shù)值計(jì)算方法》,高等教育出版社,2011年.2第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差§1.2誤差的基本概念§1.3數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播§1.4數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題§1.1數(shù)值計(jì)算的內(nèi)容與特點(diǎn)3數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值分析輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算計(jì)算機(jī)近似解§1.1數(shù)值計(jì)算的內(nèi)容與特點(diǎn)4研究對(duì)象那些在理論上有解而又無法手工計(jì)算的數(shù)學(xué)問題例解300階的線性方程組求6階矩陣的全部特征值5主要內(nèi)容

數(shù)值代數(shù)近似求解線性方程組(直接解法,迭代解法)矩陣特征值的計(jì)算數(shù)值逼近：插值法,函數(shù)逼近數(shù)值微分與數(shù)值積分微分方程近似求解:常微分方程數(shù)值解法

非線性方程求解6§1.2誤差的基本概念誤差按來源可分為：模型誤差觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差誤差：精確解與近似解之間的差7

模型誤差數(shù)學(xué)模型通常是由實(shí)際問題抽象得到的,一般帶有誤差,這種誤差稱為模型誤差.觀測(cè)誤差數(shù)學(xué)模型中包含的一些參數(shù)通常是通過觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)得到的,難免帶有誤差,這種誤差稱為觀測(cè)誤差.

截?cái)嗾`差求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值方法通常是一種近似方法,這種因方法產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差或方法誤差.8實(shí)際計(jì)算時(shí)只能截取有限項(xiàng)代數(shù)和計(jì)算,如取前5項(xiàng)有:這里產(chǎn)生誤差(記作R5)截?cái)嗾`差例如,利用ln(x+1)的Taylor公式計(jì)算ln2,9

舍入誤差由于計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行原則保留有限位,這時(shí)產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。等都要按舍入運(yùn)算,在運(yùn)算中像在數(shù)值分析中,均假定數(shù)學(xué)模型是準(zhǔn)確的,因而不考慮模型誤差和觀測(cè)誤差,只討論截?cái)嗾`差和舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.10設(shè)x*是準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值,記e=xx*稱e為近似值x*的絕對(duì)誤差,簡稱誤差.絕對(duì)誤差一般很難準(zhǔn)確計(jì)算,但可以估計(jì)上界.絕對(duì)誤差e>0不唯一,當(dāng)然e越小越具有參考價(jià)值.則稱為近似值x*的絕對(duì)誤差限,簡稱誤差限.若滿足1.2.1絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差11例用毫米刻度的米尺測(cè)量一長度x,如讀出的長度是x*=765mm,由于誤差限是0.5mm,故準(zhǔn)確值精確值x

,近似值x*和誤差限

之間滿足：通常記為

12絕對(duì)誤差有時(shí)并不能完全地反映近似值的好壞,如測(cè)量100m和10m兩個(gè)長度,若它們的絕對(duì)誤差都是1cm,顯然前者的測(cè)量結(jié)果比后者的準(zhǔn)確.因此,決定一個(gè)量的近似值的精確度,除了要看絕對(duì)誤差外,還必須考慮該量本身的大小.13稱er為近似值x*的相對(duì)誤差.

記由于x未知,實(shí)際使用時(shí)總是將x*的相對(duì)誤差取為相對(duì)誤差稱為近似值x*的相對(duì)誤差限.14例設(shè)x*=1.24是由精確值x經(jīng)過四舍五入得到的近似值,求x*的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限.由已知可得:所以

=0.005,解一般地,凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值,其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位.15有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第位

若近似值x*滿足則稱x*準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第n位.并把從第一個(gè)非零數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均稱為有效數(shù)字.例：問：有幾位有效數(shù)字？解：431.2.2有效數(shù)字16數(shù)x*總可以寫成如下形式x*

作為x的近似值,具有n位有效數(shù)字當(dāng)且僅當(dāng)其中m是整數(shù),ai是0到9中的一個(gè)數(shù)字,由此可見,近似值的有效數(shù)字越多,其絕對(duì)誤差越小.

有效數(shù)字的另一等價(jià)定義17故取n=6,即取6位有效數(shù)字.此時(shí)x*=1.41421.解則近似值x*可寫為由于令例為了使的近似值的絕對(duì)誤差不大于10－5,問應(yīng)取幾位有效數(shù)字?18

相對(duì)誤差限與有效數(shù)字之間的關(guān)系.

有效數(shù)字

相對(duì)誤差限已知x*=0.a1a2…an×10m有n位有效數(shù)字,則其相對(duì)誤差限為19相對(duì)誤差限有效數(shù)字已知x*的相對(duì)誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數(shù)字.20基本運(yùn)算中()的誤差估計(jì)問§1.3數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播如21例計(jì)算A=f(x1,x2).如果x1,x2的近似值為x1*,x2*,則A的近似值為A*=f(x1*,x2*),用多元函數(shù)微分近似公式可以得到絕對(duì)誤差e

運(yùn)算可近似看成微分運(yùn)算.22由此可以得到基本運(yùn)算中()的誤差估計(jì),

和差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限之和.23

乘法相對(duì)誤差限不超過各數(shù)相對(duì)誤差限之和.24

乘除相對(duì)誤差限不超過各數(shù)相對(duì)誤差限之和.25例設(shè)y=xn,求y的相對(duì)誤差與x的相對(duì)誤差之間的關(guān)系.解所以xn

的相對(duì)誤差是x

的相對(duì)誤差的n倍.x2的相對(duì)誤差是x

的相對(duì)誤差的2倍,的相對(duì)誤差是x

的相對(duì)誤差的1/2倍.26算法的數(shù)值穩(wěn)定性

一種數(shù)值算法,如果其計(jì)算舍入誤差積累是可控制的,則稱其為數(shù)值穩(wěn)定的,反之稱為數(shù)值不穩(wěn)定的.27利用分部積分法可得計(jì)算In的遞推公式例計(jì)算積分算法1：由此遞推計(jì)算I1,I2,…,I9.解28取近似值由此計(jì)算I8,I7,…,I0.并將計(jì)算公式改寫為算法2：此時(shí)29InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160－0.72807.5520算法20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值0.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.091630

對(duì)任何n都應(yīng)有In>0,但算法1的計(jì)算結(jié)果顯示I8<0,可見,雖然I0的近似誤差不超過0.5×10－4,但隨著計(jì)算步數(shù)的增加,誤差明顯增大.這說明算法1給出的遞推公式是數(shù)值不穩(wěn)定的.

而對(duì)于算法2,雖然初始給出的I9沒有一位有效數(shù)字,但算至I6已有4位有效數(shù)字.這說明算法2中誤差隨著計(jì)算過程的深入是逐步遞減的,因而是數(shù)值穩(wěn)定的.31和可得可見,隨著計(jì)算步數(shù)的增加,誤差迅速放大,使結(jié)果失真.由對(duì)于算法1：例計(jì)算積分32算法2的計(jì)算公式為類似地可得可見,近似誤差

是可控制的,算法是數(shù)值穩(wěn)定的.例計(jì)算積分33§1.4數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題如果x,y

的近似值分別為x*,y*,則z*=x*－y*

是z

=x－y的近似值.此時(shí),相對(duì)誤差滿足估計(jì)式

可見,當(dāng)x*與y*很接近時(shí),z*的相對(duì)誤差有可能很大.為了減少舍入誤差的影響,設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循如下的一些原則.1.避免兩個(gè)相近的數(shù)相減34例如在數(shù)值計(jì)算中,如果遇到兩個(gè)相近的數(shù)相減,可考慮改變一下算法以避免兩數(shù)相減.35例

求方程x2－64x+1=0的兩個(gè)根,使它們至少具有四位有效數(shù)字.由求根公式有對(duì)兩個(gè)相近的數(shù)相減,若找不到適當(dāng)方法代替,只能在計(jì)算機(jī)上采用雙精度進(jìn)行計(jì)算,以提高精度.解若由僅有兩位有效數(shù)字,但若采用則有四位有效數(shù)字.362.防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)因?yàn)橛?jì)算機(jī)上只能采用有限位數(shù)計(jì)算,若參加運(yùn)算的數(shù)量級(jí)差很大,在它們的加、減運(yùn)算中,絕對(duì)值很小的數(shù)往往被絕對(duì)值較大的數(shù)“吃掉”,造成計(jì)算結(jié)果失真.在求和或差的過程中應(yīng)采用由小到大的運(yùn)算過程.373.絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作除數(shù)由于除數(shù)很小,將導(dǎo)致商很大,有可能出現(xiàn)“溢出”現(xiàn)象.另外,設(shè)x

,y

的近似值分別為x*

,y*,則z*=x*/y*是z=x/y的近似值.此時(shí),z*的絕對(duì)誤差滿足估計(jì)式

可見,若除數(shù)太小,則可能導(dǎo)致商的絕對(duì)誤差很大.384.注意簡化計(jì)算程序,減少計(jì)算次數(shù)例用Cramer法則求n階線性方程組Ax=b的解,用n階行列式定義來計(jì)算乘法運(yùn)算次數(shù)>(n+1)n!當(dāng)n=25時(shí),在每秒百億次乘除運(yùn)算計(jì)算機(jī)上求解時(shí)間為

首先,若算法計(jì)算量太大,實(shí)際計(jì)算無法完成(億年)39

其次,即使是可行算法,則計(jì)算量越大積累的誤差也越大.因