概率42隨機(jī)變量的方差

§4.2隨機(jī)變量的方差方差的定義方差的計(jì)算方差的性質(zhì)課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)

上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.

但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.

例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：

若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器測(cè)量結(jié)果

甲儀器測(cè)量結(jié)果較好測(cè)量結(jié)果的均值都是a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心

由此可見(jiàn),研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到這個(gè)數(shù)字特征就是這一講要介紹的方差

能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度.但由于上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便,通常用量來(lái)度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.一、方差的定義

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E[(X-E(X)]2存在,稱E[(X-E(X)]2為X的方差.記為D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2若X的取值比較分散，則方差D(X)較大.

方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差D(X)較??；因此，D(X)是刻畫(huà)X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。分布律P{X=xk}=pk

由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)

g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.二、方差的計(jì)算f(x)為X的概率密度三、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(X);3.設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

4.計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式:下面我們證明性質(zhì)3若X,Y相互獨(dú)立,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4得此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況.展開(kāi)證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)下面我們證明性質(zhì)4例1設(shè)隨機(jī)變量X具有(0—1）分布，其分布律為求D(X).解由公式因此,0-1分布例2解X的分布律為因此,泊松分布例3解因此,均勻分布例4設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布,其概率密度為解由此可知,指數(shù)分布例6

設(shè)X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若設(shè)i=1,2，…，n

則是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)下面我們舉例說(shuō)明方差性質(zhì)的應(yīng)用.解X~B(n,p),則X表示n重努里試驗(yàn)的成功次數(shù).于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),例7解于是

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

四、課堂練習(xí)1、設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，概率分布為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0<p<1,求E(X),D(X)2、1、解：記

q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

2、解六、小結(jié)這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方差.