第12周第二節(jié)中值定理

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題第1節(jié)

中值定理——連接局部與整體的紐帶1函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù).若對(duì)于一點(diǎn)存在它的某一鄰域使得則稱是函數(shù)f(x)的極大值,是f(x)的極大值點(diǎn).則稱是函數(shù)f(x)的極小值,是f(x)的極小值點(diǎn).切線是水平的（平行于X軸）OOxxyy

2費(fèi)馬定理幾何解釋:換句話說(shuō)，若函數(shù)f(x)在其極值點(diǎn)處可微，則在該點(diǎn)處必存在唯一的一條平行于x軸的切線。注意：當(dāng)f(x)可微時(shí)，條件“f′(x)=0”只是f(x)存在極值的必要條件，而非充分條件。即導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)。3拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

使得證:

如圖，直線AB的方程為拉格朗日中值定理的幾何意義：有不垂直于x軸的切線，那么曲線弧

上至少有一點(diǎn)C,使曲線在點(diǎn)C處的切線平行弦

AB.推論若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I

上必為常數(shù).證：

在I

上任取兩點(diǎn)格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).因此有拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，1736~1813）簡(jiǎn)介：據(jù)拉格朗日本人回憶，幼年家境富裕，可能不會(huì)作數(shù)學(xué)研究，但到青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家F.A.雷維里（R-evelli）指導(dǎo)下學(xué)幾何學(xué)后，萌發(fā)了他的數(shù)學(xué)天才。17歲開始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。他的學(xué)術(shù)生涯可分為三個(gè)時(shí)期：都靈時(shí)期（1766年以前）、柏林時(shí)期（1766—1786）、巴黎時(shí)期（1787—1813）。拉格朗日在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有重大歷史性的貢獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數(shù)學(xué)分析的威力。全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過(guò)500篇。拉格朗日的學(xué)術(shù)生涯主要在18世紀(jì)后半期。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)主體。數(shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分析，以歐洲大陸為中心；物理學(xué)了主流是力學(xué)；天文學(xué)的主流是天體力學(xué)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動(dòng)力。當(dāng)時(shí)的自然科學(xué)代表人物都在此三個(gè)學(xué)科做出了歷史性重大貢獻(xiàn)。拉格朗日是18世紀(jì)的偉大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有歷史性的重大貢獻(xiàn)。但主要是數(shù)學(xué)家，他最突出的貢獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)方面起了決定性的作用。使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，而不僅是其他學(xué)科的工具。同時(shí)在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析上也起了歷史性的作用，促使力學(xué)和天文學(xué)（天體力學(xué)）更深入發(fā)展。由于歷史的局限，嚴(yán)密性不夠妨礙著他取得更多成果。4羅爾定理

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

使得羅爾（Rolle，1652~1719）簡(jiǎn)介：羅爾是法國(guó)數(shù)學(xué)家。1652年4月21日生于昂貝爾特，1719年11月8日卒于巴黎。羅爾出生于小店家庭，只受過(guò)初等教育，且結(jié)婚過(guò)早，年輕時(shí)貧困潦倒，靠充當(dāng)公證人與律師抄錄員的微薄收入養(yǎng)家糊口，他利用業(yè)余時(shí)間刻苦自學(xué)代數(shù)與丟番圖的著作，并很有心得。1682年，他解決了數(shù)學(xué)家奧扎南提出一個(gè)數(shù)論難題，受到了學(xué)術(shù)界的好評(píng)，從而名身雀起，也使他的生活有了轉(zhuǎn)機(jī)，此后擔(dān)任初等數(shù)學(xué)教師和陸軍部行征官員。1685年進(jìn)入法國(guó)科學(xué)院，擔(dān)任低級(jí)職務(wù)，到1690年才獲得科學(xué)院發(fā)給的固定薪水。此后他一直在科學(xué)院供職，1719年因中風(fēng)去世。羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，專長(zhǎng)于丟番圖方程的研究。羅爾所處的時(shí)代正當(dāng)牛頓、萊布尼茲的微積分誕生不久，由于這一新生事物不存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對(duì)派中最直言不諱的一員。1700年，在法國(guó)科學(xué)院發(fā)生了一場(chǎng)有關(guān)無(wú)窮小方法是否真實(shí)的論戰(zhàn)。在這場(chǎng)論戰(zhàn)中，羅爾認(rèn)為無(wú)窮小方法由于缺乏理論基礎(chǔ)將導(dǎo)致謬誤，并說(shuō)：“微積分是巧妙的謬論的匯集”。瓦里格農(nóng)、索弗爾等人之間，展開了異常激烈的爭(zhēng)論。約翰.貝努利還諷刺羅爾不懂微積分。由于羅爾對(duì)此問題表現(xiàn)得異常激動(dòng)，致使科學(xué)院不得不屢次出面干預(yù)。直到1706年秋天，羅爾才向瓦里格農(nóng)、索弗爾等人承認(rèn)他已經(jīng)放棄了自己的觀點(diǎn)，并且充分認(rèn)識(shí)到無(wú)窮小分析新方法價(jià)值。羅爾于1691年在題為《任意次方程的一個(gè)解法的證明》的論文中指出了：在多項(xiàng)式方程

的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，方程

至少有一個(gè)根。一百多年后，