數(shù)值分析小論文 土木工程學(xué)院

題目：常微分方程數(shù)值解法在鋼筋混凝土

梁變形分析的應(yīng)用算法：常微分方程數(shù)值解法組號(hào)：第9組組員：馬寧濤邵鵬飛王麗君申陸林郭娜王倩聶廣虎常微分方程數(shù)值解法在鋼筋混凝土梁變形分析的應(yīng)用邵鵬飛，馬寧濤，申陸林，聶廣虎（河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院河南焦作454003）摘要：為了獲得鋼筋混凝土梁變形的規(guī)律，運(yùn)用常微分方程數(shù)值解法，使用Matlab數(shù)值分析軟件，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對均布荷載集度在簡支梁上不同位置所產(chǎn)生的彎矩值和撓度值的關(guān)系進(jìn)行了函數(shù)分析，得出在保證梁的強(qiáng)度及其安全變形條件下，找到梁上最危險(xiǎn)點(diǎn)，并提出了相關(guān)的措施建議。結(jié)果表明：簡支梁的位置中點(diǎn)處即為梁上最薄弱、危險(xiǎn)位置。這個(gè)規(guī)律可以有針對性的對鋼筋混凝土梁進(jìn)行加固處理提供理論依據(jù)，使梁具有更強(qiáng)的耐久性、抗拉及抗壓性。關(guān)鍵詞：Matlab；材料力學(xué)；結(jié)構(gòu)力學(xué)；數(shù)值分析；裂縫UsingtheNumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquationstoDistorttheAnalysisApplicationIntheSimpleReinforcedConcreteBeamShaoPengfei，MaNingtao，ShenLulin，NieGuanghu4540C（SchoolofCivilEngineering,HenanPolytechincUniversity,Jiaozuo,Henan,China,Abstract:Inordertoobtaintherulewhichthesimplereinforcedconcretebeamdistorts,usingthenumericalmethodforordinarydifferentialequations,andtheMatlabnumericalanalysissoftware,havingcarriedonthefunctionalanalysistotherelationshipofbendingmomentvalueandamountofdeflectionvaluewhichisproducedbyequispacedloadcollectioninthesimplebeamdifferentpositionaccordingtotheexperimentaldata,obtainingtofindthemosthazardpointofthesimplebeaminguaranteeingthesimplebeam'sintensityandthesafedistortioncondition,andstatementingtherelatedmeasuresuggestions.Theresultsindicatethatthesimplebeam'scenterpointpositionisthesimplebeam'sweakestandmostdangerousposition.Thisrulecanprovidethetheorybasistocarryonreinforcementprocessingofthesimplereinforcedconcretebeamthatistarget-oriented,causingthesimplebeamtohavethestrongerdurability,tensilestrengthandcompressivestrength.4540CKeywords:Matlab；Materialsmechanics；Structuremechanics；Numericalanalysis；Crack0.問題背景在土木工程學(xué)科結(jié)構(gòu)工程研究設(shè)計(jì)領(lǐng)域的鋼筋混凝土梁變形分析中，繪制內(nèi)力圖.尋找到危險(xiǎn)點(diǎn)的位置是完成梁的截面設(shè)計(jì)或強(qiáng)度校核的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并對此危險(xiǎn)點(diǎn)提出措施進(jìn)行加固，防止梁發(fā)生破壞。但在有些復(fù)雜荷載共同作用下的梁.其計(jì)算內(nèi)力圖的過程比較復(fù)雜，費(fèi)時(shí)耗力，在計(jì)算機(jī)高速發(fā)展的今天.我們可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)輔助完成粱的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制，可以應(yīng)用數(shù)值分析軟件Matlab和Ansys，Matlab（MATrixLABoratory即矩陣實(shí)驗(yàn)室）是當(dāng)今國際科學(xué)界最具影響力和活力的科學(xué)計(jì)算軟件，具有功能強(qiáng)大、語言簡單、擴(kuò)充能力和可開發(fā)性強(qiáng)、編程易且效率高等特點(diǎn)，使科技人員從繁瑣的編程過程中解脫出來，從而節(jié)省大量時(shí)間以主攻理論研究。我們可以利用Matlab軟件對簡支梁進(jìn)行建模分析，利用其高效省時(shí)的編程代碼對簡支梁進(jìn)行編程，快速計(jì)算出簡支梁的各部位的彎矩和撓度，以及繪制其彎矩圖和撓度圖，找出危險(xiǎn)點(diǎn)位置，即為彎矩和撓度值最大處，并對此處危險(xiǎn)點(diǎn)位置進(jìn)行加固處理，防止梁發(fā)生進(jìn)一步的破壞，從而提高建（構(gòu)）筑物的可靠性和穩(wěn)定性。—作者簡介：專業(yè)學(xué)位-碩士研究生，主要從事土木工程方向研究。電子郵箱：

L問題分析及建立模型根據(jù)《材料力學(xué)》（文獻(xiàn)［1］）和《結(jié)構(gòu)力學(xué)》（文獻(xiàn)［2］）知識(shí)可知，基本荷載有集中荷載，均布荷載，集中力偶，在小變形條件下，可以將梁所受的荷載分解為若干簡單的基本荷載。即上述三基本荷載，根據(jù)力的獨(dú)立作用原理，先分別計(jì)算出各簡單的基本荷載作用下梁的內(nèi)力，然后應(yīng)用疊加法得到任意荷載下梁的內(nèi)力，為了簡單化，設(shè)梁上荷載只有均布荷載，如下圖1所示。圖1其中，集中荷載也可以轉(zhuǎn)換成均布荷載，以圖2所示中的集中荷載轉(zhuǎn)換成均布荷載為例。當(dāng)a<b時(shí)，F(xiàn)=2qa；當(dāng)a=b時(shí)，F(xiàn)=2qa=2qb；當(dāng)a>b時(shí)，F(xiàn)=2qb，其中q，q，q互不相等。3 1 2 3圖2由以上問題分析可以求得梁的彎矩圖和撓度圖的流程為：開始n數(shù)據(jù)準(zhǔn)備（確定直角坐標(biāo)系，各數(shù)據(jù)正負(fù)值）n輸人數(shù)據(jù)（輸入梁的長度，已有和轉(zhuǎn)化后均布荷載集度大小、位置）n根據(jù)所得彎矩方程和撓度方程利用Matlab進(jìn)行編寫代碼n得出梁的彎矩圖和撓度圖n結(jié)束。根據(jù)（文獻(xiàn)［4］），所建立的數(shù)學(xué)模型，利用Matlab編寫的代碼如下示：根據(jù)圖1所示可得x處彎矩的方程為：M（x）=—qlx-—qx2，根據(jù)彎矩方程可編寫代碼為:2 2X=0:0.1:4;M=0.5*q*l*x-0.5*q*x,八2;Plot（x,M）即可得到彎矩圖。根據(jù)圖1所示可得x處的撓度方程為：y=上（土qx4-1qlx3+—ql3x），根據(jù)（文獻(xiàn)［4］），EI24 12 24代入編程代碼中，具體Matlab程序如下所示:y=dsolve（E*I*D2y=0.5*q*1*工+0.5*q*必2','y（0）=0,y（1）=0','x'）。即可得到撓度圖。常微分方程數(shù)值解法的數(shù)學(xué)原理根據(jù)（文獻(xiàn)［3］）,由于Matlab在《數(shù)值分析》的常微分方程數(shù)值解法中是基于Euler、Runge-Kutta、Adams、Taylor方法和邊值問題等算法，對于工程技術(shù)人員來說，用這種方法分析鋼筋混凝土梁問題是非常適用的計(jì)算方法。其數(shù)學(xué)原理為：包含自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，稱為常微分方程。自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)。如果未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱它是線性的，否則稱為非線性的。y'y"... y（n）常微分方程（ODEs未知函數(shù)是一元函數(shù)）華=g--vdtm偏微分方程（PDEs未知函數(shù)是多元函數(shù)）竺+u竺=v竺迎+竺=0dt dx 8x2dx2dy在高等數(shù)學(xué)中，對于常微分方程的求解，給出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分離變量法、常系數(shù)齊次線性方程的解法、常系數(shù)非齊次線性方程的解法等，但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多數(shù)的常微分方程是不可能給出解析解。一階方程的初值問題為:<d=f（x，'）'x日"'"，要求函數(shù)f（x，y）適當(dāng)光滑，實(shí)際問題y（x）=yV0 0中歸結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法求解。數(shù)值解法就是尋求解y（x）在一系列離散節(jié)點(diǎn)，xi<x2<...<x.<七+1〈…上的近似值y<y<??-<y<y<???。相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距。=x-x稱為步長，總是假定h為定數(shù)，1 2 n n+1 n+1n這時(shí)節(jié)點(diǎn)為xn=x0+nh,n=0,1,2,???，都采取“步進(jìn)式”，即求解過程順著節(jié)點(diǎn)排列的次序一步一步地向前推進(jìn)，用已知的七,yn-1,^-2,…計(jì)算皿的遞推公式即可，這種計(jì)算公式稱為差分格式。算法的MATLAB實(shí)現(xiàn)3.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)彎矩值的計(jì)算，根據(jù)《材料力學(xué)》（文獻(xiàn)［1］）和《結(jié)構(gòu)力學(xué)》（文獻(xiàn)［2］），設(shè)上述圖1矩形截面鋼筋混凝土簡支梁上的均布荷載集度q=2KN/m，L=4m，截面寬度和高度分別為140mm和210mm，彈性模量E=2x10-5MPa，彎曲時(shí)梁的許用應(yīng)力為［c］=10MPa，［f］=總，將q值（其中q值為負(fù)）和L值代入編程代碼中，根據(jù)方程：M⑴二1qlx--qx2,具體程序如下所示。2 2撓度值的計(jì)算，根據(jù)《材料力學(xué)》（文獻(xiàn)［1］）和《結(jié)構(gòu)力學(xué)》（文獻(xiàn)［2］），梁的強(qiáng)度校核和剛度校核是利用公式^=^Wmax，M-8ql2，W-6bh2，將上述各數(shù)據(jù)代入后得：M-8X2X42KNm，七=6x0.14mx0.212m2-0.00103m3，將所求得值待入梁正應(yīng)力公式b=Mmax后得到：；=8 3.88MPa<［。］-10MPa，根據(jù)所求的結(jié)果可看出梁的W 0.00103m3z.強(qiáng)度要求得以保證，利用公式EIzy''=-M（x）和邊界條件x-0時(shí)七=0，x-1時(shí)yB=0，可求的x處的撓度方程為：y=上（上qx4-1qlx3^!ql3x），從而代入編程代碼中。EI24 12 243.2Matlab程序代碼（1） 利用Matlab軟件，根據(jù)上述所求彎矩的常微分方程求解，并將各相關(guān)數(shù)據(jù)代入編程代碼中，根據(jù)（文獻(xiàn)［4］），編寫的Matlab具體程序代碼如下所示：0，0q是施加在簡支梁上的均布荷載，l是簡支梁的長度。/x是距離簡支梁左端的距離，M是彎矩大小。-0q--2000；l—4；x-［0:0.1:4］；M-0.5*q*l*x一0.5*q*x.a2；plot（x,M,'r'）；xlabelC簡支梁上的位置坐標(biāo)'）；ylabel（'簡支梁各位置的彎矩'）；title（'簡支梁的彎矩圖'）。從而可得彎圖為圖3所示。（2） 利用Matlab軟件，根據(jù)上述所求撓度的常微分方程求解，并將各相關(guān)數(shù)據(jù)代入編程代碼中，根據(jù)（文獻(xiàn)［4］），編寫的Matlab具體程序代碼如下所示：00q是施加在簡支梁上的均布荷載，l是簡支梁的長度?！闑是彈性模量，I是z軸的慣性矩。/x是距離簡支梁左端的距離。-0q--2000；E-2*10e11；I-1.0804e-004；q--2000；

l=4；x=［0:0.1:4］；y=1/E/1*（1'24*q*x.八4-112*q*l*x>3+124*q*l.八3*x）；plot（x,y,'r'）；xlabel（'簡支梁上的位置坐標(biāo)'）；ylabel（'簡支梁各位置的撓度'）；title（'簡支梁的撓度圖'）。由此可求得X處撓度圖為圖4所示。4.計(jì)算結(jié)果及結(jié)果分析4.1計(jì)算結(jié)果(1)根據(jù)上述實(shí)例中鋼筋混凝土梁上給定的均布荷載集度值q和簡支梁長度值乙，以及相關(guān)數(shù)據(jù)，可求得簡支梁的彎矩值的分布，并得到梁上所能承受的最大彎矩值M^，取負(fù)彎矩。再利用Matlab軟件對鋼筋混凝土梁進(jìn)行建模，在qmax值前后附近取值對梁進(jìn)行加載，得出其彎矩圖3。柴削富晌型萸源缺甌圖3柴削富晌型萸源缺甌(2)根據(jù)梁的強(qiáng)度校核和剛度校核實(shí)例中，鋼筋混凝土梁上給定的彎曲時(shí)梁的許用應(yīng)力［。］、彈性模量E、彎矩最大值M^^和彎曲截面系數(shù)W，以及相關(guān)數(shù)據(jù)，可求得簡支梁的撓度值的分布，并得到梁上所能承就的最大撓度值，取負(fù)值。再利用Matlab軟件對鋼筋混凝土梁進(jìn)行建模，在q值前后附近取值對梁進(jìn)行加載，得出其撓度圖4。簡支梁的撓度圖□ 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3：5 4簡支梁上的位置坐標(biāo)圖44.2結(jié)果分析圖3上根據(jù)簡支梁上的位置坐標(biāo)（橫坐標(biāo)x），簡支梁各位置的彎矩（縱坐標(biāo)y），當(dāng)簡支梁上的位置坐標(biāo)x=2m時(shí)，彎矩值最大，其值為-4000^m，因而彎矩值最大值處所承受的均布荷載對梁的作用力效果最明顯，簡支梁的位置中點(diǎn)處即為梁上最薄弱、危險(xiǎn)位置。圖4上根據(jù)簡支梁上的位置坐標(biāo)（橫坐標(biāo)x），簡支梁各位置的撓度（縱坐標(biāo)y），當(dāng)簡支梁上的位置坐標(biāo)x=2m時(shí)，撓度值最大，其值為△'=-3.2xI0-5m=-3.2xlO一2mm，因而撓度值最大值處所承受的均布荷載對梁的作用力效果最明顯，簡支梁的位置中點(diǎn)處即為梁上最薄弱、危險(xiǎn)位置。5.對梁加固的必要性及其措施建議根據(jù)鋼筋混凝土材料的力學(xué)性能（文獻(xiàn)［5］）分析得到，從本質(zhì)上講，材料的破壞是由外部因素和內(nèi)部因素決定的，外部因素主要是荷載，試件幾何形狀和環(huán)境影響，它們構(gòu)成促使材料破壞的驅(qū)動(dòng)力，內(nèi)部因素主要是材料的性質(zhì)、微觀組織和缺陷，形成抵抗材料破壞的阻力，驅(qū)動(dòng)力大于阻力時(shí)破壞，小于阻力時(shí)安全。材料的裂紋可以是在冶金和加工過程中形成的，也可以是在外載下形成的。從無到有是材料的損傷過程，一旦形成裂紋，裂紋端部場的高應(yīng)力區(qū)又會(huì)產(chǎn)生新的損傷和已有損傷的增長。結(jié)構(gòu)的整體破壞是由局部薄弱環(huán)節(jié)首先開始，然后擴(kuò)及整體，局部行為在破壞中起著關(guān)鍵性的作用。由上面的工程實(shí)例可以得出：簡支梁的位置中點(diǎn)處即為梁上最薄弱位置。所以對危險(xiǎn)點(diǎn)位置的加固是有必要的。根據(jù)梁裂縫產(chǎn)生的原因不同，有設(shè)計(jì)原因，施工原因，使用原因，溫度原因等，可以得到具體的加固措施為：（1）如果裂縫在不降低承載力的情況下，采取表面處理法、充填法、注入法等簡易的處理方法。（2）如果裂縫情況影響了鋼筋混凝土構(gòu)件的承載能力，就應(yīng)更慎重分析比較，采用經(jīng)濟(jì)高效的方法，