電磁場(chǎng) 鏡像法

§2.4鏡象法Methodofimages

根據(jù)前面的討論知道：在所考慮的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有自由電荷分布時(shí)，可用Laplace'sequation求解場(chǎng)分布；在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時(shí)，用Poisson'sequation

求解場(chǎng)分布。如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類問(wèn)題又如何求解？這就是本節(jié)主要研究的：解決這類問(wèn)題的一種特殊方法—稱為鏡象法。1、鏡象法的基本問(wèn)題

在點(diǎn)電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時(shí)，空間的靜電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。

在所求的場(chǎng)空間中，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)場(chǎng)點(diǎn)而言能否用場(chǎng)空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個(gè)或幾個(gè)假想的電荷來(lái)代替呢？光學(xué)成像理論給我們的啟發(fā)：當(dāng)我們把點(diǎn)電荷作為物，把導(dǎo)體或介質(zhì)界面作為面鏡，那么導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷就可作為我們所說(shuō)的象，然后把物和象在場(chǎng)點(diǎn)處的貢獻(xiàn)迭加起來(lái)，就是我們討論的結(jié)果。2、鏡象法的理論基礎(chǔ)

鏡象法的理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實(shí)質(zhì)是在所研究的場(chǎng)域外的適當(dāng)?shù)胤剑脤?shí)際上不存在的“象電荷”來(lái)代替真實(shí)的導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的作用。在代替的時(shí)候，必須保證原有的場(chǎng)方程、邊界條件不變，而象電荷的大小以及所外的位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation

和邊界條件決定。這里要注意幾點(diǎn)：

a)

唯一性定理要求所求電勢(shì)必須滿足原有電荷分布所滿足的Poisson‘sequationorLaplace’sequation，即所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由點(diǎn)電荷位置、大小不能變）。因此，做替代時(shí)，假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。

b)由于象電荷代替了真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認(rèn)為原來(lái)的真實(shí)的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在。也就是把整個(gè)空間看成是無(wú)界的均勻空間。并且其介電常數(shù)應(yīng)是所研究場(chǎng)域的介電常數(shù)。（實(shí)際是通過(guò)邊界條件來(lái)確定假想電荷的大小和位置）。

c)一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。

d)象電荷是虛構(gòu)的，它只在產(chǎn)生電場(chǎng)方面與真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷有等效作用。而其電量并不一定與真實(shí)的感應(yīng)電荷或真實(shí)的極化電荷相等，不過(guò)在某些問(wèn)題中，它們卻恰好相等。

e)鏡象法所適應(yīng)的范圍是：①所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替；②導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡(jiǎn)單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。3、鏡象法的具體應(yīng)用

用鏡象法解題大致可按以下步驟進(jìn)行：a)正確寫(xiě)出電勢(shì)應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件；（坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定）b)根據(jù)給定的邊界條件計(jì)算象電荷的電量和所在位置；c)由已知電荷及象電荷寫(xiě)出勢(shì)的解析形式；d)根據(jù)需要要求出場(chǎng)強(qiáng)、電荷分布以及電場(chǎng)作用力、電容等。鏡像法往往比分離變量法簡(jiǎn)單，但它只能用于一些特殊的邊界情況。點(diǎn)電荷與平面導(dǎo)體(a)Q(b)Q(c)Q點(diǎn)電荷與球形導(dǎo)體Qo(d)(e)oQ點(diǎn)電荷的鏡像各種簡(jiǎn)單邊界的組合作為邊界(c)Q(a)Q(b)Q線電荷與平面導(dǎo)體(a)λ(b)λ(c)λ線電荷與圓柱形導(dǎo)體λo(a)(b)oλ線電荷的鏡像導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為：（1）鏡像電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷不一定相等。（2）由鏡像法求出電勢(shì)分布以后，由上式可求感應(yīng)平面與圓柱形邊界的組合作為邊界電荷(a)λ(b)λ(c)λ電偶極子的鏡像(b)(a)p(c)pp(d)po(e)p(f)op注意：鏡像電荷的位置由邊界形狀決定，與電量及界面性質(zhì)無(wú)關(guān)。應(yīng)用舉例接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，求空間電勢(shì)。解：根據(jù)唯一性定理左半空間右半空間，Q在（0，0，a）點(diǎn)，電勢(shì)滿足泊松方程。邊界上設(shè)電量為，位置為（0，0，）

從物理問(wèn)題的對(duì)稱性和邊界條件考慮，設(shè)想在導(dǎo)體板左與電荷Q對(duì)稱的位置上放一個(gè)假想電荷Q’，然后把板抽去。這樣，沒(méi)有改變所考慮空間的電荷分布（即沒(méi)有改變電勢(shì)服從的泊松方程）QQ/zPrr′a由邊界條件確定和、唯一解是

因?yàn)橄箅姾稍谧蟀肟臻g，所以舍去正號(hào)解討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布（b）電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)的電力線全部終止在導(dǎo)體面上它與無(wú)導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在右半空間完全相同。

（c）

與位置對(duì)于導(dǎo)體板鏡象對(duì)稱，故這種方法稱為鏡象法（又稱電象法）（d）導(dǎo)體對(duì)電荷Q的作用力相當(dāng)兩點(diǎn)電荷間的作用力導(dǎo)體板上部空間的電場(chǎng)可以看作原電荷與鏡象電荷共同激發(fā)的電場(chǎng)。場(chǎng)點(diǎn)P的電勢(shì)導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確實(shí)可以用板下方一個(gè)假想電荷Q’代替?？梢钥闯?，引入象電荷取代感應(yīng)電荷，的確是一種求解泊松方程的簡(jiǎn)潔方法。鏡像法所解決的問(wèn)題中最常見(jiàn)的是導(dǎo)體表面作為邊界的情況，但也可用于絕緣介質(zhì)分界面的場(chǎng)問(wèn)題。例2設(shè)電容率分別為ε1和ε2的兩種均勻介質(zhì)，以無(wú)限大平面為界。在介質(zhì)1中有一點(diǎn)電荷Q，求空間電勢(shì)分布。解：先考慮介質(zhì)1

中的電勢(shì)，設(shè)想將下半空間換成與上半空間一樣，并在z=-a處有Q的像電荷Q’來(lái)代替分界面上極化電荷對(duì)上半空間場(chǎng)的影響。則在Z>0的區(qū)域，空間一點(diǎn)的電勢(shì)為Q介質(zhì)1介質(zhì)2a-aQ’zx(1)再考慮介質(zhì)ε2中的電勢(shì)φ2，這時(shí)我們不能用上面的像電荷Q'來(lái)計(jì)算ε2區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)。這是因?yàn)?，按照電像法，像電荷必須在所考慮的區(qū)域之外。所以，我們現(xiàn)在把在ε2區(qū)域外的電荷Q及其引起的極化電荷合起來(lái)，用ε2區(qū)域外的一個(gè)像電荷Q''來(lái)統(tǒng)一考慮。設(shè)z>0上半空間的介質(zhì)ε1全部換為介質(zhì)ε2

，并在z=b處有一電荷Q''，則z<0下半空間里任一點(diǎn)的電勢(shì)為(2)下面由邊界條件定Q’,Q”和b，邊界條件為：(3)(4)(5)(6)即將(1)(2)兩式帶入(3)并取x=y=0,可得到將(1)(2)兩式帶入(4)并取x=y=0,可得到(7)將(1)(2)兩式帶入(5)，消去分子中的x后，再取x=y=0,(8)由以上三式解得a=b所以交界面上極化電荷面密度Q所受的庫(kù)侖力等于它的像電荷Q’對(duì)它的作用力，即解：（1）分析：因?qū)w球接地故球的電勢(shì)為零。根據(jù)鏡象法原則假想電荷應(yīng)在球內(nèi)。因空間只有兩個(gè)點(diǎn)電荷，場(chǎng)應(yīng)具有軸對(duì)稱，故假想電荷應(yīng)在線上，即極軸上。3.真空中有一半徑R0的接地導(dǎo)體球，距球心a>R0

處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。球坐標(biāo)系PROZθQQ/r′r（2）由邊界條件確定和設(shè)

PR0OZ因任意的解得①

②①

，Q發(fā)出的電力線一部分會(huì)聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到無(wú)窮遠(yuǎn)。（3）討論：②球面感應(yīng)電荷分布導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為電荷移到地中去了?？偢袘?yīng)電荷為即感應(yīng)電荷的大小等于象電荷Q'的大小。也可以這樣證明：根據(jù)Gauss定理，對(duì)球作Gauss面，即aQRoQ感bQ'式中的是象電荷Q'和真實(shí)電荷Q共同產(chǎn)生的，即故Q感=Q'即感應(yīng)電荷的電量Q感等于象電荷的電量Q'。根據(jù)上述例子，作如下幾點(diǎn)討論：

a)導(dǎo)體球既不接地又不帶電這種情況與本例的差別僅在于邊界條件，這里導(dǎo)體球不帶電，即要求滿足電中性條件顯然，例3的解不滿足電中性的條件，如果在球內(nèi)再添置一個(gè)象電荷

，則滿足電中性條件，為了不破壞導(dǎo)體是等位體的條件，由對(duì)稱性知道，Q"必須放在球心處，于是再由得到

b)導(dǎo)體球不帶電其電勢(shì)為U0

這種情況與例3的差別仍然在邊界條件，這里U0

是已知常數(shù)，導(dǎo)體球的電勢(shì)為U0，相當(dāng)于在球心處放置了電量為的點(diǎn)電荷，顯然，其解為由得到c)若點(diǎn)電荷Q在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心a處這時(shí)與例3的情況相比，僅是源電荷的位置由球外搬進(jìn)到球內(nèi)。此時(shí)，接地球殼外無(wú)場(chǎng)強(qiáng)，場(chǎng)的區(qū)域在球內(nèi)。故可根據(jù)光路可逆性原理來(lái)解釋：球內(nèi)的電勢(shì)等于源電荷Q和球面上的感應(yīng)電荷（球殼內(nèi)表面）—象電荷Q'（在球外處）產(chǎn)生的電勢(shì)：這里要注意：象電荷的電量Q‘大于源電荷的電量Q，球殼內(nèi)的電勢(shì)與導(dǎo)體球殼是否接地、是否帶電無(wú)關(guān)。

d)若導(dǎo)體球帶電q但不接地這種情況的物理模型為：則球心有電荷（q-Q')，則P點(diǎn)的電勢(shì)為RobQ'aQxrr'Pq-Q'由得到順便計(jì)算導(dǎo)體對(duì)點(diǎn)電荷Q的作用力：此時(shí)，源電荷Q所受到的作用力來(lái)自球面上的電荷，即從而得到當(dāng)a>>R0

，，即近似為兩點(diǎn)電荷作用，作用力為排斥力；當(dāng)Q靠近球面時(shí)，，此時(shí)不論q與Q是否同號(hào)，作用力永遠(yuǎn)為引力，這可由在Q附近的感應(yīng)電荷與其反號(hào)來(lái)解釋。就是Q與Q'及位于球心處的等效電荷q+Q''的作用力之和。4.均勻場(chǎng)中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢(shì)由于靜電屏蔽，場(chǎng)區(qū)域只能在球外。Solution:

本題的物理圖象是在原有的均勻電場(chǎng)中放置一中性導(dǎo)體球。此時(shí)導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷也要在空間激發(fā)場(chǎng)，故使原來(lái)的場(chǎng)空間電場(chǎng)發(fā)生了變化，如圖所示。由此可見(jiàn)，球外空間任一點(diǎn)的場(chǎng)將是一個(gè)均勻場(chǎng)和一個(gè)球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場(chǎng)的迭加。R0------++++++

第一步：用兩個(gè)點(diǎn)電荷±Q激發(fā)一均勻場(chǎng)點(diǎn)電荷±Q放在對(duì)稱軸z=±a處，a很大，Q也很大，在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的區(qū)域內(nèi)。

第二步：將一中性導(dǎo)體球放在均勻場(chǎng)中+Q-Qzaao這樣一來(lái)，±Q相當(dāng)于兩個(gè)場(chǎng)源電荷，球面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由象電荷來(lái)代替它，即

此時(shí)+Q在球面上感應(yīng)的電量為，-Q在球面上感應(yīng)電量為，這仍然保持導(dǎo)體球?yàn)殡娭行裕ú还軐?dǎo)體球接地與否）。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的

+Q-QzaaR0bbo電勢(shì)就是這四個(gè)點(diǎn)電荷分別在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加，即因?yàn)閍>>R，

則選略去和即又因?yàn)?/p>

皆為小量，應(yīng)用展開(kāi)式則有

第一項(xiàng)恰好等于原均勻場(chǎng)以o點(diǎn)為參考點(diǎn)電勢(shì)。第二項(xiàng)恰好等于位于o點(diǎn)的電偶極矩為的電偶極子的電勢(shì)。原點(diǎn)附近像電荷代替感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電偶極矩5.半徑為R0,電容率為ε的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)E0中，求電勢(shì)分布。解：設(shè)均勻電場(chǎng)E0方向?yàn)閆軸正方向，則E0可看成是由Z軸上兩個(gè)等量異號(hào)電荷激發(fā)，一是位于z=-∞處的正電荷Q，一是位于z=+∞處的負(fù)電荷-Q。這一對(duì)正負(fù)電荷的鏡像電荷正好組成一個(gè)電偶極子位于坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，求球外空間的電勢(shì)φ1時(shí)，可用原點(diǎn)處的電偶極子p代替極化電荷的作用。(1)求球內(nèi)空間的電勢(shì)φ2時(shí)，可以認(rèn)為介質(zhì)ε充滿整個(gè)空間，極化電荷的作用用z=±∞處的點(diǎn)電荷±Q’代