激光原理與技術(shù)：第11講 平行平面腔自再現(xiàn)模式

激光原理與技術(shù)·原理部分第11講平行平面腔自再現(xiàn)模式11.0平行平面腔平行平面腔優(yōu)點(diǎn)：光束方向性好、模體積較大、容易獲得單橫模振蕩；缺點(diǎn)：調(diào)整精度要求較高、損耗比穩(wěn)定腔大；分析平行平面腔的方法分析平平腔的主要內(nèi)容就是分析其振蕩模式，也就是求解平平腔條件下的菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式；公式的解存在，但是很難求解，因此多使用數(shù)值方法來(lái)求近似解；11.1平行平面腔自再現(xiàn)模式的迭代解法Fox-Li數(shù)值迭代法GardnerFox

和厲鼎毅在1961年發(fā)表文章ResonantModesinaMaserInterferometer首次提出了用計(jì)算機(jī)迭代方法求解衍射積分方程來(lái)研究平平腔內(nèi)模式的方法；優(yōu)點(diǎn)理論上可以研究任何類(lèi)型的光學(xué)諧振腔；通過(guò)迭代法近似計(jì)算證明了自再現(xiàn)模的存在性；計(jì)算過(guò)程與開(kāi)腔模式的物理機(jī)制類(lèi)似，方便理解；缺點(diǎn)收斂性不好，計(jì)算量大；對(duì)高階模式的計(jì)算誤差較大；11.1平行平面腔自再現(xiàn)模式的迭代解法平行平面鏡腔如圖所示的矩形鏡平平腔，滿(mǎn)足條件：兩腔鏡上兩點(diǎn)之間距離為：將其作級(jí)數(shù)展開(kāi)：或者11.1平行平面腔自再現(xiàn)模式的迭代解法當(dāng)滿(mǎn)足條件時(shí)，積分核可以寫(xiě)成：則衍射積分公式改寫(xiě)為：對(duì)方形或矩形反射鏡能夠?qū)鈭?chǎng)表達(dá)式進(jìn)行分離變量：式(1)表示一個(gè)平平腔，其反射鏡在x方向上的寬度為2a，y方向上無(wú)限延伸的條狀腔的自再現(xiàn)模；式(2)表示的是另一個(gè)方向的條狀腔的自再現(xiàn)模。11.1平行平面腔自再現(xiàn)模式的迭代解法滿(mǎn)足上述方程的函數(shù)E(x)和E(y)可以有很多個(gè)，用Em(x)和En(Y)分別表示其中的第m和第n個(gè)解，對(duì)應(yīng)的復(fù)常數(shù)為γm、γn，則上述方程可以表示為：(1)式在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為本征方程，只有在γm和γn為一系列分立的值，對(duì)應(yīng)m、n取不同的正整數(shù)時(shí)，方程才成立，因此γm和γn又被稱(chēng)為方程的本征值；對(duì)不同的γm和γn，能夠使方程成立的解Em(x)和En(y)被稱(chēng)為相應(yīng)的本征函數(shù)；本征函數(shù)決定了鏡面上的場(chǎng)分布；本征值決定了光波模的傳播特性，例如模的衰減、相移、諧振頻率等；此時(shí)的自再現(xiàn)模為：復(fù)常數(shù)為：11.1平行平面腔自再現(xiàn)模式的迭代解法由此可得到數(shù)值計(jì)算中的迭代公式為：要進(jìn)行迭代需要設(shè)置初始值u1，從前面我們對(duì)開(kāi)腔物理模型的分析知道，理論上任何形式的初始模式在經(jīng)過(guò)足夠多次的傳播后都會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定的自再現(xiàn)模，因此不妨設(shè)u1(x)=1，由于arg[u1(x)]=0，它代表了一個(gè)等相位面就是反射鏡平面，且在等相位面上振幅均勻分布的平面波。11.1平行平面腔自再現(xiàn)模式的迭代解法將u1帶入迭代公式可以求出第二個(gè)鏡面上的光波u2。由于我們只對(duì)相位和振幅的相對(duì)分布感興趣，因此對(duì)u2進(jìn)行歸一化。將歸一化后的u2作為輸入?yún)?shù)帶入迭代公式可以求出u3，依次循環(huán)計(jì)算下去，直到得到的歸一化的uq+1和uq之間只相差一個(gè)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常數(shù)因子為止；此時(shí)求出的uq是迭代方程的穩(wěn)定解，也就是本征函數(shù)；此時(shí)求出的與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常數(shù)因子是本征值；11.2平行平面腔自再現(xiàn)模式的特征Fox-Li對(duì)條件下的平平腔進(jìn)行了迭代計(jì)算，得到了穩(wěn)定存在的自再現(xiàn)模并分析了其特征。1、鏡面上的振幅分布右圖是300次迭代后得到的穩(wěn)定自再現(xiàn)模的相對(duì)振幅分布，具有以下的特點(diǎn)：鏡面中心處振幅最大；從中心到邊緣振幅逐漸下降；振幅分布具有藕對(duì)稱(chēng)性；具有這種特征的模是腔的最低階偶對(duì)稱(chēng)模，或者稱(chēng)為基模。在條狀腔中用TEM0，在矩形鏡和圓形鏡腔中用TEM00來(lái)表示基模。菲涅耳數(shù)N描述了光腔衍射損耗的大小，N越大，衍射損耗越小，鏡邊緣處的相對(duì)振幅越?。?1.2平行平面腔自再現(xiàn)模式的特征在平平腔中除了基模外，還有其他類(lèi)型的模。在平平腔迭代中如果選取初值條件為：可以通過(guò)迭代得到另一種形式的穩(wěn)定解，如右圖所示，圖中的相對(duì)振幅在鏡中心處為零，在鏡邊緣處也為最小值，然而在鏡中心和邊緣中間存在兩個(gè)極值，在鏡面上出現(xiàn)了場(chǎng)振幅為零的節(jié)線(xiàn)位置，整體的分布具有奇對(duì)稱(chēng)特性，這樣的模稱(chēng)為條狀腔的最低階奇對(duì)稱(chēng)模，以TEM1表示。腔中還存在著其他的高階模式；11.2平行平面腔自再現(xiàn)模式的特征2、鏡面上的相位分布右上圖是基模在鏡面上的相位分布，從其分布可知TEM0模不是嚴(yán)格意義的平面波，但當(dāng)菲涅耳數(shù)較大時(shí)，仍然可以近似為平面波，特別是在鏡面中心及附近區(qū)域；只有在鏡邊緣波前才發(fā)生微小的彎曲；右下圖是TEM1模的相位分布，在節(jié)線(xiàn)附近相位會(huì)發(fā)生突變，在被波節(jié)隔開(kāi)的各個(gè)區(qū)域中都可以被近似為平面波。11.2平行平面腔自再現(xiàn)模式的特征3、單程相移與諧振頻率A、單程總相移計(jì)算方法：在迭代過(guò)程中，對(duì)鏡面上的任一點(diǎn)，計(jì)算光波在腔內(nèi)渡越一次后，在另一個(gè)鏡面上坐標(biāo)相同的點(diǎn)的振幅和相位的相對(duì)變化，即可得到相移；表達(dá)式： 其中kL為幾何相移，為附加相移，與N有關(guān)，不同的橫模有不同的附加相移；11.2平行平面腔自再現(xiàn)模式的特征右圖為不同橫模的單程相移隨N變化的曲線(xiàn)，從曲線(xiàn)中可以得出結(jié)論：N相同時(shí)，基模的附加相移最小，高階模的附加相移較大；N較大時(shí)，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中附加相移隨N的變化曲線(xiàn)基本為直線(xiàn)；11.2平行平面腔自再現(xiàn)模式的特征B、諧振頻率由自再現(xiàn)模穩(wěn)定存在的條件可知：以νmnq表示TEMmn模的諧振頻率，則：與前面得到的平面波理論中的諧振頻率公式相比較，多了一項(xiàng)，它是由TEMmn模的附加相移引起的。11.2平行平面腔自再現(xiàn)模式的特征4、單程功率損耗對(duì)于橫模，無(wú)論是什么類(lèi)型