量子力學：02-波函數(shù)

1平面波與傅里葉變換（一）一、一維情況下的平面波《大學物理》振動與波一維平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)A－振幅，k－波矢，ω－頻率平面波用指數(shù)形式表示ψ=Aexp[i(xk-ωt)]=Aexp(ixk)exp(-iωt)只考慮空間：ψ=Aexp(ixk)只考慮時間：ψ=Aexp(-iωt)2平面波與傅里葉變換（二）二、平面波的速度V平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)，(xk-ωt)－相位平面波的速度V,指的是相速，即相位為常數(shù)時對應(yīng)的速度(xk-ωt)=c,V=dx/dt=ω/k因ω=2πv,k=2π/λ,所以，V=vλ對于平面波，頻率v和波長λ為常數(shù)結(jié)論：平面波的速度為常數(shù)3平面波與傅里葉變換（三）三、三維情況下的平面波一維情況下，平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)三維情況下，x－k－平面波因

代表波傳播的方向，故平面波的必須為常量。反過來，速度v和波矢為常量的波必為平面波4平面波與傅里葉變換（四）四、傅里葉變換exp(ixk)是周期函數(shù)，函數(shù)f(x)可表示為（1）其中，F(xiàn)(k)稱為f(x)的傅里葉變換。因為ψ=exp(ixk)代表平面波，故(1)式可看作將f(x)用平面波展開，F(xiàn)(k)為其展開系數(shù)5量子力學第二講不確定度關(guān)系波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋6第2講目錄一、不確定度關(guān)系（Theuncertaintyprinciple）二、量子力學討論的對象：波函數(shù)

三、自由粒子的波函數(shù)四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義五、波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋及其性質(zhì)六、動量分布概率七、再論不確定度關(guān)系7一、不確定度關(guān)系（1）

在經(jīng)典力學中，宏觀粒子在任何時刻都有完全確定的位置、動量、能量等。然而，對于微觀粒子，其波動性遠遠大于宏觀粒子，以致于它的某些成對的物理量（如位置坐標和動量、時間和能量等）不可能同時具有確定的量值。這就叫不確定度關(guān)系或測不準原理。下面以電子單縫衍射為例討論這個問題湯姆遜（1927）：電子圓孔衍射實驗多晶鋁箔8一、不確定度關(guān)系（2）

電子可在縫寬范圍的任意一點通過狹縫，電子坐標不確定量就是縫寬，電子在x方向的動量不確定量:x入射電子束狹縫照相底版PPx9嚴格的理論給出的不確定性關(guān)系為：首先由海森堡給出(1927)海森堡不確定性關(guān)系(海森堡測不準關(guān)系)它的物理意義是，微觀粒子不可能同時具有確定的位置和動量。粒子位置的不確定量越小，動量的不確定量就越大，反之亦然。因此在某一時刻微觀粒子的位置和動量不可能同時完全確定。軌道的概念已失去意義，經(jīng)典力學規(guī)律也不再適用。----------微觀粒子的“波粒二象性”的具體體現(xiàn)一、不確定度關(guān)系（3）Heinsenberg（1901-1976）10二、量子力學討論的對象：波函數(shù)（1）牛頓力學：質(zhì)點（經(jīng)典粒子）1、經(jīng)典物理討論對象：討論對象：質(zhì)點的坐標、動量、能量等11二、量子力學討論的對象：波函數(shù)（2）電動力學：電磁場（經(jīng)典波動）討論對象：電磁場的波幅、波矢、能量等Maxwell方程組12二、量子力學討論的對象：波函數(shù)（3）

根據(jù)deBroglie的“波粒二象性”假設(shè)：一切實物粒子具有波粒二象性，即具有確定動量和確定能量E

的實物粒子相當于頻率為和波長為的波。滿足deBroglie關(guān)系：量子力學：引入一個物理量——波函數(shù)：

波函數(shù)表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微觀體系的狀態(tài)。（量子力學基本假設(shè)之一）量子力學討論的對象是什么？13三、自由粒子的波函數(shù)（1）平面波與傅里葉變換的回顧只考慮一維空間情況下，平面波為：任意函數(shù)均可用展開：為的Fourier變換特別地，若，有14三、自由粒子的波函數(shù)（2）自由粒子：指的是不受外力作用，靜止或勻速運動的質(zhì)點。因此，其能量

和動量都是常量。根據(jù)deBroglie關(guān)系：可得與自由粒子對應(yīng)的物質(zhì)波的頻率和波長為：和波矢定義為：所以看出自由粒子的頻率和波矢均為常量。改寫deBroglie關(guān)系為15三、自由粒子的波函數(shù)（3）和

都為常量的波應(yīng)該是平面波，可用以下函數(shù)描述或代入deBroglie關(guān)系得到：即：自由粒子的波函數(shù)，它將粒子的波動同其能量和動量聯(lián)系了起來。它是時間和空間的函數(shù)。16三、自由粒子的波函數(shù)（4）

總結(jié)：由于自由粒子的能量和動量為常量，根據(jù)deBroglie關(guān)系，其對應(yīng)物質(zhì)波的角頻率和波矢也為常量，根據(jù)經(jīng)典波動理論，角頻率和波矢為常量的波為平面波，即：自由粒子的波函數(shù)為平面波：我和他怎么會是雙胞胎呢！17四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（1）

當粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，因此波函數(shù)無法用平面波表示。用一般函數(shù)來表示問題是：該如何理解波函數(shù)所代表的物理意義呢？經(jīng)典物理：質(zhì)點動量的物理意義：

電場強度的物理意義：18四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（2）波粒二象性一切實物粒子都具有波粒二象性！如何理解一個實物粒子具有波動性？歷史上對粒子波動性的認識有兩種誤解：(1)波包說：認為粒子波就是粒子的某種實際結(jié)構(gòu)，即將粒子看成是三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的運動速度。粒子的干涉和衍射等波動性都源于這種波包結(jié)構(gòu)。(2)群體說：認為體現(xiàn)粒子波動性的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產(chǎn)生的結(jié)果。19四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（3）1、波包說：波動的強度空間分布只在有限區(qū)域內(nèi)不為零波包說：認為粒子波就是粒子的某種實際結(jié)構(gòu)，即將粒子看成是三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的運動速度。20四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（4）一維自由粒子的波函數(shù)為：：自由粒子尺寸難道無限大？兩種選擇：1、自由粒子波函數(shù)是錯的？！2、波包說是錯的？！21四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（5）一般粒子的波函數(shù)為：根據(jù)Fourier變換物理意義：波包可以看做各種波長的平面波的疊加。定義群速，表示波包中心的移動速度；

即，整個波包的移動速度。若，即：則整個波包在運動過程中會發(fā)生擴散。22四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（6）對于deBroglie波，有關(guān)系：根據(jù)波包說：粒子為三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包，波包的大小即粒子的大小。由于，則波包會隨著運動發(fā)生擴散，即：粒子的大小隨時間會變大。

難道電子會隨著時間“變胖”？23四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（7）波包說的錯誤之處在于：物質(zhì)波包的觀點夸大了波動性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實際不符。24四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（8）2、群體說：認為體現(xiàn)粒子波動性的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產(chǎn)生的結(jié)果。然而，電子衍射實驗表明，就衍射效果而言：弱電子密度＋長時間＝強電子密度＋短時間群體說夸大了粒子性的一面，抹殺了波動性的一面，與電子衍射實驗不符。多晶鋁箔25四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（9）3、再論波粒二象性經(jīng)典粒子：哲學上是一個客體，強調(diào)了顆粒性或者是原子性！其運動時總是有一個確切的軌道。經(jīng)典波動：強調(diào)了某種實在物理量的空間分布做周期性變化。26四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（10）

對于deBroglie物質(zhì)波（波函數(shù)），絕不能用經(jīng)典的概念生搬硬套來解釋。要想解釋deBroglie物質(zhì)波，我們必須重新認識什么是“粒子性”和“波動性”！deBroglie物質(zhì)波“粒子性”一個客體，強調(diào)得是顆粒性或者是原子性，但運動時確切的軌道必須拋棄?！安▌有浴睆娬{(diào)得是波的相干疊加性，而不是某種實在物理量的空間分布做周期性變化27四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（11）28四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（12）4、統(tǒng)計詮釋：粒子的波粒二象性可以用波函數(shù)來表示：1926年，M.Born提出：波函數(shù)為刻畫粒子在空間的概率分布的概率波，表征了粒子出現(xiàn)在點附近的概率大小的一個量。M.Born（1882-1970）NobelPrizeinPhysics(1954)29五、波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋及其性質(zhì)（1）1、統(tǒng)計詮釋的詳細表述：表示粒子出現(xiàn)在點附近的概率。

表示點處的體積元中找到粒子的概率。

表示在體積微元中找到粒子的概率。多晶鋁箔30五、波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋及其性質(zhì)（2）2、統(tǒng)計詮釋下波函數(shù)的性質(zhì)：（1）歸一性：在全空間中找到粒子的概率為1（2）相對概率：對于概率分布，重要的是相對概率分布。和所描述的相對概率分布是完全相同的。例：在空間任意兩點和處，描述的相對概率為：31五、波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋及其性質(zhì)（3）和（4）相位不定性:若，則：

對粒子在點附近出現(xiàn)概率的描述是相同的。這是因為:（3）波函數(shù)的常數(shù)因子不定性：設(shè)是一個常數(shù)，則：和對粒子在點附近出現(xiàn)概率的描述是相同的。32五、波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋及其性質(zhì)（4）2、統(tǒng)計詮釋下對波函數(shù)的要求(1)、可積性(2)、歸一化(3)、單值性，要求

(4)、連續(xù)性33量子力學的基本假定之一基本假定Ⅰ：波函數(shù)假定微觀粒子的狀態(tài)可以被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。說明：波函數(shù)一般是粒子坐標和時間的復函數(shù)，波函數(shù)的模方代表粒子空間分布的概率密度。34六、動量分布概率（1）設(shè)，則表示粒子出現(xiàn)在點附近的概率。設(shè)，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為：任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做Fourier展開：35六、動量分布概率（2）可見，代表中含有平面波的成分，因此，應(yīng)該代表粒子具有動量的概率。36七、再論不確定度關(guān)系（1）經(jīng)典粒子：可以同時具有確定的動量和空間位置，即和可以同時成立。微觀粒子：和不能同時成立。例1：設(shè)一維自由粒子具有確定的動量，即，其相應(yīng)的波函數(shù)為平面波已證明平面波故且37七、再論不確定度關(guān)系（2）例2：設(shè)一維粒子具有確定的位置，即，則其波函數(shù)為相應(yīng)的傅立葉變換為:38七、再論不確定度關(guān)系（3）例3：有限長波列3