清華大學(xué)微積分偏導(dǎo)數(shù)和全微分

10.2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)10.2.1偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義

則稱為函數(shù)在點

關(guān)于變量x

的偏導(dǎo)數(shù).設(shè)二元函數(shù)若極限存在，對于n

元函數(shù)若極限等.

記作:存在,則稱為等.

記作

通常記作

更方便.

對變量

的偏導(dǎo)數(shù).

在點例1：對變量x求導(dǎo)解：將y看作常數(shù),在計算時,二元函數(shù)同理有例2:解：三元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù):

VeryImportant!例3：

無極限，不連續(xù)！

偏導(dǎo)數(shù)存在.

連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在

例4：初等函數(shù)，連續(xù).不存在！

而

方向?qū)?shù)

設(shè)是單位向量,

存在,若點沿的方向?qū)?shù)，

則稱為f在記作方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系

設(shè)

是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,方向的方向?qū)?shù)就是偏導(dǎo)數(shù).點沿這n個f在10.2.2高階偏導(dǎo)數(shù)定理：

若在某點其兩個二一般來說,高階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)！什么情況下,

混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)呢？

對于n元函數(shù)階混合偏導(dǎo)函數(shù)

，都連續(xù),

證明:記(只對二元函數(shù)證明)不一定等于

即則相等.則同理：令有，

例10.3

多元函數(shù)的微分10.3.1微分的概念一元函數(shù)微分的概念：多元函數(shù)的可微與微分

若存在常向量使得(*)則稱函數(shù)在點可微,

稱為微分.

定理：在可微,(*)成立,則連續(xù).

若且

特別地,在點的各偏導(dǎo)數(shù)都存記則

在,證明：

時,□

10.3.2函數(shù)可微的充分條件定理證明：

若函數(shù)

f各偏導(dǎo)函數(shù)在某點都連續(xù),則在該點可微.可微):(偏導(dǎo)連續(xù)□

一元函數(shù)微分：多元函數(shù)微分：

式中a稱為導(dǎo)數(shù).

稱為梯度,式中由上面定理知,函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大.例5:求:解:記作例6：切向量的方向?qū)?shù).

求f在(1,2)沿

的

解：在(1,2)切向量單位化梯度與微分的幾何意義

—表示平面.—表示平面,記作稱為曲面在點的切平面！

梯度與微分的幾何意義

例7：1)在(1,1)處切平面

2)即

切平面在例8研究該函數(shù)在原點是否存在偏導(dǎo)數(shù),是否可微.解所以下面證明該函數(shù)在原點不可微.則f(x,y)在(0,0)的微分是若該函數(shù)在原點可微,根據(jù)微分定義，但是容易證明:事實上，因此根據(jù)微分定義推出該函數(shù)在原點不可微.例9考察該函數(shù)在原點是否可微，偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù).1.證明函數(shù)在原點可微.計算得到容易看出：在原點自變量的改變量是所以并且2.證明該函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原點不連續(xù).沒有極限.從而同樣的方法可以證明：10.3.4二元函數(shù)的原函數(shù)問題設(shè)函數(shù)連續(xù),問是否某個函數(shù)的微分？(全微分)若是,則稱是的一個原函數(shù).“必要條件”:若有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且有原函數(shù),則證明:二階混合偏導(dǎo)連續(xù)時必相等例10求的原函數(shù).解:從而有因為所以即數(shù)學(xué)名家介紹(二)

泰勒(Taylor,Brook,1665.8.18-1731.12.29)英國數(shù)學(xué)家.生于埃德蒙頓，卒于倫敦.1709年獲法學(xué)博士學(xué)位.1712年當(dāng)選為皇家學(xué)會會員.他和哈雷、牛頓是親密的朋友.在數(shù)學(xué)方面，他主要從事函數(shù)性質(zhì)的研究，于1715年出版了《增量方法及其逆》一書，書中發(fā)表了將函數(shù)展成級數(shù)的一般公式，這一級數(shù)后來被稱為泰勒級數(shù).他還研究了插值法的某些原理，并用這種計算方法研究弦振動問題、光程微分方程的確定問題等.泰勒在音樂和繪畫