無窮小與無窮大

無窮小與無窮大極限的運算法則InfinitesimalandInfinityRulesofComputingLimits2023/2/6無窮小（大）的概念和性質(zhì)極限的運算法則；用極限的運算法則和無窮小的性質(zhì)求一些函數(shù)的極限。知識目標(biāo):2023/2/6實例1在日常生活中，經(jīng)常用樟腦丸來保護收藏的衣物，但我們發(fā)現(xiàn)隨著時間推移，樟腦丸會變得越來越小，最后樟腦丸的質(zhì)量將會如何變化？InfinitesimalandInfinity2023/2/6實例2InfinitesimalandInfinity將單擺離開鉛直位置的偏度用角來度量，讓單擺自己擺動，考慮機械摩擦力和空氣阻力，在這個過程中，角的變化趨勢如何？2023/2/6一、無窮小概念1.無窮小的定義例如果當(dāng)（或）時，函數(shù)f(x)的極限是零，那么稱函數(shù)f(x)當(dāng)（或）時為無窮小。InfinitesimalandInfinity2023/2/6例1

判斷下列函數(shù)哪些是無窮小，哪些不是無窮小。0是當(dāng)時為無窮小是當(dāng)時不是無窮小InfinitesimalandInfinity2023/2/6注意①無窮小量是以0為極限的變量；講一個函數(shù)是無窮小量，必須指出自變量的變化趨勢；

②無窮小量不一定是零，零作為函數(shù)來講是無窮小量；

任何非零常數(shù)，不論其絕對值如何小，都不是無窮小量。因為非零常數(shù)的極限是其本身，并不是零。2023/2/62.無窮小性質(zhì)（1）有限個無窮小的代數(shù)和與乘積仍為無窮小。InfinitesimalandInfinity注意：無限個無窮小量的和與積不一定是無窮小量。

例如：2023/2/6例3求極限解由性質(zhì)（2）2023/2/6例4求極限解由性質(zhì)（2）InfinitesimalandInfinity2023/2/6練習(xí)：利用無窮小的性質(zhì),求下列函數(shù)的極限

=0=0=0=0=0[A]

[B]=02023/2/6當(dāng)時，都是無窮小，他們的積趨向于零的速度。

仍為無窮小，那么它們的商是否也是無窮小呢？并通過列表觀察例5：InfinitesimalandInfinity極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.2023/2/63、無窮小的比較定義設(shè)和是同一變化過程中的兩個無窮小，即lim=0和lim=0(１)如果，那么稱是的高階無窮小(２)如果，那么稱是的低階無窮小(３)如果，那么稱是的同階無窮小特別是當(dāng)c=1時，即當(dāng)時，則稱與是等價無窮小,記作：InfinitesimalandInfinity2023/2/6例如，2023/2/6等價無窮小替代1、若極限,稱α(x）與β(x)等價.2、常見的幾個等價無窮小(很重要)2023/2/6定理(等價無窮量替換定理)意義：在求函數(shù)極限時，分子、分母、中的因式可以用它們的簡單的等價量來替換，以便進行化簡。但替換以后的函數(shù)極限要存在或為無窮大。無窮小等價代換定理常用于計算型的極限2023/2/6例求解例求解2023/2/62023/2/6例解解：求例：2023/2/6例解解錯注意：分子、分母中進行加、減的項不能替換，應(yīng)分解因式，用因式來替換,然后再對提出的無窮小因子進行代換，否則不能直接代換.2023/2/6連續(xù)兩次使用等價無窮小替代.等價無窮小替代例：解：2023/2/62023/2/6訓(xùn)練：2023/2/6二、無窮大的概念記作如稱是當(dāng)稱是當(dāng)稱是當(dāng)如果當(dāng)（或）時，函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，那么稱函數(shù)f(x)當(dāng)（或）時為無窮大。定義:

簡言之，極限為無窮的量叫做無窮大量.2023/2/6注意！InfinitesimalandInfinity(3)2023/2/6(1)有限個無窮大量之積是無窮大量;(2)有界變量與無窮大量之和是無窮大量.定理：有界量與無窮大量的乘積是否一定為無窮大量？考察

無窮大量與有界量之積不一定是無窮大量.2023/2/6三、無窮小與無窮大的關(guān)系例InfinitesimalandInfinity無窮小與無窮大互為“倒數(shù)”.2023/2/6漸近線曲線上的動點P沿曲線無限遠離坐標(biāo)原點時，它到某定直線的距離趨于0，則此直線稱為該曲線的漸近線。其分類為：1.垂直漸近線2023/2/6例如有鉛直漸近線兩條:2023/2/62.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:2023/2/63.斜漸近線斜漸近線求法:2023/2/6例解2023/2/6例1求下列函數(shù)曲線的漸近線：解(1)直線x=1是曲線的垂直漸近線.直線y=0是曲線的水平漸近線.直線y=0是曲線的水平漸