第二章矩陣及其運(yùn)算

第二章矩陣及其運(yùn)算重點(diǎn)：1.矩陣加法、數(shù)乘、乘積、轉(zhuǎn)置

2.方陣的行列式

3.伴隨矩陣

4.逆矩陣

5.矩陣分塊可到以下公共郵箱下載課件：caucla2013@163.com密碼：2013la1.矩陣的定義

由mn個(gè)數(shù)aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的數(shù)表:稱為m行n列的矩陣.簡(jiǎn)稱

mn矩陣.簡(jiǎn)記為:這mn個(gè)數(shù)aij稱為矩陣A的元素.A=Amn=(aij)mn=(aij).一、基本概念

設(shè)A=(aij)是一個(gè)ms矩陣,B=(bij)是一個(gè)sn

矩陣,定義矩陣A與矩陣B的乘積C=(cij)是一個(gè)mn矩陣,其中6.矩陣與矩陣相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘積記作C=AB.5.數(shù)與矩陣相乘

數(shù)與矩陣A=(aij)的乘積定義為(aij),記作A或A,簡(jiǎn)稱為數(shù)乘.(注意與數(shù)乘行列式的區(qū)別)注意：矩陣相乘不滿足交換律4.矩陣的加法

設(shè)有兩個(gè)同型的mn

矩陣A=(aij)與B=(bij),那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij),記作A+B,即

把矩陣A的行列互換,所得到的新矩陣,叫做矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT.7.轉(zhuǎn)置矩陣(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)

由n

階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.方陣行列式的運(yùn)算性質(zhì)(1)|AT|=|A

|;(2)|A|=n|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.一個(gè)重要結(jié)論(7)行列式|

A

|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij

所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.性質(zhì):

(1)AA*

=

A*A

=

|

A

|

E.(2)

對(duì)于n

階方陣A,如果存在一個(gè)n

階方陣B,使得AB=BA=E則稱矩陣A是可逆的(非奇異的,非退化的),并稱矩陣B為A的逆矩陣.A的逆矩陣記作A-1.10.逆矩陣(2)矩陣A可逆的充要條件是|

A

|

0.(3)若A是可逆矩陣,則(1)若AB=E(或BA=E),則B=A-1.(4)若矩陣A可逆,且

0,則

A

亦可逆,且(5)若A可逆,則A-1亦可逆,且(A-1)-1=

A.(7)若矩陣A可逆,則AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.(6)若A,B為同階可逆方陣,則AB亦可逆,且(AB)-1=

B-1A-1.(8)若矩陣A可逆,則有|

A-1|=|

A

|-1.例4:

求的逆矩陣(

ad

–

bc

0

).

求二階矩陣A的逆可用“兩調(diào)一除”的方法,其做法如下:

先將矩陣A中的主對(duì)角元素調(diào)換其位置,再將次對(duì)角元素調(diào)換其符號(hào),最后除A的行列式|A|.二階矩陣求逆矩陣的計(jì)算對(duì)角矩陣的逆矩陣分塊對(duì)角陣的逆矩陣類似！逆矩陣的計(jì)算方法:(3)初等變換法(2)伴隨矩陣法:低階矩陣(1)定義法;(4)分塊矩陣法;待定系數(shù)A為n階方陣,記(A)=a0E+a1A+···+amAm,則(A)稱為方陣A的m次多項(xiàng)式,簡(jiǎn)稱矩陣多項(xiàng)式.矩陣多項(xiàng)式可以類似與一般多項(xiàng)式一樣相乘或分解因式.

定義:設(shè)A,B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,使P-1AP

=

B

,則稱矩陣A與B相似.也有A

=

PBP-1,相似矩陣有(1).Am

=

PBmP-1.(2).若(A)=a0E+a1A+···+amAm,則(A)=P(B)P-1一、矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置）2010年期末考試題

(課后題2題)：

求及設(shè)三、計(jì)算下列各題2012年選考題2012年選考題2011年期末考試題，填空題(4分)(課后題2題)：2011年選考題，填空題(4分)矩陣的n次冪矩陣拆分相乘2012年期末考試題2012年期末考試題二項(xiàng)式法二項(xiàng)式法二、求解矩陣方程2010年期末考試題(8分)(課后題15題)：設(shè)求B.2010年選考題2010年期末考題(I)，2011年選考題求解矩陣方程2011年期末考題2008年期末考題設(shè)矩陣X滿足關(guān)系式求X.2009年期末考題(課后題16題)：設(shè)求B.答案：42011年選考題三、計(jì)算方陣行列式(逆矩陣、伴隨矩陣)2011年期末考題2009年期末考題二、填空題4.設(shè)且存在，則四、逆矩陣課后題22題：設(shè)方陣A滿足證明A及A+2E都可逆,并求及.設(shè)方陣A滿足證明A及A+2E都可逆,A22009年期末考題2.設(shè)A、B均為n階可逆矩陣，且AB=BA，則下列命題不正確的是()(A)(B)(C)(D)2.設(shè)n階矩陣A,B,C滿足關(guān)系式ABC=E，E為n階單位矩陣，則必有().(A)ACB=E;(B)CBA=E;(C)BAC=E;(D)BCA=E.2008年期末考題(II)DC2012年選考題、課后21題例5(課后題24題)

設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*,證明:(1)若|A|=0,則|A*|=0;(2)|A*|=|A|n–1.2010年期末考試(II)

一、填空題(4)設(shè)A是n階方陣，且，而是A的伴隨矩陣，則4、設(shè)A是n階方陣，且|A|=0,而A*是A的伴隨矩陣，則|A*

|=.02010年期末考試(I)五、伴隨矩陣設(shè)A=的伴隨矩陣為A*,則(A*)–1=

2008年期末考題(I)課后題23題：設(shè)A可逆，證明其伴隨陣A*也可逆，且.2010年期末考題(I)二、選擇（每題4分，共16分）1、設(shè)A與B均為n階方陣，則下列結(jié)論中成立的是()|AB|=0,則A=0或B=0;B.|AB|=0,則|A|=0或|B|=0；C.AB=0,則A=0或B=0;

D.AB≠0,則|A|≠0或|B|≠0；

B1.設(shè)則|AB|=().