第二章資金等值計算

第二章資金等值計算主要教學內(nèi)容和目的：了解資金時間價值的含義；理解單利和復利的區(qū)別；理解名義利率和有效利率的區(qū)別；掌握資金時間價值計算公式的應用；重點掌握資金時間價值計算公式的應用。第一節(jié)資金的時間價值

一、資金時間價值的含義

資金的時間價值——指資金在生產(chǎn)和流通過程中隨著時間推移而產(chǎn)生的增值。決定資金時間價值大小的主要因素通貨膨脹、資金貶值；承擔風險；投資增值。資金時間價值的體現(xiàn)利息和利潤利率和利潤率例：兩個項目，一個項目開始投入100萬，1年后產(chǎn)出200萬，另一個項目投入150萬，2年后產(chǎn)出300萬。例：

年末A方案B方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000例：

例：

二、計息的種類

利息：放棄資金使用價值的報酬。

式中I——利息；F——目前債務人應付（或債權(quán)人應收）總金額；P——原借貸款金額，常稱為本金。利率：單位時間內(nèi)投入單位資金所得的增值。式中i——利率；It——單位時間內(nèi)所得的利息額。

例：某人現(xiàn)借得本金1000元，一年后付息80元，則年利率為：1、單利法——在計算利息時，只對最初本金計算利息，而對每期的利息不再計息。式中It——代表第t計息周期的利息額；P——代表本金；i單——計息周期單利利率。n期末單利本利和F等于本金加上利息，即：

式中，In——代表n個計息周期所付或所收的單利總利息

總利息與本金、利率以及計息周期數(shù)成正比的關(guān)系。式中n和i單反映的時期要一致。例如，存入銀行1000元本金，年利率為6％，共存五年，每個計息周期的本金、利息和本利和如下表：例1：我國國庫券的利息以單利計息，假設面額100元，3年期，年利率14％，則到期本利和？解：F＝P（1＋n×i）＝100（1＋3×14％）＝142元例2：假如以單利方式借入1000元，年利率8%，第四年末償還，則各年利息和本利和如下表。使用期年初款額年末利息年末本利和年末償還12342、復利法——即以本金和累計利息之和為基數(shù)計算利息的方法。

式中i——計息周期復利利率；Ft-1——表示第（t－1）期末復利本利和。第t期末復利本利和的表達式如下：

例如，存入銀行1000元本金，年利率為6％，共存五年，若按復利法計息，每個計息周期的本金、利息和本利和如下表：例：假如以復利方式借入1000元，年利率8%，第四年末償還，則各年利息和本利和如下表。使用期年初款額年末利息年末本利和年末償還1234三、名義利率和實際利率（一）名義利率名義利率就是以一年作為時間單位表示的利率。

名義利率r是指計息周期利率i乘以一年內(nèi)的計息周期數(shù)n所得的年利率。r=i×n（二）實際（有效）利率

是資金在實際計息中所采用的利率

i＝r/n

年有效利率以年為計息周期表示的有效利率。

已知年名義利率r，一年內(nèi)計息n次，則計息周期利率為i=r/n，在年初有資金P。根據(jù)復利計息公式可得該年終值F，即：

例如，“年利率12%，每月計息一次”。年有效利率為：i1=1×(1+1%)12?1=12.68%。那么2年期有效利率又為多少呢？

如果實際的年利率為12%，按每月計息一次，那么實際月利率、名義利率各為多少？當名義利率分別為12％和6％時，對應于不同計息周期的年實際利率值如下表：

例1：某廠擬向兩個銀行貸款以擴大生產(chǎn)，甲銀行年利率為16%，計息每年一次。乙銀行年利率為15%，但每月計息一次。試比較哪家銀行貸款條件優(yōu)惠些？解：因為i乙>i甲，所以甲銀行貸款條件優(yōu)惠些。例2：某企業(yè)向銀行借款，有兩種計息方式，分別是：A：年利率8%，按月計息；B：年利率9%，按半年計息。問企業(yè)應選擇哪一種計息方式？

第二節(jié)資金等值計算

一、相關(guān)概念i－利率(折現(xiàn)率)n－計息次（期）數(shù)如半年計息一次，則兩年共計息期數(shù)？P－現(xiàn)值（本金或現(xiàn)在值）F－終值（將來值）A－年金：在某一特定時間序列期內(nèi)，每隔相同時間收入或支出的等額款項。

等值二、整付類型

1、一次支付終值公式（整付終值公式）

計息期期初金額（1）本期利息額（2）期末本利和Ft=（1）＋（2）1PP·iF1=P＋P·i=P（1＋i）2P（1＋i）P（1＋i）·iF2=P（1＋i）＋P（1＋i）·i=P（1＋i）23P（1＋i）2P（1＋i）2·iF3=P（1＋i）2＋P（1＋i）2·i=P（1＋i）3：：：：：：：：：：：：nP（1＋i）n-1P（1＋i）n-1·iF=Fn=P（1＋i）n-1＋P（1＋i）n-1·i=P（1＋i）n

稱之為一次支付終值系數(shù)（整付終值系數(shù)），用表示。一次支付終值系數(shù)表（附表）

例1：某人借款10000元，年利率i=10%，試問5年末連本帶利一次需償還多少？解：

例2：某企業(yè)進行設備更新改造，第一年初向銀行借款200萬元，第二年向銀行借款300萬元，在第五年末全部還清，年利率8％，問最后還款多少？

2、一次支付現(xiàn)值公式（整付現(xiàn)值公式）

稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)（整付現(xiàn)值系數(shù)），用符號表示。

計算現(xiàn)值P的過程叫“折現(xiàn)”或“貼現(xiàn)”，其所使用的利率常稱為折現(xiàn)率或貼現(xiàn)率。一次支付現(xiàn)值系數(shù)也可叫折現(xiàn)系數(shù)或貼現(xiàn)系數(shù)（附表）。例1：某人希望5年末有10000元資金，年利率i=10%，試問現(xiàn)在需一次存款多少？解：例2：某企業(yè)擬購買一設備，價格500萬元，有兩種付款方式：（1）一次性付款，優(yōu)惠12%；（2）分期付款，則不享受優(yōu)惠，首次付40%，第1年末付30%，第2年末付20%，第3年末付10%。假設企業(yè)購買設備用的是自有資金，機會成本10%，問選那種方式付款？若機會成本16%，問選那種方式付款?現(xiàn)值系數(shù)與終值系數(shù)是互為倒數(shù)。P一定，n相同時，i越高，F(xiàn)越大；在i相同時，n越長，F(xiàn)越大。

時間利率1年5年10年20年1%1.01001.05101.10461.22015%1.05001.27621.62882.07898%1.08001.49632.15894.660910%1.10001.61052.59376.727312%1.12001.76233.10589.646215%1.15002.01134.045516.366表1：一元現(xiàn)值與終值的關(guān)系

在F一定，n相同時，i越高，P越??；在i相同時，n越長，P越小。

時間利率1年5年10年20年1%0.990100.951470.905300.819575%0.952380.783580.613920.376908%0.925930.680590.463200.2145510%0.909090.620920.385550.1486512%0.892860.567420.321970.1036715%0.869570.497180.247190.06110表2：一元終值與現(xiàn)值的關(guān)系

三、等額分付類型1、系列年金終值公式（等額分付終值公式）

式中稱為年金終值系數(shù)或等額分付終值系數(shù)，用符號表示。（附表）等額分付終值計算公式應滿足：①每期支付金額相同；②支付間隔相同：③每次支付都在對應的期末，終值與最后一期支付同時發(fā)生。例1：若10年內(nèi)，每年末存1000元，年利率8%，問10年末本利和為多少？

解：

例2：第一年初存入銀行100元，第二年以后連續(xù)五年每年年初存入銀行100元，問第六年年初的本利和為多少？(年利率6%)解：或

2、償債基金公式(等額支付系列積累基金公式)

式中稱為等額支付系列償債基金系數(shù)，用符號表示。（附表）

例1：某企業(yè)計劃自籌資金進行一項技術(shù)改造，預計5年后進行的這項改造需用資金300萬元，銀行利率8％，問從今年起每年末應籌款多少?解：

例2：（1）某企業(yè)5年后需用一筆50萬元資金用于固定資產(chǎn)的設備更新改造，如年利率5％，問從現(xiàn)在開始該企業(yè)每年年末應向銀行存入多少資金？（2）假設每年年初存入多少資金，才能滿足需要?3、年金現(xiàn)值公式（等額分付現(xiàn)值公式）

式中稱為等額支付系列現(xiàn)值系數(shù)或年金現(xiàn)值系數(shù)或等額分付現(xiàn)值系數(shù)，用符號表示。（附表）例1：欲期望五年內(nèi)每年末收回1000元，在年利率為10%時，問開始需一次投資多少？解：

例2：某企業(yè)5年內(nèi)每年初需要投入資金100萬元用于技術(shù)改造，企業(yè)準備存入一筆錢以設立一項基金，提供每年技術(shù)改造所需的資金，年利率6％，問企業(yè)應存入基金多少錢？4、資本回收公式（資金恢復公式）

式中稱為等額支付系列資本回收系數(shù)，用符號表示。（附表）例1：若投資10000元，每年收回率為8%，在十年內(nèi)收回全部本利，則每年應收回多少？

解：例2：某工程項目第一年、第二年初分別投資700萬元和600萬元，第三年初投產(chǎn)，第三、四年末總收入分別為100萬元，其中經(jīng)營成本38萬元。其余投資期望在第四年以后的五年內(nèi)回收，問每年至少需等額收回多少萬元（i＝8％）？5、總結(jié)先付年金的等值計算例1：某公司租一倉庫，租期5年，每年年初需付租金12000元，貼現(xiàn)率為8％，問該公司現(xiàn)在應籌集多少資金？延期年金的等值計算例2：設利率為10％，現(xiàn)存入多少錢，才能正好從第四年到第八年的每年年末等額提取2萬元？永續(xù)年金的等值計算

例3：某地方政府一次性投入5000萬元建一條地方公路，年維護費為150萬元，折現(xiàn)率為10％，求現(xiàn)值。表：6個常用復利公式四、內(nèi)插法例1：已知P=10萬元，F(xiàn)=30萬元，n=10，求i。解：

資金償還年限：已知A、P、i，求n

例2：已知P=5億元，A=1.2億元，i=10%，求n=？解：

例3：已知（P/A，i，10）=5.4，求i=?解：

五、間斷復利和連續(xù)復利

復利計息的周期為一定的時間，如年、月、日等，稱為間斷式計息或離散式復利。如果計息周期無限縮短，趨向于0（意味著計息次數(shù)n趨向于無限多），此時就是所謂的連續(xù)式復利計息。

若在一年中使計息次數(shù)無限多，年有效利率為：例1：某地向世界銀行貸款100萬美元，年利率為10％，試用間斷計息法和連續(xù)計息法計算5年后的本利和?例2：、試以下列方法計算比較每年2000元，連續(xù)10年，年利率10%的現(xiàn)金流量的現(xiàn)值。（備注：（P/A，10%，10）=6.1445）1）按每年復利計算；2）按連續(xù)復利計算。六、課堂練習

例1：假如某人目前借入2000元，在今后兩年中分24次償還，每次償還99.80元，復利按月計算。試求月有效利率、年名義利率和年有效利率？例2：某債券是一年前發(fā)行的，面額為500元，年限5年，年利率10%，每年支付利息，到期還本，若投資者要求在余下的4年中的年收益率為8%，問應以低于多少的價格購買該債券？

例3：有如下圖示現(xiàn)金流量，解法正確的有()AF=A(P/A，i，6)(F/P，i，8)BF=A(P/A，i，5)(F/P，i，7)CF=A(F/A，i，6)(F/P，i，2)DF=A(F/A，i，5)(F/P，i，2)EF=A(F/A，i，6)(F/P，i，1)例4：某企業(yè)于第一年年初和第二年年初連續(xù)兩年各向銀行貸款30萬元，年利率為10%，約定于第三年、第四年、第五年三年年末等額償還，則每年應償還()。A23.03萬元B25.33萬元C27.87萬元D30.65萬元例5：某人存款1萬元，若干年后可取現(xiàn)金2萬元，銀行存款利率10%，則該筆存款的期限（）。A10年B小于8年C8～10年之間D大于10年例6：若i1=2i2，n1=n2/2，則當P相同時，（）。A（F/P，i1，n1）<（F/P，i2，n2）B（F/P，i1，n1）=（F/P，i2，n2）C（F/P，i1，n1）>（F/P，i2，n2）D不能確定（F/P，i1，n1）與（F/P，i2，n2）的大小例7：下列關(guān)于時間價值系數(shù)的關(guān)系式，表達正確的有（）A（F/A，i，n）=(P/A，i，n)×(F/P，i，n)B（F/P，i，n）=(F/P，i，n1)×(F/P，i，n2)，其中n1+n2=nC（P/F，i，n）=(P/F，i，n1)＋(P/F，i，n2)，其中n1+n2=nD（P/A，i，n）=(P/F，i，n)×(A/F，i，n)E1/（F/A，i，n）=(F/A，i，1/n)例8：某投資者5年前以200萬元價格買入一房產(chǎn)，過去5年內(nèi)每年的租金收益25萬元，現(xiàn)在該房以250萬元出售。若投資者期望的年收益率為20%，問此投資能否達到要求？

例9：第一年初存入銀行10000元，第二年年末開始從銀行取款，每年年末均取出500元，問第10年年末的銀行存款還剩多少？利率為10%例10：某公司欲引進一項專利，對方提出兩種付款方式供選擇。一種是：一筆總計售價25萬元，一次付清；另一種是：總計和提成相結(jié)合，具體條件為，簽約時付費5萬元，2年建成投產(chǎn)后，按產(chǎn)品每年收入60萬元的6%提成(從第3年末開始到第12年末)。若資金利率10%，問公司應采用哪種方式付款？P33例題七、練習題1：當利率為多大時，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元？2：按年利率為12%，每季度計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末支付借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

解：第一種方法：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末支付轉(zhuǎn)變成等值的計息期末的等額支付系列，其現(xiàn)金流量見下圖：將年度支付轉(zhuǎn)化