第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1隨機(jī)變量的數(shù)字特征—概述

分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性.但在某些實(shí)際問題中，并不需要全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需要知道隨機(jī)變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數(shù).

例如，在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量；又如,檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好.

與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征.2第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望

4.2方差4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.4大數(shù)定律與中心極限定理3引例有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：

射手乙試問哪個(gè)射手本領(lǐng)較好？

射手甲解設(shè)兩個(gè)選手各射N槍，則有

甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N

乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N

甲平均射中9.3環(huán)，乙平均射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領(lǐng)好些.

在這一問題中，以平均值的大小為準(zhǔn)則，來判定射手的射擊水平的高低.由此產(chǎn)生了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)的概念.4

射手甲射手乙試問哪個(gè)射手本領(lǐng)好一些？

若兩個(gè)選手各射N槍，則甲的平均環(huán)數(shù)為：(8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N)/N=9.1，乙的平均環(huán)數(shù)為:（8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N)/N=9.1.

這時(shí)，可用量

來衡量射手的射擊水平的高低.D(X)它表示射擊環(huán)數(shù)對(duì)平均值的離散度.D(X)的值越小，表示射擊環(huán)數(shù)x越集中在平均環(huán)數(shù)E(X)的附近，這意味著射手的射擊水平越穩(wěn)定.由此便產(chǎn)生了方差的概念.但是，僅利用平均值這一指標(biāo)，來判定射手的射擊水平的高低還不夠.例如，54.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4.1.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4.1.2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)64.1.1數(shù)學(xué)期望的定義—離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為絕對(duì)收斂，則稱的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記為.即若級(jí)數(shù)7數(shù)學(xué)期望的定義—連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，即若積分絕對(duì)收斂，則稱

的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記為E(X).8例1，2求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望.解例2求普阿松分布的數(shù)學(xué)期望.9例3，4隨機(jī)變量X取值對(duì)應(yīng)的概率為求數(shù)學(xué)期望.解盡管但由于因此，隨機(jī)變量X的期望E(X)不存在.例4隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布求數(shù)學(xué)期望.解104.1.2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望11例512例6

若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))N的數(shù)學(xué)期望.

有兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為

1314隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望15隨機(jī)向量的分量的數(shù)學(xué)期望則有從而有16例7174.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)18例819即20矩的概念214.2隨機(jī)變量的方差4.2.1方差的定義4.2.2方差的性質(zhì)224.2.1隨機(jī)變量方差的定義23方差與數(shù)學(xué)期望的關(guān)系24例925例10

264.2.2方差的性質(zhì)27例11

2829例12

304.2.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望與方差31正態(tài)分布的期望與方差32正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合—再生性3334例133536例14374.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.3.1定義4.3.2性質(zhì)4.3.3不相關(guān)與獨(dú)立384.3.1協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義39協(xié)方差與期望、方差的關(guān)系40例15

41424.3.2協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)43例16證明444.3.3不相關(guān)與獨(dú)立45不相關(guān)與獨(dú)立間的關(guān)系不相關(guān)獨(dú)立相關(guān)46例171/41/41/41/4P{X=j}1/21/4001/441/201/41/401P{Y=i}21-1-2

X

Y471/41/41/41/41/4P{X=j}1/21/4001/441/201/401P{Y=i}21-1-2

X

Y484.4.1大數(shù)定律的內(nèi)容辛欽大數(shù)定律（弱大數(shù)定律）49貝努里大數(shù)定律雖然某個(gè)事件在某一次實(shí)驗(yàn)中可以出現(xiàn)，也可以不出現(xiàn).但是，在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性，即一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率在某個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，即所謂“頻率穩(wěn)定性”.顯然，貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況.雅各布第一貝努里（1652—1705）在《推測術(shù)》(1713年出版)中首先證明了這個(gè)規(guī)律.50大數(shù)定律的意義大數(shù)定律給出了在試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)頻率和平均值的穩(wěn)定性，從理論上肯定了用算術(shù)平均值代替均值，用頻率代替概率的合理性.它既驗(yàn)證了概率論中一些假設(shè)的合理性，又為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中用樣本推斷總體提供了理論根據(jù)，所以說，大數(shù)定律是概率論中最重要的基本定律.514.4.2中心極限定理的內(nèi)容52林德伯格—萊維定理53中心極限定理的意義正態(tài)分布是現(xiàn)實(shí)生活中使用最多、最廣泛、最重要的一種分布.許多隨機(jī)變量本身并不服從正態(tài)分布，但在某些條件下，這些隨機(jī)變量之和的分布的極限是正態(tài)分布，即在一定的條件下，原來不服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的和的分布漸近地服從正態(tài)分布.中心極限定理為利用正態(tài)分布來解決這類隨機(jī)變量的概率問題提供了理論依據(jù).大數(shù)定律與中心極限定理都是通過極限理論來研究概率問題，研究的對(duì)象都是隨機(jī)變量序列，解決的都是概率論中的基本問題，因而在概率論中有重要的意義.所不同的是，大數(shù)定律研究平均值的極限，而中心極限定理則研究隨機(jī)變量總和分布的極限.54例185556例19575859德莫佛——拉普拉斯定理60概率計(jì)算公式61近似計(jì)算公式62例20

6364例21

65附錄1極限定理發(fā)展簡史

概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于貝努里，他于1713年提出，泊松于1837年稱之為“大數(shù)定律”.概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值收斂于常數(shù)的定律.它是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本定律之一.又稱為弱大數(shù)理論.

1733年，徳莫佛--拉普拉斯在分布的極限定理方面走出了根本性的一步，證明了二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布.拉普拉斯改進(jìn)了他的證明并把二項(xiàng)分布推廣為更一般的分布.1900年，李雅普諾夫進(jìn)一步推廣了他們的證明，并創(chuàng)立了特征函數(shù)法。這類分布極限問題是當(dāng)時(shí)概率論研究的中心問題，波利亞于1920年為之命名為“中心極限定理”.20世紀(jì)初，主要探討使中心極限定理成立的最廣泛的條件，二三十年代的林德貝格條件和費(fèi)勒條件是獨(dú)立隨機(jī)變量序列情況下的顯著進(jìn)展.66附錄2隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望和方差67附錄3

補(bǔ)充題16869補(bǔ)充題