第四章根軌跡法

第四章復(fù)域分析法——根軌跡法基本內(nèi)容及要求

1.正確理解開環(huán)零、極點(diǎn)和閉環(huán)零、極點(diǎn)以及主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運(yùn)用模方程計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運(yùn)用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開環(huán)增益K從零變化到正無窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡。4.正確理解閉環(huán)零極點(diǎn)分布和階躍響應(yīng)的定性關(guān)系，初步掌握運(yùn)用根軌跡分析參數(shù)對響應(yīng)的影響。能熟練運(yùn)用主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念，將系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)給出定量估算。根軌跡法：根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)求出閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)（閉環(huán)特征根）的運(yùn)動(dòng)軌跡。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)確定出閉環(huán)極點(diǎn)位置是十分有意義的。4－1根軌跡的基本概念定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。根軌跡的分類：當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為正

反饋時(shí)，對應(yīng)的軌跡為零

度根軌跡；而負(fù)反饋系統(tǒng)的軌跡為1800

根軌跡。一、根軌跡定義如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：例開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)。

沒有零點(diǎn)，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征根為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

從特征根的表達(dá)式中看出每個(gè)特征根都隨K的變化而變化。例如，設(shè)：K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞

如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。二、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：將前向通道傳遞函數(shù)G(s)表示為：

為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益。

式中為反饋通道的根軌跡增益。閉環(huán)傳遞函數(shù):分別為閉環(huán)零、極點(diǎn)。式中：比較開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)可得出以下結(jié)論:閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。根軌跡法的任務(wù)是在已知開環(huán)零、極點(diǎn)分布的情況下，通過圖解法求出閉環(huán)極點(diǎn)。三、根軌跡方程根軌跡方程

G(s)H(s)=-1

式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系。閉環(huán)特征方程

D(s)=1+G(s)H(s)=0

閉環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。

設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)有m個(gè)零點(diǎn)，n個(gè)極點(diǎn)，并假定n≥m，G(s)H(s)可以寫成：

根軌跡方程為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程模值方程注意

在實(shí)際應(yīng)用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點(diǎn)的值。

模值方程不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)。

相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。

根軌跡方程還可以表示為一個(gè)向量方程，用模和相角的形式表示：

由此可得到滿足系統(tǒng)特征方程的幅值條件和相值條件為：幅值條件：相角條件：

綜上分析，可以得到如下結(jié)論：⑴繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小有關(guān)。即開環(huán)根軌跡增益值的變化會改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的位置。⑵繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小無關(guān)。即在s平面上，所有滿足相角條件點(diǎn)的集合構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。即相角條件是繪制根軌跡的主要依據(jù)。⑶在系統(tǒng)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿足相角條件和幅值條件的s值，就是對應(yīng)給定參數(shù)的特征根，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。⑷由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，因此，已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出根軌跡圖。例4-1它們應(yīng)滿足相角方程。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試證明復(fù)平面上的點(diǎn)

是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。

若系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為證明：該系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)圖4－4例4－1開/閉環(huán)零、極點(diǎn)分布圖(k=0)以為試驗(yàn)點(diǎn)，可得：以為試驗(yàn)點(diǎn)，觀察圖4－4，可得：圖4－4證畢可見，都滿足相角方程，所以，點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)。例4－2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)變化時(shí)其根軌跡如圖4-5所示，求根軌跡上點(diǎn)所對應(yīng)的K值。解:根據(jù)模值方程求解值模值方程：圖4-5根據(jù)圖4－5可得所以圖4-5上面兩個(gè)例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點(diǎn)是否是閉環(huán)極點(diǎn)以及確定根軌跡上一點(diǎn)對應(yīng)的值。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時(shí)閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。知識回顧根軌跡法的定義：在已知開環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時(shí)閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布。根軌跡作用系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能4－2繪制根軌跡的基本法則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)A和kg取不同值時(shí)，繪出的根軌跡是什么類型的根軌跡。分以下幾種情況說明：

Kg為常數(shù)，A為變數(shù)時(shí)，為參量根軌跡；

A為常數(shù)，kg為變數(shù)時(shí)，為常規(guī)根軌跡（包括180度和0度根軌跡）；

kg為變數(shù)，當(dāng)kg>0時(shí)，若A>0，則為180度根軌跡；若A<0，為0度根軌跡。

kg為變數(shù)，當(dāng)kg<0時(shí)，若A>0，則為0度根軌跡；若A<0，為180度根軌跡。繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有7條：

根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)；根軌跡的分支數(shù)；

實(shí)軸上的根軌跡；根軌跡的漸近線；

根軌跡的分離點(diǎn)；

根軌跡的起始角和終止角；

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。

以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。

規(guī)則一

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)幅值條件可寫成:當(dāng)，必須有：

此時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)相同(重合)，把開環(huán)極點(diǎn)稱為根軌跡的起點(diǎn)，它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益。當(dāng)時(shí)，必須有幅值條件可寫成:

此時(shí),系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)相同(重合),把開環(huán)零點(diǎn)稱為根軌跡的終點(diǎn),它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益。

下面分三種情況討淪。

1．當(dāng)m=n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。

2．當(dāng)m<n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)(有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(無限零點(diǎn))。

3．當(dāng)m>n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)(有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(無限極點(diǎn))。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中。

規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性

根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在S平面上的分布，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益(實(shí)變量）與復(fù)變量s有一一對應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)由零到無窮大連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量s在平面上的變化也是連續(xù)的。因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線。

由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根；若它的特征方程的根為實(shí)數(shù)，則在實(shí)軸上。因此，根軌跡總是對稱于實(shí)軸的。結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線。

若實(shí)軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。例4-3

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

中、、、、為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，為共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)，它們在s平面上的分布如下頁圖所示，試分析實(shí)軸上的根軌跡與開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系。

規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即：p1p2p3p5p4z1z2z4z3j0開環(huán)零極點(diǎn)分布圖p1p2p3z1z2j0實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡

選擇so作為試驗(yàn)點(diǎn)。開環(huán)極點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量的相角為：開環(huán)零點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量的相角為：p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3

實(shí)軸上，s0點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)P3和開環(huán)零點(diǎn)z2構(gòu)成的向量的夾角均為零度，而s0點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)P1、P2和開環(huán)零點(diǎn)z1構(gòu)成的向量的夾角均為180o。若s0為根軌跡上的點(diǎn)，必滿足：

結(jié)論：只有s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。

在確定實(shí)軸上的根軌跡上時(shí)，不考慮復(fù)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)對相角的影響。p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3規(guī)則四根軌跡漸近線

當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線。因此，漸近線也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)。規(guī)則四根軌跡漸近線

漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置和與實(shí)軸正方向的交角分別為:在例4-1中，開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=2,開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m=0,n-m=2,兩條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)位置為它們與實(shí)軸正方向的交角分別和，兩條漸近線正好與時(shí)的根軌跡重合。

例4-4

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解：對于該系統(tǒng)有n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)位置為：它們與實(shí)軸正方向的交角分別是：

漸近線如圖4-3所示。圖4-3根軌跡的漸近線

當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益由零到無窮大變化時(shí)，兩條根軌跡先在實(shí)軸上相向運(yùn)動(dòng)(0≤＜0.5),相遇在點(diǎn)，當(dāng)＞0.5后，離開實(shí)軸進(jìn)入s平面，且離開實(shí)軸時(shí)，根軌跡與實(shí)軸正交。稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)。實(shí)際上，點(diǎn)是系統(tǒng)特征方程的等實(shí)根。一般，常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上兩條根軌跡分支的分離點(diǎn)。

規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)

例：分析系統(tǒng)

若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間（其中一個(gè)可以是無限極點(diǎn)），則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)；若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間（其中一個(gè)可以是無限零點(diǎn)），則在這兩個(gè)零點(diǎn)之間也至少有一個(gè)分離點(diǎn)。如圖4-5上的分離點(diǎn)和。分離點(diǎn)也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上，如圖4-6中的分離點(diǎn)A和B。復(fù)平面上的分離點(diǎn)表明系統(tǒng)特征方程的根中至少有兩對相等的共軛復(fù)根存在。圖4-5實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)

圖4-6復(fù)平面上的分離點(diǎn)

對上式求導(dǎo)可得：

規(guī)則證明！

由上面分析可知，根軌跡的分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的等實(shí)根（實(shí)軸上的分離點(diǎn)）或等共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點(diǎn)）。系統(tǒng)的特征方程可寫成：式中，為開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值，為開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。分離點(diǎn)方程對于一個(gè)n階系統(tǒng)，可解得到n-1個(gè)根分離點(diǎn)：方程的另一種形式為：當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無有限零點(diǎn)時(shí)，則在中，取。分離點(diǎn)方程即為：。注：只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點(diǎn)。即解得，位于實(shí)軸根軌跡上（由0到-2的線段上），故它是實(shí)軸上的分離點(diǎn)。對于系統(tǒng)：例4-5

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試求出系統(tǒng)根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)。

由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為-1到-2線段和-3到-∞線段。不在上述兩線段上，應(yīng)舍去。解：本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn)，可得分離點(diǎn)方程為：

即：解出：

是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，所以是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。運(yùn)用前面的六條規(guī)則，可繪制如圖4-7所示的根軌跡圖。圖4-7根軌跡的分離點(diǎn)

規(guī)則六起始角與終止角定義如下：⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8(a)中的和。⑵終止角根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8(b)中的和。圖4-8(a)根軌跡的起始角圖4-8(b)根軌跡的終止角通過例4-6來分析起始角與終止角的大小。例4-6

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為且p1和p2為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，p3和z1分別為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們在s平面上的分布如圖4-9所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1和p2的起始角和。由于A點(diǎn)無限靠近P1點(diǎn)，對于根軌跡上無限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得：可得：[s]swj1z1p2p3p)(31pp-D)(21pp-D)(11zp-D01pqA圖4-9起始角的求取推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為：同理，可得到求終止角的關(guān)系式為：規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。用代入特征方程可得：即：由此可得虛部方程和實(shí)部方程為：

的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。它對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。

解此方程組可得角頻率，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。解：由例4-5知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其虛部方程和實(shí)部方程分別為：例4-7

試求出例4-5中根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。

解虛部方程得：由于不是根軌跡上的點(diǎn)，應(yīng)舍去。故為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。

將其代入實(shí)部方程便可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值：

當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程比較困難，可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示。圖4-10根軌跡與虛軸的交點(diǎn)wj[s]1p2p3p-1-2-30)60(3.3=rcKj∞r(nóng)Kds∞r(nóng)K)60(3.3=rcK-j根軌跡繪制法則規(guī)則一

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡規(guī)則四根軌跡漸近線規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)

規(guī)則六根軌跡的起始角與終止角規(guī)則七根軌跡的與虛軸的交點(diǎn)注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫法：⑴根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn))用符號“”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開環(huán)零點(diǎn)

)用符號“o”標(biāo)示。⑵根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。⑶要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的值，如起點(diǎn)（)，終點(diǎn)（)；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)d()；與虛軸的交點(diǎn)（）。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。分離角與會合角補(bǔ)充規(guī)則分離角是指根軌跡離開分離點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。分離角計(jì)算公式：會合角是指根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。會合角計(jì)算公式：實(shí)軸上雙重極點(diǎn)的兩條根軌跡對實(shí)軸的分離角為：實(shí)軸上雙重極點(diǎn)的兩條根軌跡對實(shí)軸的分離角為：例分離角與會合角不必經(jīng)公式計(jì)算，可用以下簡單法則確定：若有條根軌跡進(jìn)入d點(diǎn)，必有條根軌跡離開d點(diǎn)；

條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與條離開d點(diǎn)的根軌跡相間隔；任一條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與相鄰的離開d點(diǎn)的根軌跡方向之間的夾角為；

只要確定d點(diǎn)附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點(diǎn)附近所有的根軌跡方向，而確定d點(diǎn)附近根軌跡方向的方法可根據(jù)根軌跡的對稱性或取試驗(yàn)點(diǎn)用相角條件來驗(yàn)證。wj[s]1p2p3p-1-2-30)60(3.3=rcKj∞r(nóng)Kds∞r(nóng)K)60(3.3=rcK-j任一條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與相鄰的離開d點(diǎn)的根軌跡方向之間的夾角為；

進(jìn)入分離點(diǎn)d的回合角為00、1800，則從d點(diǎn)離開的根軌跡的分離角度為：根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式:若，根之和與開環(huán)根軌跡增益無關(guān)；

閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項(xiàng)系數(shù)。即：。根之和不變——若增大或減小，則一些根軌跡發(fā)生移動(dòng)必然有另一些向相反的方向移動(dòng)。

在開環(huán)極點(diǎn)已確定不變的情況下，其和為常值。因此，n-m2的系統(tǒng)，當(dāng)增益Ｋ的變動(dòng)使某些閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上向左移動(dòng)時(shí)，則必有另一些極點(diǎn)向右移動(dòng)，這樣才能保證極點(diǎn)之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項(xiàng)。即：開環(huán)根軌跡增益的計(jì)算如果系統(tǒng)閉環(huán)根sk確定，則有:解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式：繪制根軌跡規(guī)則的應(yīng)用例4－8：設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求時(shí)的閉環(huán)根軌跡。法則二，有兩條根軌跡；法則一，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、－2，一條終于有限零點(diǎn)－1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處；法則三，在負(fù)實(shí)軸上，0到－1區(qū)間和－2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡；按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行：最后繪制出根軌跡如圖所示：例4-9：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)漸近線法則，求出根軌跡的漸近線。極點(diǎn)解：零點(diǎn)按照公式得：以下是幾種常見的根軌跡漸近線對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：(a)(b)(c)n=4，有四條根軌跡；

四條條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)

(-1-j1),(-1+j1)，0，－4；一條終于有限零點(diǎn)－1，另外三條終于無限零點(diǎn)；其中P1到Z1，P2到－為實(shí)軸上的根軌跡。

確定漸近線及其與實(shí)軸交點(diǎn)試?yán)L制該系統(tǒng)的概略根軌跡根軌跡的起始角和終止角計(jì)算

判斷有無分離點(diǎn)或會合點(diǎn)解得：根軌跡與虛軸交點(diǎn)將代入，得到實(shí)部方程和虛部方程：（舍去）根軌跡繪制法則規(guī)則一

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡規(guī)則四根軌跡漸近線規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)

規(guī)則六根軌跡的起始角與終止角規(guī)則七根軌跡的與虛軸的交點(diǎn)例4－10：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。解：將開環(huán)零、極點(diǎn)畫在s平面上，逐步畫圖。極點(diǎn)：零點(diǎn)：n=2，有兩條根軌跡；

兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)

(-1-j2),(-1+j2)；終于開環(huán)零點(diǎn)

(-2-j),(-2+j)

確定起始角,終止角。根軌跡的起始角和終止角計(jì)算：離開復(fù)平面極點(diǎn)的初始角為:終止于復(fù)平面零點(diǎn)的終止角為:作出起始角和終止角：此系統(tǒng)根軌跡如圖所示：例4－11：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點(diǎn)坐標(biāo)d，并概略繪制出根軌跡圖。解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)按步驟：n=2,m=1,有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)實(shí)軸上根軌跡位于有限零點(diǎn)－1和無窮零點(diǎn)之間，因此判斷有分離點(diǎn)。漸近線（舍去）

求分離點(diǎn)坐標(biāo)d離開復(fù)平面極點(diǎn)的初始角為：

根據(jù)“實(shí)軸上的根軌跡”法則可知，－1零點(diǎn)右側(cè)都是根軌跡，因此計(jì)算出分離點(diǎn)和漸近線。此系統(tǒng)根軌跡如圖所示：例4－12：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按步驟畫圖n=4,m=0有4條根軌跡各條根軌跡分別起于開環(huán)極點(diǎn)0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠(yuǎn)實(shí)軸上的根軌跡在0到-3之間漸近線確定分離點(diǎn)d解方程得：（舍去）確定起始角確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令代入上式:解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:根軌跡:例4-13已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點(diǎn)。解:根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計(jì)算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點(diǎn)0，-20，-2-j4,-2+j4，終于無窮遠(yuǎn)處；實(shí)軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間；n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處，計(jì)算漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)和方位角。取:漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角為:根軌跡的起始角。解得

分離點(diǎn)坐標(biāo)d。舍根軌跡與虛軸交點(diǎn)。系統(tǒng)特征方程：解得則兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)令代入此時(shí)特征方程為：可求出另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn):根軌跡圖：常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖4－3利用根軌跡分析系

統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能頻域分析法：由開環(huán)→閉環(huán)極點(diǎn)的根軌跡求閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能確定閉環(huán)傳函由時(shí)域分析法可知:閉環(huán)零極點(diǎn)的分布直接影響系統(tǒng)的性能。一、閉環(huán)零、極點(diǎn)表示的階躍響應(yīng)表達(dá)式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(shè)(s)中無重極點(diǎn)，上式分解為部分分式將C(s)表達(dá)式進(jìn)行拉式反變換得：從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點(diǎn)及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布有關(guān)。二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點(diǎn)位于s平面的左半部；快速性

閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸；以一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)為例進(jìn)行說明（2）二階系統(tǒng)Ts=3T,系統(tǒng)快速性好，要求T小一些，即閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸。（1）一階系統(tǒng)

系統(tǒng)快速性好，要求閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸。欠阻尼時(shí)，動(dòng)態(tài)過程盡快消失

小，閉環(huán)極點(diǎn)之間間距大,閉環(huán)零點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)間間距小。復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)置在s平面中與負(fù)實(shí)軸成夾角線附近；平穩(wěn)性三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子主導(dǎo)極點(diǎn)：就是對動(dòng)態(tài)過程影響占主導(dǎo)地位的極點(diǎn)，一般是離虛軸最近的極點(diǎn)。偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)?？梢赃m當(dāng)引入閉環(huán)零點(diǎn)，與閉環(huán)極點(diǎn)構(gòu)成偶極子，抵消對動(dòng)態(tài)性能影響較大的不利極點(diǎn)。試近似計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：這是三階系統(tǒng)，有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)其零、極點(diǎn)分布如圖所示。例4-14：某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為四、利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)

極點(diǎn)s1離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為s1，而其他兩個(gè)極點(diǎn)可以忽略。這時(shí)系統(tǒng)可以近似看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為:式中：T=0.67s一階系統(tǒng)無超調(diào)調(diào)節(jié)時(shí)間根據(jù)時(shí)域分析可知:例4-15系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)為

與構(gòu)成一對偶極子閉環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示:系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對應(yīng)性能指標(biāo)例4-16

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比0.5時(shí)的性能指標(biāo)。解：按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性

在平面上畫出時(shí)的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，從圖上測得，與之共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)為。

已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個(gè)極點(diǎn)，用根之和求出第三個(gè)極點(diǎn)。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是:s1、s2為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。求系統(tǒng)的近似閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的性能指標(biāo)：五、系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析例4-17

已知一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，要求：