金融工程教案3

第三章

遠期和期貨的定價

2/6/20231金融遠期和期貨市場概述

金融遠期合約（ForwardContracts）是指雙方約定在未來的某一確定時間，按確定的價格買賣一定數(shù)量的某種金融資產(chǎn)的合約。如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預期相同，那么合約雙方所選擇的交割價格應使合約的價值在簽署合約時等于零。這意味著無需成本就可處于遠期合約的多頭或空頭狀態(tài)。第三章遠期和期貨的定價

2/6/20232遠期價格與遠期價值我們把使得遠期合約價值為零的交割價格稱為遠期價格。遠期價格是跟標的物的現(xiàn)貨價格緊密相聯(lián)的，而遠期價值則是指遠期合約本身的價值，它是由遠期實際價格與遠期理論價格的差距決定的。在合約簽署時，若交割價格等于遠期理論價格，則此時合約價值為零。但隨著時間推移，遠期理論價格有可能改變，而原有合約的交割價格則不可能改變，因此原有合約的價值就可能不再為零。

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2/6/20233遠期合約是適應規(guī)避現(xiàn)貨交易風險的需要而產(chǎn)生的。遠期合約是非標準化合約。靈活性較大是遠期合約的主要優(yōu)點。在簽署遠期合約之前，雙方可以就交割地點、交割時間、交割價格、合約規(guī)模、標的物的品質(zhì)等細節(jié)進行談判，以便盡量滿足雙方的需要。第三章遠期和期貨的定價

2/6/20234遠期合約的缺點首先，由于遠期合約沒有固定的、集中的交易場所，不利于信息交流和傳遞，不利于形成統(tǒng)一的市場價格，市場效率較低。其次，由于每份遠期合約千差萬別，這就給遠期合約的流通造成較大不便，因此遠期合約的流動性較差。最后，遠期合約的履約沒有保證，當價格變動對一方有利時，對方有可能無力或無誠意履行合約，因此遠期合約的違約風險較高。第三章遠期和期貨的定價

2/6/20235金融遠期合約的種類遠期利率協(xié)議（ForwardRateAgreements，簡稱FRA）是買賣雙方同意從未來某一商定的時期開始在某一特定時期內(nèi)按協(xié)議利率借貸一筆數(shù)額確定、以具體貨幣表示的名義本金的協(xié)議。所謂遠期利率是指現(xiàn)在時刻的將來一定期限的利率。如14遠期利率，即表示1個月之后開始的期限3個月的遠期利率。第三章遠期和期貨的定價

2/6/20236一般地說，如果現(xiàn)在時刻為t，T時刻到期的即期利率為r，T*時刻（）到期的即期利率為，則t時刻的期間的遠期利率可以通過下式求得：第三章遠期和期貨的定價

2/6/20237連續(xù)復利假設數(shù)額A以利率R投資了n年。如果利息按每一年計一次復利，則上述投資的終值為：

如果每年計m次復利，則終值為：當m趨于無窮大時，就稱為連續(xù)復利（Continuouscompounding），此時的終值為第三章遠期和期貨的定價

2/6/20238遠期外匯合約遠期外匯合約（ForwardExchangeContracts）是指雙方約定在將來某一時間按約定的遠期匯率買賣一定金額的某種外匯的合約。按照遠期的開始時期劃分，遠期外匯合約又分為直接遠期外匯合約（OutrightForwardForeignExchangeContracts）和遠期外匯綜合協(xié)議（SyntheticAgreementforForwardExchange，簡稱SAFE）。第三章遠期和期貨的定價

2/6/20239遠期股票合約遠期股票合約（Equityforwards）是指在將來某一特定日期按特定價格交付一定數(shù)量單個股票或一攬子股票的協(xié)議。

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2/6/202310金融期貨合約（FinancialFuturesContracts）是指協(xié)議雙方同意在約定的將來某個日期按約定的條件（包括價格、交割地點、交割方式）買入或賣出一定標準數(shù)量的某種金融工具的標準化協(xié)議。合約中規(guī)定的價格就是期貨價格(FuturesPrice)。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202311金融期貨交易的特征期貨合約均在交易所進行，交易雙方不直接接觸，而是各自跟交易所的清算部或?qū)ＴO的清算公司結算。期貨合約的買者或賣者可在交割日之前采取對沖交易以結束其期貨頭寸（即平倉），而無須進行最后的實物交割。期貨合約的合約規(guī)模、交割日期、交割地點等都是標準化的，即在合約上有明確的規(guī)定，無須雙方再商定。期貨交易是每天進行結算的，而不是到期一次性進行的，買賣雙方在交易之前都必須在經(jīng)紀公司開立專門的保證金賬戶。

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2/6/202312金融期貨合約的種類按標的物不同，金融期貨可分為利率期貨、股價指數(shù)期貨和外匯期貨。利率期貨是指標的資產(chǎn)價格依賴于利率水平的期貨合約，如長期國債期貨、短期國債期貨和歐洲美元期貨。股價指數(shù)期貨的標的物是股價指數(shù)。外匯期貨的標的物是外匯，如美元、德國馬克、法國法郎、英鎊、日元、澳元、加元等。

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2/6/202313期貨市場的功能轉(zhuǎn)移價格風險的功能價格發(fā)現(xiàn)功能第三章遠期和期貨的定價

2/6/202314期貨合約與遠期合約比較標準化程度不同

交易場所不同違約風險不同價格確定方式不同履約方式不同合約雙方關系不同結算方式不同

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2/6/202315遠期價格和期貨價格的關系

當無風險利率恒定，且對所有到期日都不變時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。當標的資產(chǎn)價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。相反，當標的資產(chǎn)價格與利率呈負相關性時，遠期價格就會高于期貨價格。

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2/6/202316無收益資產(chǎn)遠期合約的定價

組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：一單位標的資產(chǎn)。f+Ke-r（T－t）=Sf=S－Ke-r（T－t）無收益資產(chǎn)遠期合約多頭的價值等于標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202317現(xiàn)貨-遠期平價定理F=Ser（T－t）對于無收益資產(chǎn)而言，遠期價格等于其標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的終值。

假設F>Ser（T－t），即交割價格大于現(xiàn)貨價格的終值。在這種情況下，套利者可以按無風險利率r借入S現(xiàn)金，期限為T－t。然后用S購買一單位標的資產(chǎn)，同時賣出一份該資產(chǎn)的遠期合約，交割價格為F。在T時刻，該套利者就可將一單位標的資產(chǎn)用于交割換來F現(xiàn)金，并歸還借款本息Ser（T－t），這就實現(xiàn)了F－Ser（T－t）的無風險利潤。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202318若F<Ser（T－t），即交割價值小于現(xiàn)貨價格的終值。套利者就可進行反向操作，即賣空標的資產(chǎn)，將所得收入以無風險利率進行投資，期限為T-t，同時買進一份該標的資產(chǎn)的遠期合約，交割價為F。在T時刻，套利者收到投資本息Ser（T－t），并以F現(xiàn)金購買一單位標的資產(chǎn)，用于歸還賣空時借入的標的資產(chǎn)，從而實現(xiàn)Ser（T－t）-F的利潤。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202319遠期價格的期限結構遠期價格的期限結構描述的是不同期限遠期價格之間的關系。設F為在T時刻交割的遠期價格，F(xiàn)*為在T*時刻交割的遠期價格,r為T時刻到期的無風險利率,r*為T*時刻到期的無風險利率,為T到T*時刻的無風險遠期利率。F=Ser（T－t）

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2/6/202320兩式相除消掉S后,我們可以得到不同期限遠期價格之間的關系：第三章遠期和期貨的定價

2/6/202321支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠期合約定價的一般方法組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：一單位標的證券加上利率為無風險利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負債。

f+Ke-r（T－t）=S-If=S-I-Ke-r（T－t）支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期合約多頭價值等于標的證券現(xiàn)貨價格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價格現(xiàn)值之差。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202322根據(jù)F的定義，我們可從上式求得：F=(S-I)er（T－t）(1)這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價公式。其表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價格等于標的證券現(xiàn)貨價格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202323長期國債現(xiàn)貨和期貨的報價與現(xiàn)金價格的關系長期國債期貨的報價與現(xiàn)貨一樣，以美元和32分之一美元報出。應該注意的是，報價與購買者所支付的現(xiàn)金價格（CashPrice）是不同的?，F(xiàn)金價格與報價的關系為：

現(xiàn)金價格=報價+上一個付息日以來的累計利息(2)第三章遠期和期貨的定價

2/6/202324假設現(xiàn)在是1999年11月5日，2016年8月15日到期，息票利率為12%的長期國債的報價為94—28（即94.875）。由于美國政府債券均為半年付一次利息，從到期日可以判斷，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之間的天數(shù)為82天，1999年11月5日到2000年2月15日之間的天數(shù)為102天，因此累計利息等于：

該國債的現(xiàn)金價格為：94.875美元+2.674美元=97.549美元

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2/6/202325交割券與標準券的轉(zhuǎn)換因子芝加哥交易所規(guī)定交割的標準券為期限15年、息票率為8%的國債，其它券種均得按一定的比例折算成標準券。這個比例稱為轉(zhuǎn)換因子（ConversionFactor）。轉(zhuǎn)換因子等于面值為100美元的各債券的現(xiàn)金流按8%的年利率（每半年計復利一次）貼現(xiàn)到交割月第一天的價值，再扣掉該債券累計利息后的余額。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202326在計算轉(zhuǎn)換因子時，債券的剩余期限只取3個月的整數(shù)倍，多余的月份舍掉。如果取整數(shù)后，債券的剩余期限為半年的倍數(shù)，就假定下一次付息是在6個月之后，否則就假定在3個月后付息，并從貼現(xiàn)值中扣掉累計利息，以免重復計算?？辗浇桓?00美元面值的債券應收到的現(xiàn)金：空方收到的現(xiàn)金=期貨報價交割債券的轉(zhuǎn)換因子+交割債券的累計利息第三章遠期和期貨的定價

2/6/202327例子某長期國債息票利率為14%，剩余期限還有18年4個月。標準券期貨的報價為90—00，求空方用該債券交割應收到的現(xiàn)金。此時債券的價值為：轉(zhuǎn)換因子=160.55-3.5=157.05美元空方交割10萬美元面值該債券應收到的現(xiàn)金為：1000[（1.570590.00）+3.5]=144，845美元

第三章遠期和期貨的定價

2/6/202328確定交割最合算的債券交割最合算債券就是購買交割券的成本與空方收到的現(xiàn)金之差最小的那個債券。交割差距=債券報價+累計利息-[（期貨報價轉(zhuǎn)換因子）+累計利息]=債券報價-（期貨報價轉(zhuǎn)換因子）第三章遠期和期貨的定價

2/6/202329國債期貨價格的確定如果我們假定交割最合算的國債和交割日期是已知的，那么我們可以通過以下四個步驟來確定國債期貨價格：1.根據(jù)交割最合算的國債的報價，運用式（2）算出該交割券的現(xiàn)金價格。2．運用公式（1），根據(jù)交割券的現(xiàn)金價格算出交割券期貨理論上的現(xiàn)金價格。3．運用公式（2）根據(jù)交割券期貨的現(xiàn)金價格算出交割券期貨的理論報價。4．將交割券期貨的理論報價除以轉(zhuǎn)換因子即為標準券期貨理論報價，也是標準券期貨理論的現(xiàn)金價格。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202330例子假定我們已知某一國債期貨合約最合算的交割券是息票利率為14%，轉(zhuǎn)換因子為1.3650的國債，其現(xiàn)貨報價為118美元，該國債期貨的交割日為270天后。該交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市場任何期限的無風險利率均為年利率10%（連續(xù)復利）。請根據(jù)上述條件求出國債期貨的理論價格。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202331首先，求出交割券的現(xiàn)金價格為：其次，我們要算出期貨有效期內(nèi)交割券支付利息的現(xiàn)值。7e-0.33420.1=6.770美元再次，交割券期貨理論上的現(xiàn)金價格為：（120.308-7.770）e0.73970.1=121.178美元再其次，交割券期貨的理論報價為：最后，我們可以求出標準券的期貨報價：第三章遠期和期貨的定價

2/6/202332支付已知收益率資產(chǎn)遠期合約定價的一般方法組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：e-q（T－t）單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復利計算的已知收益率。支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價格：第三章遠期和期貨的定價

2/6/202333外匯遠期和期貨的定價S表示以本幣表示的一單位外匯的即期價格，K表示遠期合約中約定的以本幣表示的一單位外匯的交割價格，外匯遠期合約的價值：外匯遠期和期貨價格的確定公式：這就是國際金融領域著名的利率平價關系。它表明，若外匯的利率大于本國利率，則該外匯的遠期和期貨匯率應小于現(xiàn)貨匯率；若外匯的利率小于本國的利率，則該外匯的遠期和期貨匯率應大于現(xiàn)貨匯率。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202334遠期利率協(xié)議的定價遠期利率協(xié)議屬于支付已知收益率資產(chǎn)的遠期合約。遠期利率協(xié)議多方（即借入名義本金的一方）的現(xiàn)金流為：T時刻：AT*時刻：

這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值即為遠期利率協(xié)議多頭的價值。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202335為此，我們要先將T*時刻的現(xiàn)金流用T*-T期限的遠期利率貼現(xiàn)到T時刻，再貼現(xiàn)到現(xiàn)在時刻t，即：這里的遠期價格就是合同利率。根據(jù)遠期價格的定義，遠期利率就是使遠期合約價值為0的協(xié)議價格（在這里為rK）。因此理論上的遠期利率（rF）應等于：第三章遠期和期貨的定價

2/6/202336遠期外匯綜合協(xié)議的定價遠期外匯綜合協(xié)議是指雙方在現(xiàn)在時刻（t時刻）約定買方在結算日（T時刻）按照合同中規(guī)定的結算日直接遠期匯率（K）用第二貨幣向賣方買入一定名義金額（A）的原貨幣，然后在到期日（T*時刻）再按合同中規(guī)定的到期日直接遠期匯率（K*）把一定名義金額（在這里假定也為A）的原貨幣出售給賣方的協(xié)議。根據(jù)該協(xié)議，多頭的現(xiàn)金流為：T時刻：A單位外幣減AK本幣第三章遠期和期貨的定價

2/6/202337T*時刻：AK*本幣減A單位外幣這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值即為遠期外匯綜合協(xié)議多頭的價值（f）。為此，我們要先將本幣和外幣分別按相應期限的本幣和外幣無風險利率貼現(xiàn)成現(xiàn)值，再將外幣現(xiàn)金流現(xiàn)值按t時刻的匯率（S）折成本幣。我們令rf代表在T時刻到期的外幣即期利率，r*f代表在T*時刻到期的外幣即期利率，則：第三章遠期和期貨的定價

2/6/202338由于遠期匯率就是合約價值為零的協(xié)議價格（這里為K和K*），因此T時刻交割的理論遠期匯率（F）和T*時刻交割的理論遠期匯率（F*）分別為：所以第三章遠期和期貨的定價

2/6/202339我們用W*表示T時刻到T*時刻的遠期差價。定義W*=F*-F，表示遠期差價。其中，和分別表示T時間到T*時刻本幣和外幣的遠期利率。我們用W表示t時刻到T時刻的遠期差價，我們可以得到：

第三章遠期和期貨的定價

2/6/202340期貨價格和現(xiàn)貨價格的關系期貨價格和現(xiàn)貨價格的關系可以用基差(Basis)來描述。所謂基差，是指現(xiàn)貨價格與期貨價格之差，即：基差=現(xiàn)貨價格-期貨價格基差可能為正值也可能為負值。但在期貨合約到期日，基差應為零。這種現(xiàn)象稱為期貨價格收斂于標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格。第三章遠期和期貨的定價

2/6/202341當標的證券沒有收益，或者已知現(xiàn)金收益較小、或者已知收益率小于無風險利率時，期貨價格應高于現(xiàn)貨價格。

現(xiàn)貨價格期貨價格第三章遠期和期貨的定價

2/6/202342當標的證券的已知現(xiàn)金收益較大，或者已知收益率大于無風險利率時，期貨價格應小于現(xiàn)貨價格?，F(xiàn)貨價格

期貨價格第三章遠期和期貨的定價

2/6/202343基差會隨著期貨價格和現(xiàn)貨價格變動幅度的差距而變化。當現(xiàn)貨價格的增長大于期貨價格的增長時，基差也隨之增加，稱為基差增大。當期貨價格的增長大于現(xiàn)貨價格增長時，稱為基差減少。期貨價格收斂于標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格是由套利行為決定的。第三章遠期和期貨的定價

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