第十一章電流和恒定磁場

第十一章電流和恒磁場主要內(nèi)容：1、電流密度和電流的連續(xù)性方程2、磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義3、畢奧——薩伐爾定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度4、安培環(huán)路定理5、安培定律6、帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)、洛倫茲力1、形成電流的條件

§11—1恒定電流條件和導(dǎo)電規(guī)律一、電流強(qiáng)度和電流密度在導(dǎo)體內(nèi)有可以自由移動(dòng)的電荷(載流子)。在半導(dǎo)體中是電子或空穴在金屬中是電子在電解質(zhì)溶液中是離子導(dǎo)體內(nèi)要維持一個(gè)電場，即導(dǎo)體兩端要有電勢差。2、電流的方向正電荷移動(dòng)的方向定義為電流的方向電流的方向與自由電子移動(dòng)的方向是相反的。3、電流強(qiáng)度單位時(shí)間內(nèi)通過任一截面的電量，叫做電流強(qiáng)度。單位：庫侖/秒=安培。4、電流強(qiáng)度與電子漂移速度的關(guān)系

n-自由電子數(shù)密度，e-電子電量，v-電子漂移速度。在時(shí)間間隔dt內(nèi)，長為dl=vdt、橫截面積為S的圓柱體內(nèi)的自由電子都要通過橫截面積S，所以此圓柱體內(nèi)的自由電子數(shù)為nSvdt，電量為dq=neSvdt，通過此導(dǎo)體的電流強(qiáng)度為：5、電流密度矢量

1)引入的必要性：描述電流分布的物理量2)定義：它在導(dǎo)體中任意一點(diǎn)的方向與正載流子在該點(diǎn)的流動(dòng)方向相同，它的大小等于通過該點(diǎn)并垂直于電流的單位截面的電流強(qiáng)度。設(shè)q>0vdtP第一節(jié)電流密度任一面元，不垂直于電流

通過任一面元單位面積的電流強(qiáng)度，等于該處電流密度矢量沿該面元法向的分量。6、電流強(qiáng)度與電流密度的關(guān)系通過任意截面的電流：7、電流線在導(dǎo)體中引入的一種形象化的曲線，用于表示電流的分布。曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的電流密度方向相同；而任一點(diǎn)的曲線數(shù)密度與該點(diǎn)的電流密度的大小成正比。二、電流的連續(xù)性方程、恒定電流條件1)電流的連續(xù)性方程

對于任意一個(gè)閉合曲面，在單位時(shí)間內(nèi)從閉合曲面向外流出的電荷，即通過閉合曲面向外的總電流為：

由電荷守恒定律，在單位時(shí)間內(nèi)通過閉合曲面向外流出的電荷，等于此閉合曲面內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷。電流連續(xù)性方程電流的連續(xù)性：單位時(shí)間內(nèi)通過閉合曲面向外流出的電荷等于此時(shí)間內(nèi)閉合曲面里電荷的減少。恒定電流j2)、恒定電流條件URI+_

當(dāng)導(dǎo)體兩端有電勢差時(shí)，導(dǎo)體中就有電流通過,一段導(dǎo)體中的電流I與其兩端的電勢差U成正比。三、電阻率、歐姆定律的微分形式1、歐姆定律dSUU+dUdl歐姆定律的微分形式：通過導(dǎo)體中任一點(diǎn)的電流密度，等于該點(diǎn)的場強(qiáng)與導(dǎo)體的電阻率之比值。

在導(dǎo)體中取一長為dl、橫截面積為dS的小圓柱體，圓柱體的軸線與電流流向平行。設(shè)小圓柱體兩端面上的電勢為U和U+dU。則通過截面dS的電流為：歐姆定律的微分形式Eg:如圖兩邊為電導(dǎo)率很大的導(dǎo)體，中間兩層是電導(dǎo)率分別為的

均勻?qū)щ娊橘|(zhì)，其厚度分別為，導(dǎo)體的截面積為S，通過導(dǎo)

體的電流強(qiáng)度為I，求：1）兩層導(dǎo)電介質(zhì)中的場強(qiáng)為；2）

電勢差。Eg:一圓柱體半徑為a，長為L，外面套一個(gè)與其共軸且等長的圓筒，筒內(nèi)

半徑為b，在柱與筒之間充滿電導(dǎo)率為的均勻?qū)щ娊橘|(zhì)，求柱與筒

之間的電阻。Eg:把大地可看成均勻的導(dǎo)電介質(zhì)，其電阻率，用一半徑為a的球形電

極與大地表面相接，半個(gè)球體埋在地下，如圖，電極本身的電阻可忽

略，求電極的接地電阻。2、電功率-電場力在單位時(shí)間內(nèi)完成的功:六、電功率和焦耳定律1、電場力作功

若電路兩端的電壓為U，則當(dāng)電量為q=It的電荷通過這段電路時(shí)，電場力所作的功為:3、焦耳定律：純電阻電路：電勢能的降低通過電場力做功而全部轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮躋，即電流熱效應(yīng)。非純電阻電路：電勢能的降低通過電場力做功而部分轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮躋。焦耳定律微分式：在電流場中取一長度為截面積為

的細(xì)電流管，由焦耳定律得：熱功率密度：單位導(dǎo)體體積的熱功率。

電源內(nèi)部電流從負(fù)極板到正極板叫內(nèi)電路；電源外部電流從正極板到負(fù)極板叫外電路。+–

靜電力欲使正電荷從高電位到低電位。非靜電力欲使正電荷從低電位到高電位。+–七、電動(dòng)勢1、電源

在導(dǎo)體中有穩(wěn)恒電流流動(dòng)就不能單靠靜電力，必須有非靜電力把正電荷從負(fù)極板搬到正極板才能在導(dǎo)體兩端維持有穩(wěn)恒的電勢差。這種能夠提供非靜電力的裝置叫作電源。電源的作用是把其它形式的能量轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔堋?–

把單位正電荷繞閉合回路一周時(shí)，電源非靜電力做的功定義為電源的電動(dòng)勢。

電源電動(dòng)勢的大小等于把單位正電荷從負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部移到正極時(shí)非靜電力所作的功。方向：從負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到正極2、電動(dòng)勢

為了表述不同電源轉(zhuǎn)化能量的能力，引入了電源電動(dòng)勢這一物理量。定義：§11-2磁場和磁感應(yīng)強(qiáng)度一、磁現(xiàn)象1、磁極：磁鐵兩端的磁性最強(qiáng)，稱為磁極。N極：指向北方的磁極S極：指向南方的磁極同名磁極相斥，異名磁極相吸

磁極周圍存在磁場，凡是處于該磁場中的任何其他磁極或運(yùn)動(dòng)電荷，都要受到磁場力。類比電學(xué)正電荷負(fù)電荷同號(hào)電荷相斥，異號(hào)電荷相吸電荷周圍存在電場，凡是處于該電場中的任何電荷，都要受到電場力。2、奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)I奧斯特實(shí)驗(yàn)NS

奧斯特，丹麥物理學(xué)家，發(fā)現(xiàn)了電流對磁針的作用，從而導(dǎo)致了19世紀(jì)中葉電磁理論的統(tǒng)一和發(fā)展。

3、安培假說

一切磁現(xiàn)象起源于電流，一切物質(zhì)的磁性都起源于構(gòu)成物質(zhì)的分子中存在的環(huán)形電流。

將一實(shí)驗(yàn)電荷射入磁場，運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中會(huì)受到磁力作用。對比靜電場場強(qiáng)的定義①θ＝0時(shí)Fm=0，1.

磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義：實(shí)驗(yàn)表明q0時(shí)Fm達(dá)到最大值②二、磁感應(yīng)強(qiáng)度(MagneticInduction)磁感強(qiáng)度

的另定義+帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)所受的力與運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。+實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，帶電粒子在磁場中沿某一特定直線通過P點(diǎn)時(shí)，粒子不受力，此直線方向與電荷無關(guān)。此直線稱為零力線，是點(diǎn)P磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向1、任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向20當(dāng)帶電粒子在磁場中垂直于此零力線運(yùn)動(dòng)時(shí)受力最大。大小與無關(guān)2、點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小單位：特斯拉3、點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度的指向規(guī)定：

的指向與正試探電荷的速度

和所受洛倫茲力滿足右手螺旋：當(dāng)右手四指從速度的指向經(jīng)小于的角轉(zhuǎn)向的指向時(shí)，拇指所指的方向與洛倫茲力的方向一致。三、磁感應(yīng)線和磁通量1.磁感應(yīng)線

用磁感應(yīng)線描述磁場的方法是：在磁場中畫一簇曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的磁場方向一致，這一簇曲線稱為磁感應(yīng)線。①方向：

曲線上一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)的磁場方向一致。②大?。捍鸥袘?yīng)線的疏密反映磁場的強(qiáng)弱。直線電流的磁感應(yīng)線II24BI圓電流的磁感應(yīng)線25通電螺線管的磁感應(yīng)線I26

性質(zhì)：（1）是一組無頭、無尾的閉合曲線；（2）閉合的磁力線與電流回路相互套在一起；（3）磁力線與電流的方向相互滿足右手螺旋法則。272.磁通量（magneticflux）

通過磁場中垂直于磁場的面的磁感應(yīng)線數(shù)稱為通過該面的磁通量，用m

表示。①均勻磁場，磁感應(yīng)線垂直通過S③磁場不均勻，S為任意曲面規(guī)定：dS正方向?yàn)榍嫔嫌蓛?nèi)向外的法線方向。磁感應(yīng)線穿入，

為負(fù)；穿出，為正。則：②均勻磁場，S法線方向與磁場方向成角29§11-3畢奧—薩伐爾定律畢奧—薩伐爾定律電流元：電流元的疊加求任意形狀載流導(dǎo)線所產(chǎn)生的磁場電流元在空間某點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與電流元的大小成正比，與電流元和由電流元到點(diǎn)P的矢量之間的夾角的正弦成正比，與電流元到點(diǎn)P的距離的平方成反比，的方向垂直于和所組成的平面，其指向滿足右手螺旋。P*即：電流元在空間產(chǎn)生的磁場真空磁導(dǎo)率

任意載流導(dǎo)線在點(diǎn)P

處的磁感強(qiáng)度磁感強(qiáng)度疊加原理XY建立坐標(biāo)系OXY任取電流元大小方向aP統(tǒng)一積分變量二、畢奧---沙伐爾定律的應(yīng)用1.載流直導(dǎo)線的磁場已知：真空中I、aXYaP無限長載流直導(dǎo)線半無限長載流直導(dǎo)線直導(dǎo)線延長線上+a例1

如圖載流長直導(dǎo)線的電流為I，試求通過矩形面積的磁通量。解：先求，對變磁場給出

后積分求。35Eg:兩平行長直導(dǎo)線相距為d，每根導(dǎo)線載有相同電流I，如圖，求1）

兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與兩導(dǎo)線等距的一點(diǎn)P處的；2）通過圖中矩

形面積的磁通量。pR2、圓型電流軸線上的磁場已知:R、I，求軸線上P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。建立坐標(biāo)系OXY任取電流元分析對稱性、寫出分量式大小方向統(tǒng)一積分變量結(jié)論方向：

右手螺旋法則大?。簒pR載流圓環(huán)載流圓弧II圓心角

圓心角練習(xí)求圓心O點(diǎn)的如圖，OI例4

載流直螺線管的磁場。如圖所示，有一長為l，半徑為R的載流密繞直螺線管，螺線管的總匝數(shù)為N，通有電流I。設(shè)把螺線管放在真空中，求管內(nèi)軸線上一點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度。解：由圓形電流磁場公式++++++++++++pR++*oop+++++++++++++++

討論（1）P點(diǎn)位于管內(nèi)軸線中點(diǎn)：若（2）無限長的螺線管：

或由代入xBO半無限長螺線管例4、均勻帶電圓環(huán)qR已知：q、R、圓環(huán)繞軸線勻速旋轉(zhuǎn)。求圓心處的解：帶電體轉(zhuǎn)動(dòng)，形成運(yùn)流電流。例5、均勻帶電圓盤已知：q、R、圓盤繞軸線勻速旋轉(zhuǎn)。解：如圖取半徑為r,寬為dr的環(huán)帶。qRr求圓心處的及圓盤的磁矩元電流其中qRr線圈磁矩如圖取微元方向：一、磁場中的高斯定理─穿過任意閉合曲面的磁通量為零。高斯定理的微分形式這是無磁單極的必然結(jié)果。§11-4磁場的高斯定理和安培環(huán)路定理

凡是穿入S的磁感應(yīng)線，必定又從S內(nèi)穿出即穿入或穿出閉合曲面S的磁感應(yīng)線的凈條數(shù)為零o

無限長載流長直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度為二、安培環(huán)路定理設(shè)閉合回路為圓形回路（與成右螺旋）。49o若回路繞向化為逆時(shí)針時(shí)，則對任意形狀的回路

與成右螺旋電流在回路之外

多電流情況以上結(jié)果對任意形狀的閉合電流（伸向無限遠(yuǎn)的電流）均成立。說明：電流取正時(shí)與環(huán)路成右旋關(guān)系安培環(huán)路定理

在真空中的穩(wěn)恒電流磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意閉合曲線的線積分（也稱的環(huán)流），等于穿過該閉合曲線的所有電流強(qiáng)度（即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流強(qiáng)度）的代數(shù)和的倍。即：環(huán)路所包圍的電流由環(huán)路內(nèi)外電流產(chǎn)生由環(huán)路內(nèi)電流決定安培環(huán)路定理的應(yīng)用舉例

例1求長直密繞螺線管內(nèi)磁場。解：（1）對稱性分析螺旋管內(nèi)為均勻場，方向沿軸向，外部磁感強(qiáng)度趨于零，即。無限長載流螺線管內(nèi)部磁場處處相等，外部磁場為零。（2）選回路L

。++++++++++++

磁場的方向與電流成右螺旋。MNPO當(dāng)時(shí)，螺繞環(huán)內(nèi)可視為均勻場。

例2求載流螺繞環(huán)內(nèi)的磁場。令(2)選回路。解：(1)對稱性分析；環(huán)內(nèi)線為同心圓，環(huán)外為零。例3無限長載流圓柱體的磁場。.解:(1)對稱性分析；(2)選取回路。

的方向與成右螺旋例4無限長載流圓柱面的磁場。解：Eg:如圖所示，一空心圓柱形導(dǎo)體，柱的內(nèi)外半徑分別為a和b，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)

通有電流I，且電流I均勻分布在導(dǎo)體的橫截面上，求導(dǎo)體內(nèi)部與軸線

相距r（）的B。（2）取面元：dS=hdr，則bahrdr例5

一截面為長方形的環(huán)式螺線管，共N匝，尺寸如圖，導(dǎo)線通有電流I。求：管內(nèi)磁通量。解：（1）由磁場分布情況，取環(huán)路：與螺線管同軸的同心圓環(huán)L。安培力：電流元在磁場中受到的磁力安培定律方向判斷右手螺旋載流導(dǎo)線受到的磁力大小一、安培力§11-5磁場對電流的作用導(dǎo)線1、2單位長度上所受的磁力為：二、兩無限長平行載流直導(dǎo)線的相互作用力電流單位“安培”的定義：

放在真空中的兩條無限長平行直導(dǎo)線，各通有相等的穩(wěn)恒電流，當(dāng)導(dǎo)線相距1米，每一導(dǎo)線每米長度上受力為2×10-7牛頓時(shí)，各導(dǎo)線中的電流強(qiáng)度為1安培。a例、均勻磁場中任意形狀導(dǎo)線所受的作用力受力大小方向如圖所示建坐標(biāo)系取分量積分取電流元推論在均勻磁場中任意形狀閉合載流線圈受合力為零練習(xí)：如圖，求半圓導(dǎo)線所受安培力方向豎直向上解：例：求一無限長直載流導(dǎo)線的磁場對另一直載流導(dǎo)線ab的作用力。已知：I1、I2、d、LLxdba三、磁場對載流線圈的作用.線圈平面法向與磁場方向夾角線圈法向與電流滿足右手螺旋載流線圈的磁矩對于通電平面載流線圈如果線圈為N匝討論.（1）（2）（3）

結(jié)論:均勻磁場中，任意形狀剛性閉合平面通電線圈所受的力和力矩為與

成右螺旋0pqq==穩(wěn)定平衡非穩(wěn)定平衡

磁矩

例1

邊長為0.2m的正方形線圈，共有50匝，通以電流2A，把線圈放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.05T的均勻磁場中.問在什么方位時(shí)，線圈所受的磁力矩最大？磁力矩等于多少？解得Eg:磁秤一臂下面掛有一矩形線圈（寬為b，長為L，共N匝）線圈下端

放于待測磁場中，其平面與垂直，當(dāng)線圈通以電流I時(shí)，線

圈受力，天平平衡，調(diào)節(jié)砝碼m使天平平衡，求。Eg:長直導(dǎo)線與一正方形線圈在同一平面內(nèi)，分布載有電流，正

方形邊長為a，它的中心到直導(dǎo)線的垂直距離為d，求：這個(gè)正方形載

流線圈各邊所受的磁場力以及整個(gè)線圈所受的合力。Eg:教材例題11—6Eg:載有電流的長直導(dǎo)線旁有一正三角形線圈，邊長為a，載有電流

一邊與直導(dǎo)線平行，中心到直導(dǎo)線的垂直距離為b，直導(dǎo)線與線圈在

同一平面，求作用于三角形線圈上的力?！?1-6帶電粒子在磁場中的應(yīng)用一、洛倫茲力和粒子的運(yùn)動(dòng)方程電流元受力：洛倫茲力

方向：即以右手四指由經(jīng)小于的角彎向，拇指的指向就是正電荷所受洛侖茲力的方向.

運(yùn)動(dòng)電荷在電場和磁場中受的力

例1

一質(zhì)子沿著與磁場垂直的方向運(yùn)動(dòng),在某點(diǎn)它的速率為由實(shí)驗(yàn)測得這時(shí)質(zhì)子所受的洛侖為求該點(diǎn)的磁感強(qiáng)度的大小.解由于與垂直，可得問

1）洛侖茲力作不作功？2）負(fù)電荷所受的洛侖茲力方向？粒子做直線運(yùn)動(dòng)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)××××××××××××××××××××××××××××××螺距h

：qR磁聚焦（洛侖茲力不做功）洛侖茲力

與不垂直螺距

應(yīng)用電子光學(xué),電子顯微鏡等.

磁聚焦在均勻磁場中某點(diǎn)A

發(fā)射一束初速相差不大的帶電粒子,它們的與之間的夾角不盡相同,但都較小,這些粒子沿半徑不同的螺旋線運(yùn)動(dòng),因螺距近似相等,都相交于屏上同一點(diǎn),此現(xiàn)象稱之為磁聚焦.帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)舉例1.回旋半徑和回旋頻率三、帶電粒子荷質(zhì)比的測定KACSO磁聚焦法1、電子比荷的測定離子經(jīng)過速度選擇器后離子在磁場B2中：質(zhì)譜儀2、離子比荷的測定速度選擇器Eg:質(zhì)譜儀如圖，離子源S產(chǎn)生質(zhì)量為M，電荷為q的離子，離子產(chǎn)生出來

時(shí)可視為靜止，出來后經(jīng)電壓U加速，進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，沿半圓周

運(yùn)動(dòng)而到達(dá)其照相底片上，測