高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形正弦定理和余弦定理 名師獲獎

正余弦定理考點分析及例題講解考點回顧：直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。。（R為外接圓半徑）正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R的常見變形：sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).三角形面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理的公式：或 .（1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.2、已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角.2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.解題中利用中，以及由此推得的一些基本關(guān)系式進(jìn)行三角變換的運算，如：.解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C=π；（2）邊與邊關(guān)系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）邊與角關(guān)系：典例解析題型1：正弦定理例1、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝例2．在△ABC中，sinA＝sinC，則△ABC是 ()A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形題型2：余弦定理例1、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，則c等于()A．1 B．2\r(3)－1 \r(3)解析由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1＋c2－3,2×1×c)，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．鞏固練習(xí)：1、在△ABC中，(1)若a2＋b2－c2＝0，則C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，則C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋eq\r(2)ab，則C＝_______.(4)在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于()\r(3) B．3\r(5) D．52、在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，則B等于 ()A．60° B．45°或135°C．120° D．30°題型3：正弦、余弦定理求角度例1、(2023·湖南·文5)在銳角△ABC中,角A、B所對的邊長分別為a,b.若2asinB=b,則角A等于().3、在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，A＝30°，則角C等于 ()A．30° B．120° C．60°D．150°4、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時，求b及c的長．2．解(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－eq\f(1,4)，0<∠C<π，∴sinC＝eq\f(\r(10),4).(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－eq\f(1,4)及0<∠C<π，得cosC＝±eq\f(\r(6),4).由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±eq\r(6)b－12＝0(b>0)，解得b＝eq\r(6)或2eq\r(6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(6)，,c＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(6)，,c＝4.))題型2：三角形面積例1、在△ABC中，a＝10，b＝8，C＝30°，則△ABC的面積S＝.例2、在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則△ABC外接圓的面積是________．例3、在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面積．題型3：正、余弦定理判斷三角形形狀判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀．例1、在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，試判斷△ABC的形狀．例2、在中，已知，那么一定是（）直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形1、在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．解由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知條件得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．2、在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對應(yīng)邊)，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC為直角三角形．3、已知a、b、c為△ABC的三邊長，若滿足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則∠C的大小為()A．60°B．90°C．120°D．150°解析∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，∴cosC＝－eq\f(1,2)，∴∠C＝120°.5、在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形解析∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.6、在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，則這個三角形的最小外角為()A．30°B．60°C．90°D．120°解析∵a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，不妨設(shè)a＝3，b＝5，c＝7，C為最大內(nèi)角，則cosC＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).∴C＝120°.∴最小外角為60°.7、△ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2＝ac,2b＝a＋c，則此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形8、在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C＝120°，c＝eq\r(2)a，則()A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定答案A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝eq\r(2)a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.9、如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加的長度確定解析：設(shè)直角三角形三邊長為a，b，c，且a2＋b2＝c2，則(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所對的最大角變?yōu)殇J角．10、在△ABC中，sinA＝sinB，則△ABC是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形11、在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC是()A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.12、在△ABC中，sinA＝eq\f(3,4)，a＝10，則邊長c的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)，＋∞))B．(10，＋∞)C．(0,10)\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,3)))解析∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(40,3)，∴c＝eq\f(40,3)sinC.∴0<c≤eq\f(40,3).13、在△ABC中，a＝2bcosC，則這個三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.14、在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶615、已知三角形面積為eq\f(1,4)，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為()A．1B．2\f(1,2)D．4答案A解析設(shè)三角形外接圓半徑為R，則由πR2＝π，得R＝1，由S△＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(abc,4)＝eq\f(1,4)，∴abc＝1.在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.解析∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).17、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝1，則c＝________.解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2)，故B＝30°或150°.由a>b，得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.18、在單位圓上有三點A，B，C，設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，則eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.19、在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.解析eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(6\r(3),\f(\r(3),2))＝12.∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6eq\r(3)×12sinC＝18eq\r(3)，∴sinC＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝12，∴c＝6.20、在△ABC中，求證：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).證明因為在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，所以左邊＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sinB＋C－sinCcosB,sinA＋C－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右邊．所以等式成立，即eq\f(a