高中數(shù)學高考一輪復習一輪復習 學案 圓錐曲線證明

課堂練習1.已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為．（I）求a，b；（II）設過F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列．【解答】解：（I）由題設知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程為8x2﹣y2=8a2將y=2代入上式，并求得x=±，由題設知，2=，解得a2=1，所以a=1，b=2（II）由（I）知，F(xiàn)1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0），C的方程為8x2﹣y2=8①由題意，可設l的方程為y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化簡得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，從而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列2.在直角坐標系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點．（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程．（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？（說明理由）【解答】解：（I）聯(lián)立，不妨取M，N，由曲線C：y=可得：y′=，∴曲線C在M點處的切線斜率為=，其切線方程為：y﹣a=，化為．同理可得曲線C在點N處的切線方程為：．（II）存在符合條件的點（0，﹣a），下面給出證明：設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2．聯(lián)立，化為x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．當b=﹣a時，k1+k2=0，直線PM，PN的傾斜角互補，∴∠OPM=∠OPN．∴點P（0，﹣a）符合條件．課后作業(yè)1.(2023蘭州診斷)已知曲線C上的任意一點到直線l:x=-12的距離與到點F12,0(1)求曲線C的方程;(2)若過P(1,0)的直線與曲線C相交于A,B兩點,Q(-1,0)為定點,設直線AQ的斜率為k1,直線BQ的斜率為k2,直線AB的斜率為k,證明:1k12+1解析(1)由條件可知,此曲線是焦點為F的拋物線,設拋物線方程為y2=2px(p>0),則p2=12,p=1,∴曲線C的方程為y(2)證明:由已知得,直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),由y=k(設Ay122,y1,By222,y∵k1=y1y122+1=2y∴1k12+1k=(y1=8(y12+y22∴1k12+12.已知圓M:x2+(y-2)2=1,直線l:y=-1,動圓P與圓M相外切,且與直線l相切.設動圓圓心P的軌跡為E.(1)求E的方程;(2)若點A,B是E上的兩個動點,O為坐標原點,且OA·OB=-16,求證:直線AB恒過定點.解析(1)設P(x,y),則x2+(y-2所以E的方程為x2=8y.(2)證明:易知直線AB的斜率存在,設直線AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2).將直線AB的方程代入x2=8y