高中數(shù)學北師大版3第二章概率正態(tài)分布 第2章連續(xù)型隨機變量正態(tài)分布

*§6正態(tài)分布連續(xù)型隨機變量正態(tài)分布1．了解連續(xù)型隨機變量的概念以及連續(xù)型隨機變量的分布密度函數(shù)．(難點)2．認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．(重點)[基礎·初探]教材整理正態(tài)分布閱讀教材P63～P65，完成下列問題．1．正態(tài)分布(1)在頻率分布直方圖中，為了了解得更多，圖中的區(qū)間會分得更細，如果將區(qū)間無限細分，最終得到一條曲線，這條曲線稱為隨機變量X的__________，這條曲線對應的函數(shù)稱為X的__________．(2)若隨機變量X的分布密度函數(shù)為f(x)＝______，其中μ與σ分別是隨機變量X的________與________，則稱X服從參數(shù)μ和σ2的正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．【答案】(1)分布密度曲線分布密度函數(shù)(2)eq\f(1,σ\r(2π))·均值標準差2．正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)函數(shù)圖像關于直線________對稱；(2)σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖像的________；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝________；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝________；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝________.【答案】(1)x＝μ(2)胖、瘦(3)%%%1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正態(tài)變量函數(shù)表達式中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．()(2)服從正態(tài)分布的隨機變量是連續(xù)型隨機變量．()(3)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線．()(4)離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線描述，連續(xù)型隨機變量的概率分布用分布列描述．()【解析】(1)×因為正態(tài)分布變量函數(shù)表述式中參數(shù)μ是隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計，而σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，用樣本的標準差去估計．(2)√因為離散型隨機變量最多取可列個不同值．而連續(xù)型隨機變量可能取某個區(qū)間上的任何值．(3)√由正態(tài)分布曲線的形狀可知該說法正確．(4)×因為離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線(函數(shù))描述．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2．若X～N(1,，則P(X＞1)＝________.【解析】由X～N(1,知，正態(tài)曲線關于直線x＝1對稱，故P(X＞1)＝.【答案】[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]正態(tài)曲線及其性質(zhì)(1)如圖2-6-1，曲線C1：f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ1)(x∈R)，曲線C2：φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ2)(x∈R)，則()圖2-6-1A．μ1＜μ2B．曲線C1與x軸相交C．σ1＞σ2D．曲線C1，C2分別與x軸所夾的面積相等(2)如圖2-6-2是三個正態(tài)分布X～N(0,，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應的曲線分別是圖中的______，______，______.(填寫序號)圖2-6-2(3)如圖2-6-3所示是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)解析式，則總體隨機變量的均值為________，方差為________．圖2-6-3【精彩點撥】著眼點：(1)方差的大??；(2)正態(tài)曲線的特征及意義；(3)參數(shù)的幾何意義．【自主解答】(1)由曲線C1，C2對稱軸的位置知，μ1＞μ2，由曲線C1瘦于C2知σ1＜σ2，由f(x)＞0知，曲線C1在x軸上方，故選D.(2)由＜1＜4，得X，Y，Z對應的曲線分別是圖中的①②③.(3)從正態(tài)曲線的圖像可知，該正態(tài)曲線關于直線x＝20對稱，最大值為eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是，正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)解析式為：φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))·，x∈(－∞，＋∞)．總體隨機變量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.【答案】(1)D(2)①②③(3)202利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ，σ，具體方法如下：1正態(tài)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此性質(zhì)結(jié)合圖像求μ；2正態(tài)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此性質(zhì)結(jié)合圖像可求σ.[再練一題]1．設隨機變量X服從正態(tài)分布，且相應的概率密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(6π))，則()【導學號：62690047】A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)【解析】由f(x)＝eq\f(1,\r(2π)·\r(3))，得μ＝2，σ＝eq\r(3).【答案】C服從正態(tài)分布變量的概率問題(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，則P(0<ξ<2)＝()A． B．C． D．(2)在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1,4)，求正態(tài)總體X在(－1,1)內(nèi)取值的概率．【精彩點撥】(1)根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性性質(zhì)進行求解；(2)題可先求出X在(－1,3)內(nèi)取值的概率，然后由正態(tài)曲線關于x＝1對稱知，X在(－1,1)內(nèi)取值的概率就等于在(－1,3)內(nèi)取值的概率的一半．【自主解答】(1)∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，對稱軸是x＝2.∵P(ξ<4)＝，∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝，∴P(0<ξ<4)＝，∴P(0<ξ<2)＝.故選C.【答案】C(2)由題意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.又因為正態(tài)曲線關于x＝1對稱，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝eq\f(1,2)P(－1＜X＜3)＝5.1．求解本類問題的解題思路是充分利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間的概率轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的概率．2．常用結(jié)論有：(1)對任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．[再練一題]2．若η～N(5,1)，求P(5<η<7)．【解】∵η～N(5,1)，∴正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個參數(shù)為μ＝5，σ＝1.∵該正態(tài)曲線關于x＝5對稱，∴P(5<η<7)＝eq\f(1,2)×P(3<η<7)＝eq\f(1,2)×＝.[探究共研型]正態(tài)分布的實際應用探究1若某工廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑ε～N(4,，那么該圓柱形零件外直徑的均值，標準差分別是什么？【提示】零件外直徑的均值為μ＝4，標準差σ＝.探究2某工廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑ε～N(4,，若零件的外直徑在,]內(nèi)的為一等品．試問1000件這種零件中約有多少件一等品？【提示】P<ε≤＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0，所以1000件產(chǎn)品中大約有1000×0＝683(件)一等品．探究3某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑ε～N(4，．質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件這種零件中隨機抽查一件，測得它的外直徑為cm.試問該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？【提示】由于圓柱形零件的外直徑ε～N(4,，由正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布N(4,在區(qū)間(4－3×,4＋3×，即,之外取值的概率只有，而∈,．這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，根據(jù)統(tǒng)計中假設檢驗的基本思想，認為該廠這批零件是不合格的．設在一次數(shù)學考試中，某班學生的分數(shù)X～N(110,202)，且知試卷滿分150分，這個班的學生共54人．求這個班在這次數(shù)學考試中及格(不低于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．【精彩點撥】要求及格的人數(shù)，即要求出P(90≤X≤150)，而求此概率需將問題化為正態(tài)分布中幾種特殊值的概率形式，然后利用對稱性求解．【自主解答】∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20，P(110－20<X<110＋20)＝.∴X>130的概率為：eq\f(1,2)×(1－＝5；X≥90的概率為：＋5＝5.∴及格的人數(shù)為54×5≈45人，130分以上的人數(shù)為54×5≈9人．解此類問題一定要靈活把握Pμ－σ＜ξ≤μ＋σ，Pμ－2σ＜ξ≤μ＋2σ，Pμ－3σ＜ξ≤μ＋3σ進行轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應概率.同時要充分利用曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì).[再練一題]3．在某次數(shù)學考試中，考生的成績ξ服從一個正態(tài)分布，即ξ～N(90,100)．(1)試求考試成績ξ位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少．(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人．【解】∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成績ξ位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100，由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是.一共有2000名考生，所以考試成績在(80,100)間的考生大約有2000×＝1366(人)．[構(gòu)建·體系]1．正態(tài)分布密度函數(shù)為φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))，x∈(－∞，＋∞)，則總體的平均數(shù)和標準差分別是()A．0和8 B．0和4C．0和2 D．0和eq\r(2)【解析】由條件可知μ＝0，σ＝2.【答案】C2.如圖2-6-4是當ξ取三個不同值ξ1，ξ2，ξ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是()圖2-6-4A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3【解析】當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)曲線f(x)＝eq\f(1,\r(2π)).在x＝0時，取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)，當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.【答案】D3．若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________.【解析】由于隨機變量X～N(μ，σ2)，其正態(tài)密度曲線關于直線X＝μ對稱，故P(X≤μ)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝，則P(X≤0)＝________.【導學號：62690048】【解析】由X～N(2，σ2)，可知其正態(tài)曲線如圖所示，對稱軸為x＝2，則P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－＝.【答案】5．一批燈泡的使用時間X(單位：小時)服從正態(tài)分布N(10000,4