高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何3．2空間向量的應(yīng)用第3章

3.2.2空間線面關(guān)系的判定1．能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系，能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)．(重點(diǎn))2．向量法證明空間平行與垂直．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．向量法證明線面平行．(易錯點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理向量法判定線面關(guān)系閱讀教材P101例1以上的部分，完成下列問題．設(shè)空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2，兩個平面α1，α2的法向量分別為n1，n2，則有下表：平行垂直l1與l2e1∥e2e1⊥e2l1與α1e1⊥n1e1∥n1α1與α2n1∥n2n1⊥n21．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若向量n1，n2為平面α的法向量，則以這兩個向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行．()(2)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行．()(3)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.()(4)兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線的方向向量與另一個平面內(nèi)的直線的方向向量垂直．()【答案】(1)√(2)√(3)√(4)×2．設(shè)直線l1的方向向量為a＝(3,1，－2)，l2的方向向量為b＝(－1,3,0)，則直線l1與l2的位置關(guān)系是________．【解析】∵a·b＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2.【答案】垂直3．若直線l的方向向量為a＝(－1,2,3)，平面α的法向量為n＝(2，－4，－6)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是________．【解析】∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.【答案】垂直4．已知不重合的平面α，β的法向量分別為n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3，－1))，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，－1，\f(1,3)))，則平面α與β的位置關(guān)系是________.【導(dǎo)學(xué)號：09390083】【解析】∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β.【答案】平行[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]向量法證明平行問題在正方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖3-2-7)，設(shè)O，O1分別為AC，A1C圖3-2-7(1)BO1∥OD1；(2)BO1∥平面ACD1；(3)平面A1BC1∥平面ACD1.【精彩點(diǎn)撥】eq\x(畫圖)→eq\x(建系)→eq\x(求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo))→eq\x(求相關(guān)向量坐標(biāo))→eq\x(判斷向量關(guān)系)→eq\x(確定線面關(guān)系)【自主解答】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則有：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)．(1)由上可知eq\o(BO1,\s\up8(→))＝(－1，－1,2)，eq\o(OD1,\s\up8(→))＝(－1，－1,2)，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))＝eq\o(OD1,\s\up8(→))，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))∥eq\o(OD1,\s\up8(→))，又直線BO1與OD1無公共點(diǎn)，∴BO1∥OD1.(2)法一：由上可知，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2,2,0)，eq\o(AD1,\s\up8(→))＝(－2,0,2)，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD1,\s\up8(→))，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD1,\s\up8(→))共面，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))∥平面ACD1，又BO1?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.法二：設(shè)平面ACD1的一個法向量為n＝(x，y,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up8(→))＝0，,n·\o(AD1,\s\up8(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋2y＝0，,－2x＋2＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴n＝(1,1,1)．∴eq\o(BO1,\s\up8(→))·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))⊥n.又∵BO1?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.(3)法一：∵eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(－2,0,2)，eq\o(AD1,\s\up8(→))＝(－2,0,2)，∴eq\o(BC1,\s\up8(→))∥eq\o(AD1,\s\up8(→))，又BC1與AD1不重合，∴BC1∥AD1，又BC1?平面ACD1，∴BC1∥平面ACD1.又由(1)知，BO1∥平面ACD1.∵BC1，BO1?平面A1BC1，且BC1∩BO1＝B，∴平面A1BC1∥平面ACD1.法二：設(shè)平面A1BC1的一個法向量為n′＝(x，y,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n′·\o(A1B,\s\up8(→))＝0，,n′·\o(BC1,\s\up8(→))＝0，))可求得n′＝(1,1,1)，∴n′＝n，∴平面ACD1∥平面A1BC1.1．證明線面平行常用的方法(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量共面．(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一個向量平行．(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．2．證明面面平行常用的方法(1)利用上述方法證明平面內(nèi)的兩個不共線向量都平行于另一個平面．(2)證明兩個平面的法向量平行．(3)證明一個平面的法向量也是另一個平面的法向量．[再練一題]1．如圖3-2-8所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)，求證：MN∥平面A圖3-2-8【證明】法一：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DA1,\s\up8(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up8(→))＝(1,1,0)．設(shè)平面A1BD的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up8(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up8(→))＝0，))從而可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0，))令x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一個法向量為n＝(1，－1，－1)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))·n＝0，∴eq\o(MN,\s\up8(→))⊥n.∵M(jìn)N?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二：∵eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(C1N,\s\up8(→))－eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up8(→))－eq\o(D1D,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))∥eq\o(DA1,\s\up8(→)).∵M(jìn)N?平面A1BD，A1D?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法三：∵eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(C1N,\s\up8(→))－eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(D1D,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(D1A1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))＋0·eq\o(DB,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))可用eq\o(DA1,\s\up8(→))與eq\o(DB,\s\up8(→))線性表示，故eq\o(MN,\s\up8(→))與eq\o(DA1,\s\up8(→))和eq\o(DB,\s\up8(→))是共面向量，∵M(jìn)N?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.向量法證明垂直問題如圖3-2-9所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝圖3-2-9AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.【精彩點(diǎn)撥】eq\x(建系)→eq\x(\a\al(求相關(guān)點(diǎn),的坐標(biāo)))→eq\x(\a\al(求相關(guān)向,量的坐標(biāo)))→eq\x(\a\al(判斷向量,的關(guān)系))→eq\x(\a\al(確定線線、,線面關(guān)系))【自主解答】AB，AD，AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).設(shè)D(0，y,0)，由AC⊥CD，得eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝0，即y＝eq\f(2\r(3),3)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，∴eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0)).又eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),6)×eq\f(\r(3),4)＝0，∴eq\o(AE,\s\up8(→))⊥eq\o(CD,\s\up8(→))，即AE⊥CD.(2)法一：∵P(0,0,1)，∴eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1)).又eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(1,2)×(－1)＝0，∴eq\o(PD,\s\up8(→))⊥eq\o(AE,\s\up8(→))，即PD⊥AE.∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.法二：eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,0,0)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，設(shè)平面ABE的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,\f(1,4)x＋\f(\r(3),4)y＋\f(1,2)z＝0，))令y＝2，則z＝－eq\r(3)，∴n＝(0,2，－eq\r(3))．∵eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，顯然eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\f(\r(3),3)n.∴eq\o(PD,\s\up8(→))∥n，∴eq\o(PD,\s\up8(→))⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.1．證明線線垂直常用的方法證明這兩條直線的方向向量互相垂直．2．證明線面垂直常用的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；(2)證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直．3．證明面面垂直常用的方法(1)轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；(2)證明兩個平面的法向量互相垂直．[再練一題]2．在例2中，平面ABE與平面PDC是否垂直，若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．【解】由例2，可知eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0))，eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，設(shè)平面PDC的法向量為m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(CD,\s\up8(→))＝－\f(1,2)x＋\f(\r(3),6)y＝0，,m·\o(PD,\s\up8(→))＝\f(2\r(3),3)y－z＝0，))令y＝eq\r(3)，則x＝1，z＝2，即m＝(1，eq\r(3)，2)，由例2知，平面ABE的法向量為n＝(0,2，－eq\r(3))，∴m·n＝0＋2eq\r(3)－2eq\r(3)＝0，∴m⊥n.所以平面ABE⊥平面PDC.[探究共研型]利用向量法證明平行、垂直關(guān)系探究1向量法判定線面關(guān)系與傳統(tǒng)法比較，向量法有何優(yōu)點(diǎn)？【提示】向量法判定線面關(guān)系與傳統(tǒng)法比較起來，優(yōu)點(diǎn)在于：以算代證，用定量計(jì)算代替了定性分析，避免了繁瑣的邏輯論證過程，對視圖能力、空間想象能力要求稍低，降低了解決問題的難度．探究2用向量方法證明平行、垂直問題的一般步驟是什么？【提示】(1)建立空間圖形與空間向量的聯(lián)系；(2)通過向量運(yùn)算研究平行、垂直問題；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題．探究3向量方法如何解決與平行、垂直有關(guān)的探究問題？【提示】在立體幾何中，經(jīng)常會遇到點(diǎn)、線、面處在什么位置時結(jié)論成立，或某一結(jié)論成立時需要具備什么條件，或某一結(jié)論在某一條件下，某個元素在某個位置時是否成立等類似的問題．這些問題都屬探索性問題，解決這些問題僅憑幾何手段有時會十分困難，我們借助向量將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，把點(diǎn)、線、面的位置數(shù)量化，通過對代數(shù)式的運(yùn)算就可得出相應(yīng)的結(jié)論．這樣可以把許多幾何問題進(jìn)行類化，公式化，使問題的解決變得有“法”可依，有路可尋．如圖3-2-10所示，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的eq\r(2)倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．圖3-2-10(1)求證：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，把空間線面的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系問題，通過向量的計(jì)算得出結(jié)論．【自主解答】(1)證明：連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于O，則AC⊥BD.由題意知SO⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OS,\s\up8(→))分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)底面邊長為a，則高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))，則eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s\up8(→))＝0，故OC⊥SD，從而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC.理由如下：由已知條件知eq\o(DS,\s\up8(→))是平面PAC的一個法向量，且eq\o(DS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，\f(\r(6),2)a))，eq\o(CS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)a，\f(\r(6),2)a))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，設(shè)eq\o(CE,\s\up8(→))＝teq\o(CS,\s\up8(→))，則eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋teq\o(CS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a1－t，\f(\r(6),2)at))，而eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(DS,\s\up8(→))＝0，∴－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2)a2t＝0，∴t＝eq\f(1,3).即當(dāng)SE∶EC＝2∶1時，eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(DS,\s\up8(→)).而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC.[再練一題]3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE∥平面A1MC圖3-2-11【解】假設(shè)在線段AB上存在一點(diǎn)M，使直線DE∥平面A1MC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC＝a，BC＝b，AA1＝c，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(c,2)))，A(a,0,0)，A1(a,0，c)，B(0，b,0)．設(shè)M(x0，y0,0)，且0≤x0≤a,0≤y0≤b，則eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(b,2)，\f(c,2)))，eq\o(CA1,\s\up8(→))＝(a,0，c)，eq\o(CM,\s\up8(→))＝(x0，y0,0)，設(shè)平面A1MC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA1,\s\up8(→))＝ax＋cz＝0，,n·\o(CM,\s\up8(→))＝x0x＋y0y＝0，))令x＝1，則z＝－eq\f(a,c)，y＝－eq\f(x0,y0)，∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(x0,y0)，－\f(a,c))).若DE∥平面A1MC，則n·eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\f(bx0,2y0)－eq\f(a,2)＝0，即bx0－ay0＝0.①又eq\o(AM,\s\up8(→))＝λeq\o(MB,\s\up8(→))，即(x0－a，y0,0)＝λ(－x0，b－y0,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－a＝λ－x0，,y0＝λb－y0，))解得bx0＋ay0－ab＝0.②由①②解得x0＝eq\f(a,2)，y0＝eq\f(b,2)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)，0))，所以存在點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)時，使DE∥平面A1MC.[構(gòu)建·體系]1．若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是________(填序號)．①n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)；②n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)；③n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)；④n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)．【解析】兩個平面垂直時，其法向量也垂直，只有①中的兩個向量垂直．【答案】①2．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c兩兩垂直，則(x，y，z)＝________.【解析】由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y－12＝0，,x－4－4z＝0，,－1－2y＋3z＝0，))解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.【答案】(－64，－26，－17)3．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是________．【解析】∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，又l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.【答案】平行4．下列命題中，正確的是________(填序號)．①若n1，n2分別是平面α，β的一個法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的一個法向量，則α⊥β?n1·n2＝0；③若n是平面α的一個法向量，a與平面α共面，則n·a＝0；④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直．【解析】②③④一定正確，①中兩平面有可能重合．【答案】②③④5．如圖3-2-12,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F.求證：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.圖3-2-12【證明】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖，設(shè)DC＝PD＝1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).∴eq\o(PB,\s\up8(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up8(→))＝e