第三章-趨勢外推法ppt

第3章趨勢外推預(yù)測法基本思想擬合直線法曲線趨勢外推法趨勢外推法概述 某一些客觀事物（如：經(jīng)濟現(xiàn)象）的發(fā)展相對于時間推移，常常有一定的規(guī)律。這時，若預(yù)測對象變化無明顯的季節(jié)波動，又能找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢，即可建立其趨勢模型：

當有理由相信這種趨勢可能會延伸到未來時，對于未來的某個t值就可得到相應(yīng)時序未來值，這就是趨勢外推法。某家用電器廠1993～2003年利潤額數(shù)據(jù)資料年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤額yt2003003504005006307007508509501020某商場某種商品過去9個月的銷量某商場過去9年投入市場，市場需求量統(tǒng)計資料 某一些客觀事物（如：經(jīng)濟現(xiàn)象）的發(fā)展相對于時間推移，常常有一定的規(guī)律。這時，若預(yù)測對象變化無明顯的季節(jié)波動，又能找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢，即可建立其趨勢模型：

當有理由相信這種趨勢可能會延伸到未來時，對于未來的某個t值就可得到相應(yīng)時序未來值，這就是趨勢外推法。趨勢外推法概述某家用電器廠1993～2003年利潤額數(shù)據(jù)資料某商場某種商品過去9個月的銷量某商場過去9年投入市場，市場需求量統(tǒng)計資料趨勢外推法概述 某一些客觀事物（如：經(jīng)濟現(xiàn)象）的發(fā)展相對于時間推移，常常有一定的規(guī)律。這時，若預(yù)測對象變化無明顯的季節(jié)波動，又能找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢，即可建立其趨勢模型：

當有理由相信這種趨勢可能會延伸到未來時，對于未來的某個t

值就可得到相應(yīng)時序未來值，這就是趨勢外推法。假設(shè)條件：技術(shù)（或經(jīng)濟）發(fā)展的因素，不但決定了過去技術(shù)的發(fā)展，而且在很大程度上決定了其未來的發(fā)展。即某項技術(shù)在其過去、現(xiàn)在、未來的發(fā)展過程中，內(nèi)、外因相對保持不變。其變化屬漸進式變化，而不屬于跳躍式變化。慣性原理趨勢外推法概述 某一些客觀事物（如：經(jīng)濟現(xiàn)象）的發(fā)展相對于時間推移，常常有一定的規(guī)律。這時，若預(yù)測對象變化無明顯的季節(jié)波動，又能找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢，即可建立其趨勢模型：

當有理由相信這種趨勢可能會延伸到未來時，對于未來的某個t

值就可得到相應(yīng)時序未來值，這就是趨勢外推法。某家用電器廠1993～2003年利潤額數(shù)據(jù)資料y2004預(yù)測y2005預(yù)測某商場某種商品過去9個月的銷量y11預(yù)測Y10預(yù)測y2004預(yù)測y2005預(yù)測某商場過去9年投入市場，市場需求量統(tǒng)計資料3.1直線趨勢外推法適用于時間序列觀察值數(shù)據(jù)呈直線上升或下降的情形。此時，該變量的長期趨勢就可用一直線來描述，并通過該直線趨勢的向外延伸，估計其預(yù)測值。例3.1

某家用電器廠1993～2003年利潤額數(shù)據(jù)資料如表3.1所示。試預(yù)測2004、2005年該企業(yè)的利潤。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤額yt2003003504005006307007508509501020？？?二、擬合直線方程法最小二乘法離差與離差平方ee最小擬合程度最好最小二乘原理簡單講，使歷史數(shù)據(jù)到擬合直線上的離差平方和最小，從而求得模型參數(shù)的方法。法國數(shù)學(xué)家勒讓德于1806年首次發(fā)表最小二乘理論。事實上，德國的高斯于1794年已經(jīng)應(yīng)用這一理論推算了谷神星的軌道，但遲至1809年才正式發(fā)表。最小二乘法也是數(shù)理統(tǒng)計中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學(xué)研究中有廣泛應(yīng)用。x=12345678910111213………………代入相應(yīng)的x，得出的y作為預(yù)測值………………例3.1

某家用電器廠1993~2003年利潤額數(shù)據(jù)資料如表3.1所示。試預(yù)測2004、2005年該企業(yè)的利潤。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤額2003003504005006307007508509501020年份利潤額yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780490060007650950011220預(yù)測值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.31018∑66506650649000x對稱編號??x的編號的影響：對預(yù)測結(jié)果沒有影響對斜率b沒有影響對截距a有影響擬合直線方程法的特點只適用于時間序列呈直線上升（或下降）趨勢變化。對時間序列數(shù)據(jù)，不論其遠近都一律同等看待。用最小二乘原理擬合的直線方程消除了不規(guī)則因素的影響，使趨勢值都落在擬合的直線上。3.2

加權(quán)擬合直線方程法擬合直線方程法的基本思想是要使預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)的誤差的平方和達到最小。離差平方和是每期的實際值與該期的預(yù)測值的偏差值的平方和，意味著：中的每一項都有同樣的重要性，即無論這個誤差是近期的或是遠期的，都賦予同等的權(quán)重。實際上，對于預(yù)測精度來說，近期的誤差比遠期的誤差更為重要。在實踐中，要按照時間先后，本著重今輕遠的原則，對離差平方和進行賦權(quán)，然后再按最小二乘原理，使離差平方和達到最小，求出加權(quán)擬合直線方程。由近及遠的離差平方和的權(quán)重分別為其中，說明對最近期數(shù)據(jù)賦予最大權(quán)重為1，而后由近及遠，按比例遞減。各期權(quán)重衰減的速度取決于的取值。加權(quán)擬合直線方程法衰減速度越慢衰減速度越快？加權(quán)擬合直線方程法的數(shù)學(xué)模型加權(quán)擬合直線方程法的數(shù)學(xué)模型？？例3.1

某家用電器廠1993~2003年利潤額數(shù)據(jù)資料如表3.1所示。試預(yù)測2004、2005年該企業(yè)的利潤。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤額2003003504005006307007508509501020年份xt利潤額ytn-ta(n-t)a(n-1)

yta(n-1)xtyta(n-1)xta(n-1)xt219931200100.107421.474836521.474836480.1073740.1073741821994230090.134240.265318480.53063680.2684350.5368709121995335080.167858.720256176.1607680.5033161.509949441996440070.209783.88608335.544320.8388613.35544321997550060.2621131.072655.361.310726.55361998663050.3277206.43841238.63041.9660811.796481999770040.4096286.722007.042.867220.07042000875030.512038430724.09632.7682001985020.640054448965.7651.8420021095010.80007607600880200311102001.000010201122011121∑4.57053536.576931302.741036.7180329.5381預(yù)測模型為：結(jié)論分析由于時間序列線性趨勢比較明顯，又由于加權(quán)系數(shù)較大(0.8)，使得，加權(quán)與不加權(quán)擬合結(jié)果相近。加權(quán)的重近輕遠原則，使其預(yù)測結(jié)果更接近于實際觀察值。3.3 擬合直線方程的特殊運用在實際生活中，常常會遇到比線性發(fā)展趨勢更為復(fù)雜的問題。例：某商品的過去九年的市場總需求量時間（年）123456789總需求量（件）16527045074012202010312054609000某公司1991～2003年銷售額（單位：萬元）3.3 擬合直線方程的特殊運用在實際生活中，常常會遇到比線性發(fā)展趨勢更為復(fù)雜的問題。在某些情況下，可以通過適當?shù)淖兞孔儞Q，將變量間的關(guān)系式化為線性的形式。例如：變量滿足的關(guān)系，其中，a、b，均為與t無關(guān)的未知參數(shù)，只要令，即可化為的線性形式。同理：對于模型變換變換常用模型分析常用模型分析對于上式兩邊取對數(shù)：令：則有：常用模型分析運用擬合直線方程法，可求得：正負編號法 某公司1993～2005年產(chǎn)品的銷售額如下表，試預(yù)測2006年的產(chǎn)品銷售額。觀察期銷售額199318199472199590199621019972701998390199957020009002001150020022310200340502004480020055400

觀察期銷售額xtxt2lnytxt

lnyt199318-6362.890-17.342199472-5254.277-21.383199590-4164.500-17.9991996210-395.347-16.0411997270-245.598-11.1971998390-115.966-5.9661999570006.3460.0002000900116.8026.80220011500247.31314.62620022310397.74523.235200340504168.30633.226200448005258.47642.382200554006368.59451.565SUM18282.16281.907設(shè)：該趨勢線的模型為：觀察期銷售額xt199318-63.62037.334199472-54.07058.553199590-44.52091.8331996210-34.970144.0291997270-25.420225.8921998390-15.870354.283199957006.320555.649200090016.770871.4662001150027.2201366.7872002231037.6702143.6362003405048.1203362.0272004480058.5705272.9222005540069.0208269.924200679.47012970.350設(shè)：該趨勢線的模型為：預(yù)測2006年的銷售額：3.4

曲線趨勢外推預(yù)測法變量間的關(guān)系由于受到眾多因素的影響，其變動趨勢并非總是一條直線方程，往往會呈現(xiàn)出不同的形態(tài)的曲線變動趨勢。曲線趨勢外推法：根據(jù)時間序數(shù)據(jù)資料的散點圖走向趨勢，選擇恰當?shù)那€方程，利用最小二乘法或擬合法（三點法、三和法）等來確定待定的參數(shù)，建立曲線預(yù)測模型，并用它進行預(yù)測的方法。常用的曲線趨勢外推預(yù)測法假設(shè)曲線趨勢外推預(yù)測模型為：第t期某變量的預(yù)測值（因變量）時間變量（自變量）二次曲線法生長曲線法三次曲線法二次曲線趨勢外推預(yù)測法二次曲線趨勢外推預(yù)測法：研究時間序列觀察值數(shù)據(jù)隨時間變動呈現(xiàn)一種由高到低再到高（或由低到高再到低）的趨勢變化的曲線外推預(yù)測法。由于時間序列觀察值的散點圖呈現(xiàn)拋物線形狀，故也稱之為二次拋物線預(yù)測模型。二次曲線趨勢外推預(yù)法的待定系數(shù)也可以根據(jù)其誤差最小的標準確定的。1、用最小二乘法確定待定參數(shù)——第t

期的時間序列的觀察值——第t

期的時間序列的預(yù)測值——第t

期的離差——離差平方和二次曲線外推預(yù)測法的模型：Q值為最小，分別對a、b、c求偏導(dǎo)，并令之為0。采用正負編號后：解方程組得：例： 某公司1997～2005年的商品銷售收入如下表，試預(yù)測該公司2006年的銷售收入。年份199719981999200020012002200320042005銷售收入54564176492311071322156818362140繪制散點圖計算待定參數(shù)，建立預(yù)測模型年份銷售收入1997-45451998-36411999-27642000-1923200101107200211322200321568200431836200542140年份銷售收入19975451998641199976420009232001110720021322200315682004183620052140年份銷售收入1997-454516256-21808720543.91998-3641981-19235769640.71999-276441692000-192311-923923922.420010110700001107.320021132211132213221321.5200321568416313662721565.02004318369815508165241837.9200542140162568560342402140.2SUM10846607081197276826預(yù)測2006年的銷售收入：2、用三點法確定待定系數(shù)思路：在二次曲線模型上選取遠、中、近三點坐標作為預(yù)測模型待定參數(shù)a、b、c的估計值。具體做法使時間序列的總項數(shù)n為奇數(shù)（若為偶數(shù)，可刪去最初的一個觀察期數(shù)據(jù)）；如果n15

，則在時間序列的遠、中、近三期各取5個數(shù)據(jù)項，用權(quán)數(shù)

=1，2，3，4，5

由遠及近分別賦權(quán)并進行加權(quán)平均；如果9n

15

，則在時間序列的遠、中、近三期各取3個數(shù)據(jù)項，用權(quán)數(shù)

=1，2，3由遠及近分別賦權(quán)并進行加權(quán)平均；以此三個加權(quán)平均值作為該二次曲線預(yù)測模型上遠、中、近三點的縱坐標的數(shù)值。即假設(shè)遠、中、近三期的坐標分別為M1(t1，R)、M2(t2，S)、M3(t3，T)；時間序列總項數(shù)n

為奇數(shù)，且中間項為d=(n+1)/2，則當n15

，取遠期5個觀察值y1、y2、y3、y4、y5，其加權(quán)平均值為：取中期5個觀察值yd-2、yd-1、yd、yd+1、yd+2，其加權(quán)平均值為：取中期近個觀察值yd-2、yd-1、yd、yd+1、yd+2，其加權(quán)平均值為：要對遠、中、近三點的橫坐標x1，x2，x3作權(quán)數(shù)（1，2，3，4，5）相同加權(quán)平均值。以15項觀察值作加權(quán)平均后三點坐標分別為：將三點代入二次曲線預(yù)測模型：關(guān)于三點法的幾點說明三點法的特點是不需要數(shù)列的全部數(shù)據(jù)，計算相對而言比較簡單。對選取的數(shù)據(jù)比較敏感，即便是取加權(quán)平均值，也會受到一定的影響。一般而言，每一組里的數(shù)據(jù)相對較多時，模型可能更接近于實際。每一組里的數(shù)據(jù)要求是奇數(shù)，是從計算的角度而言的。此種運算方法在生命曲線趨勢預(yù)測法里將發(fā)揮更大的作用。二次曲線外推預(yù)測法的特點 二次曲線趨勢外推法預(yù)測法適用于時間序列數(shù)據(jù)呈拋物線形狀上升或下降，且曲線僅有一個極點（極大值或極小值點）的情況。3.5趨勢外推預(yù)測模型的識別圖形識別法：

這種方法是通過繪制散點圖來進行的，即將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進行比較，以便選擇較為合適的模型。趨勢外推預(yù)測模型的識別差分法：

差分是數(shù)學(xué)中的一個概念。如果對于序列t

和函數(shù)yt

，如果Δyt=yt?yt-1，則稱Δyt為yt

的一階差分。 由于模型種類很多，為根據(jù)歷史數(shù)據(jù)正確選擇模型，常利用差分法把原序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，即利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達到平穩(wěn)序列。將時間序列的差分與各類模型的差分特點比較就可以選擇適宜的模型。 年份利潤額ytΔyt1993200199430010019953505019964005019975001001998630130199970070200075050200185010020029501002003102070一階向后差分可以表示為：