高中數(shù)學(xué)人教A版1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 本講高效整合

第一講本講高效整合一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖，梯形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，有以下四個(gè)結(jié)論：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝DC∶AB；④S△AOD＝S△BOC，其中，始終正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：①正確，②③顯然錯(cuò)誤，又由S△ABD＝S△ABC，故④正確．答案：B2．如圖，△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14，AC＝19，則MN的長(zhǎng)為()A．2 B．C．3 D．解析：延長(zhǎng)BN交AC于D，則△ABD為等腰三角形，∴AD＝AB＝14，∴CD＝5.又M、N分別是BC、BD的中點(diǎn)，故MN＝eq\f(1,2)CD＝.答案：B3．若三角形的三條邊之比為3∶5∶7，與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊為21cm，A．24cmC．19cm解析：設(shè)其余兩邊的長(zhǎng)度分別為xcm，ycm，則eq\f(21,7k)＝eq\f(x,5k)＝eq\f(y,3k)，解得x＝15cm，y＝故x＋y＝24答案：A4．如圖，在Rt△ABC內(nèi)畫(huà)有邊長(zhǎng)依次為a、b、c的三個(gè)正方形，則a、b、c之間的關(guān)系是()A．b＝a＋c B．b2＝acC．b2＝a2＋c2 D．b＝2a＝解析：由三角形相似知eq\f(a－b,b)＝eq\f(b－c,c)，得ac－bc＝b2－bc，∴b2＝ac.答案：B5．若D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，△ADC∽△ACB，AD＝5，AC＝6，△ABC的面積是S，則△BCD的面積是()A．eq\f(3,5)S B．eq\f(4,5)SC．eq\f(5,9)S D．eq\f(11,36)S解析：∵△ADC∽△ACB，∴S△ADC∶S△ACB＝(AD∶AC)2＝25∶36.∵S△ABC＝S，∴S△ACD＝eq\f(25,36)S.∴S△BCD＝S－eq\f(25,36)S＝eq\f(11,36)S.答案：D6.如圖，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD與CE相交于F，則eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)的值為()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2解析：過(guò)D作DG∥CE交AB于G，則eq\f(BG,GE)＝eq\f(BD,DC)＝eq\f(2,1).又eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，∴AE＝EG，∴eq\f(AF,FD)＝eq\f(AE,EG)＝1.又eq\f(DG,CE)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,3)，EF＝eq\f(1,2)DG，∴eq\f(EF,CE)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(EF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)＝eq\f(3,2).答案：C7．如右圖所示，身高為1.6米的某學(xué)生想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)他站在C處時(shí)，他的影子的頂端正好與旗桿影子的頂端重合，并測(cè)得AC＝2米，BC＝8米，則旗桿的高度是()A．6.4米 B．7米C．8米 D．9米解析：由題意，知CD∥BE，∵△ACD∽△ABE，∴eq\f(CD,BE)＝eq\f(AC,AB).∵AC＝2米，BC＝8米，∴AB＝10米．又∵CD＝1.6米，∴eq\f,BE)＝eq\f(2,10).∴BE＝8米．答案：C8．如圖所示，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是()A．3對(duì) B．4對(duì)C．5對(duì) D．6對(duì)解析：△ABD∽△CBE∽△AFE∽△CFD，故有6對(duì)．答案：D9．如圖，D、E、F、G、H、I是△ABC三邊的三等分點(diǎn)，△ABC的周長(zhǎng)是l，則六邊形DEFGHI的周長(zhǎng)是()A．eq\f(1,3)l B．3lC．2l D．eq\f(2,3)l解析：由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE＝eq\f(1,3)BC，同理IH＝eq\f(1,3)AC，GF＝eq\f(1,3)AB，又EF＝eq\f(1,3)AC，GH＝eq\f(1,3)BC，ID＝eq\f(1,3)AB，∴六邊形DEFGHI的周長(zhǎng)C＝eq\f(2,3)(AB＋AC＋BC)＝eq\f(2,3)l.答案：D10.如圖，一張矩形報(bào)紙ABCD的長(zhǎng)AB＝acm，寬BC＝bcm，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將這張報(bào)紙沿著直線EF對(duì)折后，矩形AEFD的長(zhǎng)與寬之比等于矩形ABCD的長(zhǎng)與寬之比，則a∶b等于()A．eq\r(2)∶1 B．1∶eq\r(2)C．eq\r(3)∶1 D．1∶eq\r(3)答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)11．在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，若DE＝4，則BC＝________.解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.∴BC＝2DE＝8.答案：812．若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為2∶3，且周長(zhǎng)的和為50cm，則這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)分別為解析：設(shè)較大的三角形的周長(zhǎng)為xcm，則較小的三角形的周長(zhǎng)為(50－x)cm.由題意，得eq\f(50－x,x)＝eq\f(2,3)，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.答案：20cm13．如右圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，∠ADC＝60°，在AD上取點(diǎn)E，使AE∶ED＝2∶1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AB于F，連接CF交AD于P，那么S△EFP∶S△DCP＝________.解析：設(shè)AC＝CB＝a，則CD＝eq\f(\r(3),3)a，BD＝a－eq\f(\r(3),3)a＝eq\f(3－\r(3),3)a.∵EF∥BC，∴EF∶BD＝AE∶AD＝2∶3.∴EF＝eq\f(2,3)BD＝eq\f(23－\r(3),9)a.∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(2\r(3)－1,3).又∵△EFP∽△DCP，∴S△EFP∶S△DCP＝(EF∶CD)2＝(16－8eq\r(3))∶9.答案：(16－8eq\r(3))∶914．如圖，在△ABC中，DE∥BC，BE與CD相交于點(diǎn)O，直線AO與DE、BC分別交于N、M，若DN∶MC＝1∶4，則NE∶BM＝________，AE∶EC＝________.解析：eq\f(OD,OC)＝eq\f(DN,MC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(OE,OB)＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(NE,BM)＝eq\f(OE,OB)＝eq\f(1,4)，又eq\f(DE,BC)＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,4)，∴AE∶EC＝1∶3.答案：1∶41∶3三、解答題(本大題共4小題，共50分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(12分)如圖，已知△ABC的面積為5，點(diǎn)M在AB邊上移動(dòng)(點(diǎn)M與點(diǎn)A、B不重合)，MN∥BC，MN交AC于點(diǎn)N，連結(jié)BN.設(shè)eq\f(AM,AB)＝x，S△MBN＝y(tǒng).求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．解析：∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴eq\f(S△AMN,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AM,AB)))2，即eq\f(S△AMN,5)＝x2，S△AMN＝5x2，∵eq\f(S△MBN,S△AMN)＝eq\f(BM,AM)＝eq\f(AB－AM,AM)＝eq\f(AB,AM)－1＝eq\f(1,x)－1∴S△MBN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))S△AMN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))5x2＝－5x2＋5x.∴y＝－5x2＋5x(0＜x＜1)．16．(12分)如圖所示，CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線，CE⊥CD，CE＝eq\f(10,3)，連接DE交BC于點(diǎn)F，AC＝4，BC＝3.求證：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.證明：(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，則AB＝5.∵D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝.∴eq\f(CD,CE)＝eq\f,\f(10,3))＝eq\f(3,4)＝eq\f(BC,AC).∴△ABC∽△EDC．(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD．∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.17．(12分)一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米，面積為平方米，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法符合要求．(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)保留)解析：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC，∴BC＝eq\f(2×,＝2(米)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x米．如圖甲，∵DE∥AB，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(CD,CB).∴eq\f(x,＝eq\f(2－x,2)解得x＝eq\f(6,7).如圖乙，作BH⊥AC于H，交DE于M，∵AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r＋22)＝eq\f(5,2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BH.∴BH＝eq\f(6,5)，又∵DE∥AC，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BM,BH)，∴eq\f(x,\f(5,2))＝eq\f(\f(6,5)－x,\f(6,5))，即eq\f(2x,5)＝eq\f(6－5x,6)解得x＝eq\f(30,37)，∵eq\f(6,7)＞eq\f(30,37)，∴甲同學(xué)的加工方法符合要求．18．(14分)已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直線MN是梯形的對(duì)稱軸，P是MN上的一點(diǎn)，直線BP交直線DC于F，交CE于E，且CE∥AB．(1)若點(diǎn)P在梯形內(nèi)部，如圖(1)．求證：BP2＝PE·PF；(2)若點(diǎn)P在梯形的外部，如圖(2)，那么(1)的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)證明：連接PC，∵M(jìn)N是梯形ABCD的對(duì)稱軸，∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠DCB，即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，∴∠ABP＝∠DCP.又∵CE∥AB，∴∠CEF＝∠ABP＝∠DCP.而∠CPE＝∠FPC，∴△CPE∽△FPC．∴eq\f(PE,PC)＝e