高中數(shù)學蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 同課異構(gòu)2

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1．(2023·徐州高二檢測)雙曲線eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1上一點P到一個焦點的距離是10，那么點P到另一個焦點的距離是________．【解析】據(jù)題意知|PF1－PF2|＝|PF1－10|＝8，∴PF1＝18或2.【答案】18或22．雙曲線eq\f(x2,m2＋12)－eq\f(y2,4－m2)＝1的焦距是________．【解析】由題意，得c＝eq\r(m2＋12＋4－m2)＝4，∴焦距為2c＝8.【答案】83．已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,25)＝1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上的一點，且PF與圓x2＋y2＝16相切于點N，M為線段PF的中點，O為坐標原點，則|MN|－|MO|＝________.【解析】設(shè)F′是雙曲線的右焦點，連接PF′(圖略)，因為M，O分別是FP，F(xiàn)F′的中點，所以|MO|＝eq\f(1,2)|PF′|.又|FN|＝eq\r(|OF|2－|ON|2)＝5，且由雙曲線的定義知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－eq\f(1,2)|PF′|＝eq\f(1,2)(|PF|－|PF′|)－|FN|＝eq\f(1,2)×8－5＝－1.【答案】－14．焦點分別是(0，－2)，(0,2)，且經(jīng)過點P(－3,2)的雙曲線的標準方程是________．【解析】由題意，焦點在y軸上，且c＝2，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,m)－eq\f(x2,4－m)＝1(0<m<4)，將P(－3,2)代入，解得m＝1.因此所求雙曲線標準方程為y2－eq\f(x2,3)＝1.【答案】y2－eq\f(x2,3)＝15．已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則PF1＋PF2的值為________．【解析】不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，因為PF1⊥PF2，所以(2eq\r(2))2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)，又因為|PF1－PF2|＝2，所以(PF1－PF2)2＝4，可得2PF1·PF2＝4，則(PF1＋PF2)2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)6．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上一點M的橫坐標為5，則點M到左焦點的距離是________.【導學號：09390032】【解析】由于雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦點為F(5,0)，將xM＝5代入雙曲線可得|yM|＝eq\f(16,3)，即雙曲線上一點M到右焦點的距離為eq\f(16,3)，故利用雙曲線的定義可求得點M到左焦點的距離為2a＋|yM|＝6＋eq\f(16,3)＝eq\f(34,3).【答案】eq\f(34,3)7．(2023·江西九江模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左，右焦點，P是雙曲線右支上一點，M是PF1的中點，若OM＝1，則PF1的值為________．【解析】因為M是PF1的中點，所以PF2＝2OM＝2，又由雙曲線的定義知：PF1－PF2＝2a＝8，所以PF1＝10.【答案】108．(2023·云南玉溪模擬)若圓x2＋y2－4x－9＝0與y軸的兩個交點A，B都在雙曲線上，且A，B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標準方程為________.【導學號：09390033】【解析】解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－9＝0，,x＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3.))∵圓x2＋y2－4x－9＝0與y軸的兩個交點A，B都在雙曲線上，且A，B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分，∴A(0，－3)，B(0,3)，且a＝3,2c＝18，∴b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,2)))2－32＝72，∴雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,72)＝1.【答案】eq\f(y2,9)－eq\f(x2,72)＝1二、解答題9．求適合下列條件的雙曲線的標準方程．(1)a＝4，經(jīng)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)經(jīng)過點(3,0)，(－6，－3)．【解】(1)當焦點在x軸上時，設(shè)所求標準方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，把A點的坐標代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)＜0，不符合題意；當焦點在y軸上時，設(shè)所求標準方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b＞0)，把A點的坐標代入，得b2＝9，∴所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，∵雙曲線經(jīng)過點(3,0)，(－6，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋0＝1，,36m＋9n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝－\f(1,3)，))∴所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1.10．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個焦點，P是雙曲線左支上的點，且PF1·PF2＝32，試求△F1PF2的面積．【解】雙曲線的標準方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，可知a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.由雙曲線的定義，得|PF2－PF1|＝2a＝6，將此式兩邊平方，得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝36，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(100－100,2PF1·PF2)＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×32＝16.能力提升]1．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個焦點，P是雙曲線上一點，且3PF1＝4PF2，則△PF1F2的面積為________．【解析】由題意知PF1－PF2＝2a＝2，∴eq\f(4,3)PF2－PF2＝2，∴PF2＝6，PF1＝8.又F1F2＝10，∴△PF1F2為直角三角形，且∠F1PF2＝90°，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×6×8＝24.【答案】242．設(shè)橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為_____．【解析】對于橢圓C1，∵長軸長2a1＝26，∴a1＝13，又離心率e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(5,13)，∴c1＝5.由題意知曲線C2為雙曲線，且與橢圓C1共焦點，∴c2＝5.又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝eq\r(c\o\al(2,2)－a\o\al(2,2))＝3，又焦點在x軸上，故曲線C2的標準方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.【答案】eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝13．已知雙曲線的兩個焦點F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，P是雙曲線上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，PF1·PF2＝2，則雙曲線的標準方程為________．【解析】由題意可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，得PF1⊥PF2.根據(jù)勾股定理得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝(2c)2，即PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝20.根據(jù)雙曲線定義，有PF1－PF2＝±2a.兩邊平方并代入PF1·PF2＝2，得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，從而b2故雙曲線的標準方程是eq\f(x2,4)－y2＝1.【答案】eq\f(x2,4)－y2＝14．2008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏級地震，為了援救災民，某部隊在如圖2-3-1所示的P處空降了一批救災藥品，今要把這批藥品沿道路PA，PB送到矩形災民區(qū)ABCD中去，已知PA＝100km，PB＝150km，BC＝60km，∠APB＝60°，試在災民區(qū)中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點沿道路PA送藥較近，而另一側(cè)的點沿道路PB送藥較近，請說明這一界線是一條什么曲線？并求出其方程．圖2-3-1【解】矩形災民區(qū)ABCD中的點可分為三類，第一類沿道路PA送藥較近，第二類沿道路PB送藥較近，第三類沿道路PA和PB送藥一樣遠近．依題意，界線是第三類點的軌跡．設(shè)M為界線上的任一點，則PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50(定值)，∴界線是以A，B為焦點的雙曲線的右支的一部分．如圖，以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，設(shè)所求雙曲線方程的標準形式為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵a＝25