高中數(shù)學(xué)蘇教版3第一章計(jì)數(shù)原理 公開課

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．10個(gè)人分成甲、乙兩組，其中甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)【解析】由題意可知，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(6,6)＝210種分法．【答案】210種2．某人決定投資3種股票和4種債券，經(jīng)紀(jì)人向他推薦了6種股票和5種債券，則此人不同的投資方式有________種．【解析】由題意可知，共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(4,5)＝100(種)．【答案】1003．凸十邊形的對(duì)角線的條數(shù)為________．【解析】Ceq\o\al(2,10)－10＝35(條)．【答案】35條4．已知圓上9個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連一線段，所有線段在圓內(nèi)的交點(diǎn)有________個(gè)．【解析】此題可化歸為：圓上9個(gè)點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形，每個(gè)四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)即為所求，所以交點(diǎn)有Ceq\o\al(4,9)＝126(個(gè))．【答案】1265．某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為________．【解析】6人中選4人的方案有Ceq\o\al(4,6)＝15種，沒有女生的方案只有一種，所以滿足要求的方案總數(shù)有14種．【答案】14種6．過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有________對(duì)．【解析】3(Ceq\o\al(4,6)－3)＝36(對(duì))．【答案】367．在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為________．【解析】與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110恰有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即從4個(gè)位置中選2個(gè)位置，使對(duì)應(yīng)數(shù)字相同，其他2個(gè)不同，有Ceq\o\al(2,4)＝6個(gè)信息符合．第二類：與信息0110恰有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即從4個(gè)位置中選1個(gè)位置，使對(duì)應(yīng)數(shù)字相同，其他3個(gè)不同，有Ceq\o\al(1,4)＝4個(gè)信息符合．第三類：與信息0110沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即4個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字都不同，有Ceq\o\al(0,4)＝1個(gè)信息符合．由分類計(jì)數(shù)原理知，與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為6＋4＋1＝11.【答案】118．現(xiàn)有6張風(fēng)景區(qū)門票分配給6位游客，若其中A，B風(fēng)景區(qū)門票各2張，C，D風(fēng)景區(qū)門票各1張，則不同的分配方案共有________種.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440016】【解析】6位游客選2人去A風(fēng)景區(qū)，有Ceq\o\al(2,6)種，余下4位游客選2人去B風(fēng)景區(qū)，有Ceq\o\al(2,4)種，余下2人去C，D風(fēng)景區(qū)，有Aeq\o\al(2,2)種，所以分配方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180(種)．【答案】180二、解答題9．α，β是兩個(gè)平行平面，在α內(nèi)取四個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)取五個(gè)點(diǎn)．(1)這些點(diǎn)最多能確定幾條直線，幾個(gè)平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)最多能作多少個(gè)三棱錐？【解】(1)在9個(gè)點(diǎn)中，除了α內(nèi)的四點(diǎn)共面和β內(nèi)的五點(diǎn)共面外，其余任意四點(diǎn)不共面且任意三點(diǎn)不共線時(shí)，所確定直線才能達(dá)到最多，此時(shí)，最多能確定直線Ceq\o\al(2,9)＝36條．在此條件下，只有兩直線平行時(shí)，所確定的平面才最多．又因?yàn)槿齻€(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面，故最多可確定Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋2＝72個(gè)平面．(2)同理，在9個(gè)點(diǎn)中，除了α內(nèi)的四點(diǎn)共面和β內(nèi)的五點(diǎn)共面外，其余任意四點(diǎn)不共面且任意三點(diǎn)不共線時(shí)，所作三棱錐才能達(dá)到最多．此時(shí)最多能作Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＝120個(gè)三棱錐．10．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子；(2)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；(3)6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球．【解】(1)每個(gè)小球都有4種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有46＝4096種不同放法．(2)分兩類：第1類，6個(gè)小球分3,1,1,1放入盒中；第2類，6個(gè)小球分2,2,1,1放入盒中，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)＝1560(種)不同放法．(3)法一按3,1,1,1放入有Ceq\o\al(1,4)種方法，按2,2,1,1，放入有Ceq\o\al(2,4)種方法，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(種)不同放法．法二(擋板法)在6個(gè)球之間的5個(gè)空中插入三個(gè)擋板，將6個(gè)球分成四份，共有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)不同放法．能力提升]1．身高各不相同的7名同學(xué)排成一排照相，要求正中間的同學(xué)最高，左右兩邊分別順次一個(gè)比一個(gè)低，這樣的排法有________種．【解析】最高的同學(xué)只能站在中間，它別無選擇；從剩下的6名同學(xué)中任選3名，有Ceq\o\al(3,6)種不同的方法，他們由高到低的排列次序唯一；剩下的3名同學(xué)由高到低的排列次序也唯一．∴不同的排法共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝20(種)．【答案】202．(2023·泰州高二檢測(cè))若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則不同的取法共有________種.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440017】【解析】1,2,3，…，9中奇數(shù)有1,3,5,7,9，偶數(shù)有2,4,6,8.若取出的4個(gè)不同數(shù)的和為奇數(shù)，則有以下幾種可能．(1)取出3個(gè)偶數(shù)和1個(gè)奇數(shù)，共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝20(種)．(2)取出3個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)＝40(種)．故共有20＋40＝60種不同的取法．【答案】603．設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”【解析】由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考慮x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，設(shè)集合M＝{0}，N＝{－1，1}．當(dāng)x1，x2，x3，x4，x5中有2個(gè)取值為0時(shí)，另外3個(gè)從N中取，共有Ceq\o\al(2,5)×23種方法；當(dāng)x1，x2，x3，x4，x5中有3個(gè)取值為0時(shí)，另外2個(gè)從N中取，共有Ceq\o\al(3,5)×22種方法；當(dāng)x1，x2，x3，x4，x5中有4個(gè)取值為0時(shí)，另外1個(gè)從N中取，共有Ceq\o\al(4,5)×2種方法．故總共有Ceq\o\al(2,5)×23＋Ceq\o\al(3,5)×22＋Ceq\o\al(4,5)×2＝130種方法，即滿足題意的元素個(gè)數(shù)為130.【答案】130個(gè)4．將1,2,3，…，9這9個(gè)數(shù)字填在如圖1-3-1所示的九個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下依次增大．當(dāng)3,4固定在圖中位置時(shí)，所填寫空格的方法共有多少種？34圖1-3-1【解】由