高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章數(shù)列 全國(guó)一等獎(jiǎng)

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(八)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則角B等于________．【解析】∵A，B，C成等差數(shù)列，∴B是A，C的等差中項(xiàng)，則有A＋C＝2B，又∵A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，從而B(niǎo)＝60°.【答案】60°2．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項(xiàng)是________．【解析】因?yàn)閍＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＝eq\r(3)－eq\r(2)，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝eq\r(3)＋eq\r(2)，所以eq\f(a＋b,2)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)3．在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，則a5＋a8＝________.【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11，∴36＝2(a5＋a8)，故a5＋a8＝18.【答案】184．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91730029】【解析】∵{an}，{bn}都是等差數(shù)列，∴{an＋bn}也是等差數(shù)列，其公差為eq\f(21－7,2)＝eq\f(14,2)＝7，∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.【答案】355．(2023·泰州高二檢測(cè))若等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次是eq\f(1,x＋1)，eq\f(5,6x)，eq\f(1,x)，那么這個(gè)數(shù)列的第101項(xiàng)是________．【解析】由已知得2×eq\f(5,6x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x)，解得x＝2，∴a1＝eq\f(1,3)，d＝eq\f(1,12)，∴a101＝eq\f(1,3)＋100×eq\f(1,12)＝8eq\f(2,3).【答案】8eq\f(2,3)6．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m＝________.【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.【答案】87．(2023·鎮(zhèn)江高二檢測(cè))已知數(shù)列－1，a1，a2，－4與數(shù)列1，b1，b2，b3，－5各自成等差數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2)＝________.【解析】設(shè)數(shù)列－1，a1，a2，－4的公差是d，則a2－a1＝d＝eq\f(－4－－1,4－1)＝－1，b2＝eq\f(－5＋1,2)＝－2，故知eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)＝________.【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝eq\f(4π,3)，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝taneq\f(8π,3)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).【答案】－eq\r(3)二、解答題9．已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差數(shù)列．【證明】∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b).∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列．10．(2023·揚(yáng)州高二檢測(cè))若三個(gè)數(shù)a－4，a＋2,26－2a適當(dāng)排列后構(gòu)成遞增等差數(shù)列，求a【解】顯然a－4<a＋2，(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差數(shù)列，則(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，∴(2)若a－4,26－2a，a則(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，∴a＝9，相應(yīng)的等差數(shù)列為：5,8,11.(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差數(shù)列，則(26－2a)＋(a＋2)＝2(∴a＝12，相應(yīng)的等差數(shù)列為：2,8,14.能力提升]1．(2023·南京高二檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq\f(1,2)a8的值為_(kāi)_______．【解析】∵a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－eq\f(1,2)a8＝(a6＋d)－eq\f(1,2)(a6＋2d)＝eq\f(1,2)a6＝eq\f(1,2)×16＝8.【答案】82．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)_______升.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91730030】【解析】設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1，公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))則a5＝eq\f(67,66)，故第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升．【答案】eq\f(67,66)3．在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________．【解析】第n行的第一個(gè)數(shù)是n，第n行的數(shù)構(gòu)成以n為公差的等差數(shù)列，則其第n＋1項(xiàng)為n＋n·n＝n2＋n.【答案】n2＋n4．已知{an}滿足a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解】(1)證明：∵an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(3an＋1,an)＝3＋eq\f(1,an)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3.即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an