高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式 模塊綜合評價(二)

模塊綜合評價(二)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列命題中正確的是()A．若a，b，c是等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2B．若a，b，c是等比數(shù)列，則log2a，log2b，log2C．若a，b，c是等差數(shù)列，則2a，2b，2D．若a，b，c是等比數(shù)列，則2a，2b，2解析：eq\f(2b,2a)＝2b－a，eq\f(2c,2b)＝2c－b，因為a，b，c成等差數(shù)列，所以c－b＝b－a，所以2b－a＝2c－b，即eq\f(2b,2a)＝eq\f(2c,2b).答案：C2．在△ABC中，A＝135°，C＝30°，c＝20，則邊a的長為()A．10eq\r(2)B．20eq\r(2)C．20eq\r(6)\f(20\r(6),3)解析：由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以a＝eq\f(c·sinA,sinC)＝eq\f(20×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝20eq\r(2).答案：B3．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，則公比q＝()A．3B．4C．5D．6解析：兩式相減得，3a3＝a4－a3，a4＝4a所以q＝eq\f(a4,a3)＝4.答案：B4．在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為()A．37B．36C．20D．19解析：由am＝a1＋a2＋…＋a9得(m－1)d＝9a5＝36d?m答案：A5．不等式x(9－x)＞0的解集是()A．(0，9) B．(9，＋∞)C．(－∞，9) D．(－∞，0)∪(9，＋∞)解析：由x(9－x)＞0，得x(x－9)＜0，所以0＜x＜9.答案：A6．若三條線段的長分別為3、5、7，則用這三條線段()A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形解析：由余弦定理：設(shè)最大角為A，則cosA＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2)＜0，所以A為鈍角．答案：C7．對于實數(shù)x，規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,2))) B．[2，8]C．[2，8) D．[2，7]解析：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得eq\f(3,2)＜[x]＜eq\f(15,7)，又[x]表示不大于x的最大整數(shù)，所以2≤x＜8.答案：C8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，則a5的值為()A．0B．－1C．－2D．解析：因為a1＝1，a2＝12－1＝0，a3＝02－1＝－1，a4＝(－1)2－1＝0，a5＝02－1＝－1.答案：B9．若變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤40，,x＋2y≤50，,x≥0，,y≥0.))則z＝3x＋2y的最大值是()A．90B．80C．70D．40解析：作出可行域如圖所示．由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分別為－2，－eq\f(1,2)，而3x＋2y＝0的斜率為－eq\f(3,2)，故線性目標(biāo)函數(shù)的傾斜角大于2x＋y＝40的傾斜角而小于x＋2y＝50的傾斜角，由圖知，3x＋2y＝z經(jīng)過點A(10，20)時，z有最大值，z的最大值為70.答案：C10．國家為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，實行征收附加稅政策．現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不加附加稅時，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅k元(叫做稅率k%)，則每年的產(chǎn)銷量將減少10k萬瓶．要使每年在此項經(jīng)營中所收取附加稅金不少于112萬元，則k的取值范圍為()A．[2，8]B．(2，8)C．(4，8)D．(1，7)解析：設(shè)產(chǎn)銷售為每年x萬瓶，則銷售收入每年70x萬元，從中征收的稅金為70x·k%萬元，其中x＝100－10k.由題意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.答案：A11．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq\f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為()A．0\f(9,8)C．2\f(9,4)解析：因為x2－3xy＋4y2－z＝0，所以z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z為正實數(shù)，所以eq\f(z,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取“＝”)，即x＝2y(y＞0)，所以x＋2y－z＝2y＋2y－(x2－3xy＋4y2)＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.所以x＋2y－z的最大值為2.答案：C12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosB\f(1,4)\f(3,4)\f(\r(2),4)\f(\r(2),3)解析：因為b2＝ac且c＝2a由余弦定理：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．已知0＜x＜6，則(6－x)·x的最大值是________．解析：因為0＜x＜6，所以6－x＞0，所以(6－x)·x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x＋x,2)))eq\s\up12(2)＝9.答案：914．觀察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規(guī)律，第n個等式可為12－22＋32＋…＋(－1)n＋1n2＝________．解析：分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況．第n個等式為12－22＋32－42＋(－1)n＋1·n2.當(dāng)n為偶數(shù)時，分組求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n－1)＝－eq\f(\f(n,2)·（3＋2n－1）,2)＝－eq\f(n（n＋1）,2).當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個等式＝－eq\f(n（n－1）,2)＋n2＝eq\f(n（n＋1）,2).綜上，第n個等式：12－22＋32－…＋(－1)n＋1n2＝eq\f(（－1）n＋1,2)n(n＋1)．答案：eq\f(（－1）n＋1,2)n(n＋1)15．2010年11月12日廣州亞運會上舉行升旗儀式．如圖所示，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°，且座位A、B的距離為10eq\r(6)米，則旗桿的高度為________米．解析：由題意可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理，得eq\f(AN,sin45°)＝eq\f(10\r(6),sin30°)，解得AN＝20eq\r(3)米，在Rt△AMN中，MN＝20eq\r(3)sin60°＝30米．故旗桿的高度為30米．答案：3016．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(eq\r(3)a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，則∠B的大小為________．解析：由m∥n，所以(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(eq\r(3)a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(eq\r(3)a＋c)，即a2＋c2－b2＝－eq\r(3)ac，再由余弦定理得cosB＝－eq\f(\r(3),2)，所以∠B＝150°.答案：150°三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)某房屋開發(fā)公司用100萬元購得一塊土地，該地可以建造每層1000m2的樓房，樓房的總建筑面積(即各層面積之和)每平方米平均建筑費用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整幢樓房每平方米建筑費用提高5%.已知建筑5層樓房時，每平方米建筑費用為400元，公司打算造一幢高于5層的樓房，為了使該樓房每平方米的平均綜合費用最低(綜合費用是建筑費用與購地費用之和)解：設(shè)該樓建成x層，則整幢樓每平方米的建筑費用為400＋400(x－5)·5%(元)，又每平方米購地費用為eq\f(100×104,1000x)＝eq\f(1000,x)(元)，故每平方米的平均綜合費用y＝eq\f(1000,x)＋400＋400(x－5)·5%＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(50,x)))＋300≥20×2eq\r(x·\f(50,x))＋300＝200eq\r(2)＋300，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(50,x)，x2＝50，x≈7時，y最小，所以大樓應(yīng)建成7層綜合費用最低．18．(本小題滿分12分)一緝私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，距離12nmile的海面上有一走私船正以10nmike/h的速度沿南偏東75°方向逃竄．緝私艇的速度為14nmile/h，若要在最短時間內(nèi)追上該走私船，緝私艇應(yīng)沿北偏45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的時間和α角的正弦值．解：設(shè)A，C分別表示緝私艇，走私船的位置，設(shè)經(jīng)過x小時后在B處追上(如圖所示)．則有AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°，(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，所以x＝2，AB＝28，BC＝20，sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以所需時間為2小時，α角的正弦值為eq\f(5\r(3),14).19．(本小題滿分12分)設(shè)a1＝2，a2＝4，數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋1－an，bn＋1＝2bn＋2.(1)求證：數(shù)列{bn＋2}是等比數(shù)列(要指出首項與公比)；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．(1)證明：由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，所以eq\f(bn＋1＋2,bn＋2)＝2.又因為b1＋2＝a2－a1＋2＝4，所以數(shù)列{bn＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．(2)解：由(1)知bn＋2＝4·2n－1，則bn＝2n＋1－2，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－1－2，…，a3－a2＝23－2，a2－a1＝22－2，疊加得an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，所以an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝eq\f(2（2n－1）,2－1)－2n＋2＝2n＋1－2n.20．(本小題滿分12分)設(shè)f(x)＝eq\f(16x,x2＋8)(x＞0)．(1)求f(x)的最大值；(2)證明：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)＜b2－3b＋eq\f(21,4).(1)解：因為x＞0，所以f(x)＝eq\f(16x,x2＋8)＝eq\f(16,x＋\f(8,x))≤eq\f(16,2\r(x·\f(8,x)))＝eq\f(16,4\r(2))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(8,x)，即x＝2eq\r(2)時，等號成立．所以當(dāng)x＝2eq\r(2)時，f(x)max＝2eq\r(2).(2)證明：令g(b)＝b2－3b＋eq\f(21,4)，b∈R，則g(b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋3，所以當(dāng)b＝eq\f(3,2)時，g(b)min＝3，因為f(x)max＝2eq\r(2)，所以f(x)max＜g(b)min，故對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)＜b2－3b＋eq\f(21,4).21．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，(1)若不等式f(x)＞0的解集為(－1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)＝2，a＞0，b＞0，求eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值．解：(1)因為不等式f(x)＞0的解集為(－1，3)，所以－1和3是方程f(x)＝0的兩實根，從而有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝a－b＋5＝0，,f（3）＝9a＋3（b－2）＋3＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋5＝0，,3a＋b－1＝0，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝4.))(2)由f(1)＝2，a＞0，b＞0得到a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a＋b＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(2,3)))時“＝”成立；所以eq\f(1,a)＋e