高中數(shù)學人教A版第四章圓和方程 第四章單元檢測

第四章單元檢測班級____姓名____考號____分數(shù)____本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．過點A(1,2)，且與兩坐標軸相切的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1答案：A解析：由圖形易知滿足此條件的圓有兩個．2．在空間直角坐標系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，則|AB|等于()A．2B．2eq\r(2)\r(7)D．3答案：D解析：|AB|＝eq\r(1＋4＋4)＝3.3．若圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線2ax－by＋1＝0對稱，則a＋b等于()A．1B．－1\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案：C解析：∵圓心(－1,2)，∴－2a－2b＋1＝0，∴a＋b＝eq\f(1,2).4．兩圓x2＋y2－4x－6y＋12＝0和x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關系是()A．相離B．相交C．內(nèi)切D．外切答案：C5．圓心為A(1，－2)且與直線x－3y＋3＝0相切的圓的方程為()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝eq\r(10)B．(x－1)2＋(y＋2)2＝10C．(x＋1)2＋(y－2)2＝eq\r(10)D．(x＋1)2＋(y－2)2＝10答案：B解析：圓半徑r＝eq\f(|1＋6＋3|,\r(1＋9))＝eq\r(10)，故圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝10.6．兩圓x2＋y2＋4x－4y＝0，x2＋y2＋2x－12＝0相交于A、B兩點，則直線AB的方程為()A．x－2y＋6＝0B．x＋y＝0C．x＋2y－6＝0D．x－y＋1＝0答案：A解析：會求過兩圓交點的直線方程，注意運用簡便方法．兩圓方程相減即為公共弦的方程．7．如圖，正方體OABC—O1A1B1C1中，棱長為2，E是B1B上的點，且|EB|＝2|EB1|，則點EA．(2,2,1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(2,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(1,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(4,3)))答案：D解析：易知B(2,2,0)，B1(2,2,2)，∴E的豎坐標z＝eq\f(2,3)×2＝eq\f(4,3)，∴E的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(4,3))).8．已知圓C1：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，直線l：3x－4y＋m＝0，圓上存在兩點到直線l的距離為1，則m的取值范圍是()A．(－17，－7)B．(3,13)C．(－17，－7)∪(3,13)D．[－17，－7]∪[3,13]答案：C解析：當圓心到直線的距離d滿足r－1<d<r＋1時，圓上存在兩個點到直線的距離為1，即滿足1<eq\f(|2＋m|,5)<3.解得－17<m<－7或3<m<13.9．若直線過點(0,2)，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長等于2，則此直線的斜率等于()A．±eq\f(\r(3),2)B．±eq\f(\r(3),3)C．±eq\r(2)D．±eq\r(3)答案：B解析：當斜率不存在時，過點(0,2)的直線通過圓x2＋y2＝4的圓心，不合題意．當斜率存在時，直線方程為y－2＝kx，即kx－y＋2＝0.由已知，可得圓心到直線的距離為eq\r(3)，eq\f(|2|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，即1＋k2＝eq\f(4,3)，k＝±eq\f(\r(3),3).10．圓C：x2＋y2－2x－6y＋9＝0關于直線x－y－1＝0對稱的曲線方程為()A．x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0B．x2＋y2－6x－2y＋9＝0C．x2＋y2－8x＋15＝0D．x2＋y2－8x－15＝0答案：C解析：圓(x－1)2＋(y－3)2＝1的圓心為(1,3)，r＝1，設圓心關于直線x－y－1＝0的對稱點為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)－\f(y＋3,2)＝1,\f(y－3,x－1)＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝0))，∴對稱點(4,0)即為對稱圓的圓心．又∵圓半徑始終不變，∴圓C關于直線x－y－1＝0的對稱曲線為(x－4)2＋y2＝1，即x2＋y2－8x＋15＝0.11．圓x2＋y2－2x＋4y－4＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關系為()A．相離B．相切C．相交D．以上都有可能答案：C解析：∵圓的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，∴圓心為(1，－2)，半徑r＝3，又圓心在直線2tx－y－2－2t＝0上，∴圓與直線相交，故選C.12．直線y＝－x＋b與曲線y＝eq\r(4－x2)有且只有兩個公共點，則b的取值范圍是()A．1≤b＜2eq\r(2)B．2≤b＜2eq\r(2)C．－1＜b＜1D．－2eq\r(2)＜b≤－2答案：B解析：由圖可知，2≤b＜2eq\r(2).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．設A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，若線段AD是△ABC外接圓的直徑，則點D的坐標為________．答案：(8，－6)解析：線段AB的垂直平分線x＋y－1＝0與線段AC的垂直平分線2x＋y－5＝0的交點為圓心(4，－3)，直徑為10，易得D為(8，－6)．14．如果實數(shù)x，y滿足等式(x－3)2＋y2＝4，那么eq\f(y,x)的最大值是________．答案：eq\f(2\r(5),5)解析：設eq\f(y,x)＝k，y＝kx，(x－3)2＋k2x2＝4，(1＋k2)x2－6x＋5＝0，Δ＝36－20(1＋k2)≥0，－eq\f(2\r(5),5)≤k≤eq\f(2\r(5),5).另可考慮斜率的幾何意義來做．15．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________．答案：(x＋1)2＋y2＝2解析：∵圓心C(－1,0)，半徑為圓心C(－1,0)到直線x＋y＋3＝0的距離，即圓C的半徑r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，∴圓C的方程為：(x＋1)2＋y2＝2.16．已知圓O：x2＋y2＝5和點A(1,2)，則過點A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于________．答案：eq\f(25,4)解析：因為點A(1,2)在圓x2＋y2＝5上，故過點A的圓的切線方程為x＋2y＝5，令x＝0得y＝eq\f(5,2)，令y＝0得x＝5，故S△＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4).三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)過圓x2＋(y－2)2＝4外一點A(2，－2)引圓的兩條切線，切點為T1，T2，求直線T1T2的方程．解：設切點為(x1，y1)，(x2，y2)，則AT1的方程為x1x＋(y1－2)(y－2)＝4，AT2的方程為x2x＋(y2－2)(y－2)＝4，則2x1－4(y1－2)＝4,2x2－4(y2－2)＝4，∴2x－4(y－2)＝4，即x－2y＋2＝0.18．(12分)求過點A(1,6)和B(5,6)且與直線2x－3y＋16＝0相切的圓的方程．解：顯然圓心在線段AB的垂直平分線x＝3上設圓心為(3，b)，半徑為r，則(x－3)2＋(y－b)2＝r2，得(1－3)2＋(6－b)2＝r2，而r＝eq\f(|6－3b＋16|,\r(13))，∴b＝3，r＝eq\r(13)∴(x－3)2＋(y－3)2＝13.19．(12分)已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圓C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.(1)求圓C1與圓C2的公共弦所在的直線的方程；(2)求它們的公共弦長．解：(1)x2＋y2－10x－10y＝0，①；x2＋y2＋6x－2y－40＝0，②；②－①得：2x＋y－5＝0為公共弦所在直線的方程；(2)弦長的一半為eq\r(50－20)＝eq\r(30)，公共弦長為2eq\r(30).20．(12分)已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4與直線l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8，當直線l被圓C截得的弦長最短時，求m解：因為直線l可化為(2x＋y－8)＋m(x＋2y－7)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－8＝0，,x＋2y－7＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))即直線l恒過定點P(3,2)．所以|PC|＝eq\r(2)<2＝r，所以P(3,2)在圓C內(nèi)部．因為當且僅當圓心(2,3)到直線l的距離最大，即直線PC與l垂直時，截得的弦長最短，所以kPC·kl＝－1，所以eq\f(－m＋2,2m＋1)×(－1)＝－1，所以m＝－1.21．(12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程；(2)從圓C外一點P(x1，y1)向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標．解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，圓心為(－1,2)，半徑為eq\r(2).當切線過原點時，設切線方程為y＝kx，則eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2).所以k＝2±eq\r(6)，即切線方程為y＝(2±eq\r(6))x.當切線不過原點時，設切線方程為x＋y＝a，則eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2).所以a＝－1或a＝3，即切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.所以切線方程為y＝(2＋eq\r(6))x或y＝(2－eq\r(6))x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)設P(x1，y1)．因為|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x21＋y21＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．當直線PO垂直于直線2x－4y＋3＝0時，即直線PO的方程為2x＋y＝0時，|PM|最小，此時P點即為兩直線的交點，得P點坐標(－eq\f(3,10)，eq\f(3,5))．22．(12分)如圖，已知圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及點Q(－2,3)．(1)若點P(m，m＋1)在圓C上，求直線PQ的斜率以及直線PQ與圓C的相交弦PE的長度；(2)若M(x，y)是圓上任意一點，求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值．解：(1)∵點P(m，m＋1)在圓C上，代入圓C的方程，解得m＝4，∴P(4,5)故直線PQ的斜率k＝eq\f(5－3,4－－2)＝eq\f(1,3).因此直線PQ的方程為y－5＝eq\f(1,3)(x－4)．即x－3y＋11＝0，而圓心(2,7)到直線的距離d＝eq\f(|2－3×7＋11|,\r(10))＝eq\f(8,\r(10))＝eq\f(4\r(10),5)，所以PE＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(8－\f(32,5))＝eq\f(2\r(40),5)＝eq\f(4\r(10)