橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

第一課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)莘縣實(shí)驗(yàn)高中復(fù)習(xí)請(qǐng)回答:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)和離心率；2.掌握、b、c、e間的關(guān)系；3.了解解析幾何“用代數(shù)的方法研究曲線(xiàn)性質(zhì)”這一基本思想方法.1.范圍

思考1:觀察圖形，指出橢圓位于什么樣的范圍內(nèi).（用數(shù)學(xué)式子表示此范圍）思考2:請(qǐng)利用標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)你的結(jié)論.

由，得：≥0，≤1，解得：同理可得：所以結(jié)論：橢圓圍成的矩形框內(nèi).位于直線(xiàn)練習(xí)1：填空說(shuō)明橢圓位于

的矩形框里.(1)橢圓中,x的范圍是

.y的范圍是

.(2)橢圓4x2+25y2=100位于

的矩形框里.2.對(duì)稱(chēng)性

思考3:觀察動(dòng)畫(huà)，說(shuō)出橢圓具有怎樣的對(duì)稱(chēng)性.結(jié)論：

在標(biāo)準(zhǔn)方程下，橢圓關(guān)于x軸、y軸都是對(duì)稱(chēng)的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，橢圓的對(duì)稱(chēng)中心又叫做橢圓的中心.結(jié)論：

在標(biāo)準(zhǔn)方程下，橢圓關(guān)于x軸、y軸都是對(duì)稱(chēng)的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，橢圓的對(duì)稱(chēng)中心又叫做橢圓的中心.思考4:怎樣由橢圓的方程證明這種對(duì)稱(chēng)性？

在橢圓中以-y代y,方程不改變,說(shuō)明P(x,y)在橢圓上時(shí),同理,以-x代x,方程不改變,所以橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);以-x代x,以-y代y,方程也不改變,橢圓關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1(x,-y),也在橢圓上,所以橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

思考5:利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

3.頂點(diǎn)

分析:在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中

令x=0,得y2=b2,所以y=±b,所以B1(0,-b),B2(0,b).橢圓與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn).線(xiàn)段A1A2叫做橢圓的長(zhǎng)軸,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2;線(xiàn)段B1B2叫做橢圓的短軸,短軸長(zhǎng)為2b.

、b分別叫做叫橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).令y=0,得x2=

2,所以x=±

,所以A1(-

,0),A2(,0).練習(xí)2：求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和頂點(diǎn)坐標(biāo).頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(-4，0)，A2(4，0)，

B1(0，-2)，B2(0，2)答案：長(zhǎng)軸長(zhǎng)2

=8，短軸長(zhǎng)2b=4.4.離心率

思考6:

觀察動(dòng)畫(huà)，指出e變化時(shí)橢圓的扁平程度.

我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱(chēng)為橢圓的離心率.用e表示.因?yàn)?/p>

>c>o,所以0<e<1.e→1時(shí),c→

,→0.橢圓變扁.e→0時(shí),c→0,→

.橢圓接近圓.e=0時(shí),c=0,b=

.橢圓變?yōu)閳A.即

思考7:能不能刻畫(huà)橢圓的扁平程度.

大小扁圓圓扁所以都能刻畫(huà)橢圓的扁平程度.b不變,c變大時(shí),變

.橢圓變

.b不變,c變小時(shí),變

.橢圓接近

.

不變，b變大時(shí)，橢圓變

.

不變，b變小時(shí)，橢圓變

.

思考8:能不能運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解釋,為什么離心率越大橢圓越扁；離心率越小橢圓越圓.e越大，sinθ越大，

θ越大，橢圓越扁.e越小，sinθ越小，θ越小，橢圓越圓.練習(xí)3：求橢圓的離心率e1,和橢圓的離心率e2,并判定哪個(gè)更接近圓.分析：更接近圓.例：求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).離心率,焦點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)頂點(diǎn)A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4),B2(0,4)答案：長(zhǎng)軸長(zhǎng)2

=10,短軸長(zhǎng)2b=8,方程圖形范圍對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)離心率關(guān)于X,y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于X,y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)小結(jié)“用代數(shù)的方法研究曲線(xiàn)的性質(zhì)”是解析幾何的基本思想方法.范圍頂點(diǎn)離心率對(duì)稱(chēng)性已知橢圓達(dá)標(biāo)練習(xí)：(1)討論它的范圍,并畫(huà)出草圖;(2)求它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng),離心率,焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).答案：(1)橢圓位于直線(xiàn)x=±5,y=±3圍成的矩形框內(nèi).頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(-5，0)，A2(5，0)，

B1(0，-3)，B2(0