橢圓的簡單幾何性質(zhì)

第一課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)莘縣實驗高中復(fù)習(xí)請回答:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率；2.掌握、b、c、e間的關(guān)系；3.了解解析幾何“用代數(shù)的方法研究曲線性質(zhì)”這一基本思想方法.1.范圍

思考1:觀察圖形，指出橢圓位于什么樣的范圍內(nèi).（用數(shù)學(xué)式子表示此范圍）思考2:請利用標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)你的結(jié)論.

由，得：≥0，≤1，解得：同理可得：所以結(jié)論：橢圓圍成的矩形框內(nèi).位于直線練習(xí)1：填空說明橢圓位于

的矩形框里.(1)橢圓中,x的范圍是

.y的范圍是

.(2)橢圓4x2+25y2=100位于

的矩形框里.2.對稱性

思考3:觀察動畫，說出橢圓具有怎樣的對稱性.結(jié)論：

在標(biāo)準(zhǔn)方程下，橢圓關(guān)于x軸、y軸都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心.結(jié)論：

在標(biāo)準(zhǔn)方程下，橢圓關(guān)于x軸、y軸都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心.思考4:怎樣由橢圓的方程證明這種對稱性？

在橢圓中以-y代y,方程不改變,說明P(x,y)在橢圓上時,同理,以-x代x,方程不改變,所以橢圓關(guān)于y軸對稱;以-x代x,以-y代y,方程也不改變,橢圓關(guān)于原點中心對稱.它關(guān)于x軸的對稱點P1(x,-y),也在橢圓上,所以橢圓關(guān)于x軸對稱.

思考5:利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo).

3.頂點

分析:在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中

令x=0,得y2=b2,所以y=±b,所以B1(0,-b),B2(0,b).橢圓與對稱軸的交點叫橢圓的頂點.線段A1A2叫做橢圓的長軸,長軸長為2;線段B1B2叫做橢圓的短軸,短軸長為2b.

、b分別叫做叫橢圓的長半軸長和短半軸長.令y=0,得x2=

2,所以x=±

,所以A1(-

,0),A2(,0).練習(xí)2：求橢圓的長軸長、短軸長和頂點坐標(biāo).頂點坐標(biāo)：A1(-4，0)，A2(4，0)，

B1(0，-2)，B2(0，2)答案：長軸長2

=8，短軸長2b=4.4.離心率

思考6:

觀察動畫，指出e變化時橢圓的扁平程度.

我們把橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示.因為

>c>o,所以0<e<1.e→1時,c→

,→0.橢圓變扁.e→0時,c→0,→

.橢圓接近圓.e=0時,c=0,b=

.橢圓變?yōu)閳A.即

思考7:能不能刻畫橢圓的扁平程度.

大小扁圓圓扁所以都能刻畫橢圓的扁平程度.b不變,c變大時,變

.橢圓變

.b不變,c變小時,變

.橢圓接近

.

不變，b變大時，橢圓變

.

不變，b變小時，橢圓變

.

思考8:能不能運用三角函數(shù)的知識解釋,為什么離心率越大橢圓越扁；離心率越小橢圓越圓.e越大，sinθ越大，

θ越大，橢圓越扁.e越小，sinθ越小，θ越小，橢圓越圓.練習(xí)3：求橢圓的離心率e1,和橢圓的離心率e2,并判定哪個更接近圓.分析：更接近圓.例：求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo).離心率,焦點F1(-3,0),F2(3,0)頂點A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4),B2(0,4)答案：長軸長2

=10,短軸長2b=8,方程圖形范圍對稱性頂點離心率關(guān)于X,y軸、坐標(biāo)原點對稱關(guān)于X,y軸、坐標(biāo)原點對稱小結(jié)“用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)”是解析幾何的基本思想方法.范圍頂點離心率對稱性已知橢圓達(dá)標(biāo)練習(xí)：(1)討論它的范圍,并畫出草圖;(2)求它的長軸長和短軸長,離心率,焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo).答案：(1)橢圓位于直線x=±5,y=±3圍成的矩形框內(nèi).頂點坐標(biāo)：A1(-5，0)，A2(5，0)，

B1(0，-3)，B2(0