安徽省A10聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．3．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．04．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年，小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì)，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”，為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰(shuí)制作的，村支書(shū)對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話，得到回復(fù)如下：小明說(shuō)：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說(shuō)：“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說(shuō)：“興國(guó)之路”不是我制作的，若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明5．若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（）A．1 B．0 C． D．6．若的內(nèi)角滿足，則的值為（）A． B． C． D．7．如圖，在中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．8．設(shè)集合，則()A． B．C． D．9．某地區(qū)高考改革，實(shí)行“3+2+1”模式，即“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)必考科目，“1”指在物理、歷史兩門(mén)科目中必選一門(mén)，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門(mén)以外的歷史或物理這五門(mén)學(xué)科中任意選擇兩門(mén)學(xué)科，則一名學(xué)生的不同選科組合有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）A． B．C． D．11．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)且交的左支于兩點(diǎn)，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．12．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓Г的上頂點(diǎn)，延長(zhǎng)AF2交橢圓Г于點(diǎn)B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為_(kāi)__________.14．在中，，，，則__________．15．在疫情防控過(guò)程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下，第15天開(kāi)始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開(kāi)始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_(kāi)______________，第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.16．某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離.18．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，是的一個(gè)極值點(diǎn)，且.（1）討論的單調(diào)性（2）求實(shí)數(shù)和a的值（3）證明19．（12分）已知.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解不等式；（Ⅱ）若的最小值為1，求的最小值.20．（12分）某單位準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)三臺(tái)設(shè)備，型號(hào)分別為已知這三臺(tái)設(shè)備均使用同一種易耗品，提供設(shè)備的商家規(guī)定：可以在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)該易耗品，每件易耗品的價(jià)格為100元，也可以在設(shè)備使用過(guò)程中，隨時(shí)單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)易耗品，每件易耗品的價(jià)格為200元.為了決策在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號(hào)的設(shè)備各60臺(tái)，調(diào)査每臺(tái)設(shè)備在一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計(jì)表如下所示.每臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)678型號(hào)A30300頻數(shù)型號(hào)B203010型號(hào)C04515將調(diào)查的每種型號(hào)的設(shè)備的頻率視為概率，各臺(tái)設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立.（1）求該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過(guò)21件的概率；（2）以該單位一個(gè)月購(gòu)買(mǎi)易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)20件還是21件易耗品？21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.22．（10分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

畫(huà)出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長(zhǎng)度比，進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫(xiě)出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，最后代入坐標(biāo)，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設(shè)與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設(shè)，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點(diǎn)睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯(cuò)的綜合題.2、C【解析】

求出集合的等價(jià)條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬1步回到起點(diǎn)，周期為1．計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，即可計(jì)算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過(guò)1段后又回到起點(diǎn)，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn)；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn)，所以它們此時(shí)的距離為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.4、B【解析】

將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來(lái)，再一一論證.【詳解】依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說(shuō)法正確，則均不滿足；若小紅的說(shuō)法正確，則4滿足；若小金的說(shuō)法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

由，得到，得出，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內(nèi)角，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，著重考查了推理與計(jì)算能力.7、D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運(yùn)算，這樣做目標(biāo)明確，易于操作．8、B【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

分兩類進(jìn)行討論：物理和歷史只選一門(mén)；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門(mén)，則有種組合；若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有種組合；因此共有種組合.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，熟記其計(jì)數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.10、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，，又由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，，有，又由在上單調(diào)遞增，則有，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

由雙曲線的對(duì)稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由雙曲線的對(duì)稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，恒成立，排除，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，，排除，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)，由題可得的長(zhǎng)，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設(shè)∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔題.14、1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、161【解析】

由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，由此可求結(jié)果．【詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人．第15天開(kāi)始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且從第16天開(kāi)始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，從第15天開(kāi)始，每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則第19天治愈出院患者的人數(shù)為，，解得，第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案為：16，1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16、【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過(guò)三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長(zhǎng)為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系，通過(guò)求向量與向量的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大??；（2）先求出面的一個(gè)法向量，再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建系，設(shè)所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因?yàn)?，，設(shè)是面的一個(gè)法向量，所以有即，令，，故，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點(diǎn)到面的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．18、（1）在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，再次求導(dǎo)，可得在區(qū)間上恒成立，從而可得結(jié)論；（2）由，可得，由可得，聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（3）由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項(xiàng)相消法，結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，則有，由，可得，可知當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：1-0+極小值，即，可得在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，由已知得，即，①由可得，，②?lián)立①②，消去a，可得，③令，則，由（1）知，，故，在區(qū)間單調(diào)遞增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，；（3）證明：由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，，即，亦即，這時(shí)，故可得，取，可得，而，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè)，一是比較簡(jiǎn)單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，作出的圖像，結(jié)合圖像即可求解；（Ⅱ）結(jié)合絕對(duì)值三角不等式可得，再由“1”的妙用可拼湊為，結(jié)合基本不等式即可求解；【詳解】（Ⅰ）令，作出它們的大致圖像如下：由或（舍），得點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，由對(duì)稱性知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2，因此不等式的解集為.（Ⅱ）..取等號(hào)的條件為，即，聯(lián)立得因此的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式、基本不等式，屬于中檔題20、（1）（2）應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)21件易耗品【解析】

（1）由統(tǒng)計(jì)表中數(shù)據(jù)可得型號(hào)分別為在一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時(shí)的概率,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨(dú)立事件概率公式進(jìn)而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對(duì)應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)20件易耗品和21件易耗品時(shí)總費(fèi)用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設(shè)該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過(guò)21件的概率為.（2）以題意知