高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量 微課

第二章同步測(cè)試題班別：姓名：成績(jī)：一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，其中有且僅有一個(gè)是正確的．)1．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，k)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值是()A．k＝3 B．k＝－3C．k＝eq\f(1,3) D．k＝－eq\f(1,3)2．若平面向量b與向量a＝(－1,2)的夾角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，則b等于()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)3．正方形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，則a－b＋c表示的向量等于()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\o(DB,\s\up6(→))C．eq\o(DA,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))4．已知|a|＝2eq\r(2)，|b|＝3，a、b的夾角為eq\f(π,4)，如圖所示，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝5a＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－3b，且D為BC中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up6(→))的長(zhǎng)度為()A．eq\f(15,2) B．eq\f(\r(15),2)C．7 D．85．已知三點(diǎn)A(1,1)、B(－1,0)、C(3，－1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－2 B．6C．2 D．36．下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))7．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，則()A．A、B、D三點(diǎn)共線 B．A、B、C三點(diǎn)共線C．B、C、D三點(diǎn)共線 D．A、C、D三點(diǎn)共線8．設(shè)向量a＝(sin15°，cos15°)，b＝(cos15°，sin15°)，則向量a＋b與a－b的夾角為()A．90° B．60°C．45° D．30°9．已知a＝(1,2)、b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()A．(eq\f(7,9)，eq\f(7,3)) B．(－eq\f(7,3)，－eq\f(7,9))C．(eq\f(7,3)，eq\f(7,9)) D．(－eq\f(7,9)，－eq\f(7,3))10．給定兩個(gè)向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)且(a＋xb)⊥(a－b)，則x等于()A．23 B．eq\f(23,2)C．eq\f(23,3) D．eq\f(23,4)11．若|a|＝|b|＝2，|a＋b|＝eq\r(7)，則a與b的夾角θ的余弦值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．以上都不對(duì)12．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,2)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,1)，在x軸上的一點(diǎn)P，使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))為最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(3,0) B．(－3,0)C．(2,0) D．(4,0)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知向量a＝(1，－eq\r(3))，則與a反向的單位向量是________．14．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,3)，且eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))等于________．15．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝________.16．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)(2023·山東曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)高一模塊測(cè)試)已知|a|＝1，|b|＝2，(2a＋3b)·(b－2(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|.18．(本小題滿分12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)、e2＝(0,1)，求：(1)a·b、|a＋b|；(2)a與b的夾角的余弦值．19．(本小題滿分12分)已知A(－1,0)、B(0,2)、C(－3,1)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝5，eq\o(AD,\s\up6(→))2＝10.(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AC,\s\up6(→)).20．(本小題滿分12分)已知點(diǎn)A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ，cosθ)，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求tanθ的值．21．(本小題滿分12分)已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，試用a、b表示c.22．(本小題滿分14分)已知平面上三個(gè)向量a、b、c，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.參考答案1．C2．B3．C4．A5．A6．B7．A8．A9．D.10．C11．D12．A13．(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))14．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)，－\f(2,7)))15．－216．eq\r(10)17．(1)∵(2a＋3b)·(b－2a)＝－4a·b－4a＝－4×1×2×cosθ－4×1＋3×4＝－8cosθ＋8＝12，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)由(1)知a·b＝|a|·|b|coseq\f(2π,3)＝1×2×(－eq\f(1,2))＝－1.∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2∴|a＋b|＝eq\r(3).18．(1)因?yàn)閑1＝(1,0)、e2＝(0,1)所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，b＝4e1＋e2＝(4,1)，a·b＝10，a＋b＝(7，－1)，|a＋b|＝5eq\r(2).(2)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(10,\r(13)·\r(17))＝eq\f(10\r(221),221)19．(1)設(shè)D(x，y)，，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝x＋1＋2y＝5， ①eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1)2＋y2＝10. ②聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝3))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1)).∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,3)或(2,1)．(2)當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,3)時(shí)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,1)．設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，則(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝m－n,1＝2m＋3m))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝1)).∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，設(shè)AC＝peq\o(AB,\s\up6(→))＋qeq\o(AD,\s\up6(→))，則(－2,1)＝p(1,2)＋q(3,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝p＋3q,1＝2p＋q))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝1,q＝－1)).∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).所以，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,3)時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).20．∵A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ，cosθ)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2sinθ－1，cosθ)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2sinθ，cosθ－1)，又∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2，∴(2sinθ－1)2＋cos2θ＝(2sinθ)2＋(cosθ－1)2，化簡(jiǎn)，得2sinθ＝cosθ.若cosθ＝0，則sinθ＝±1，則上式不成立．∴cosθ≠0，即tanθ＝eq\f(1,2).21．∵∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°.設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))＝x\o(OA,\s\up6(→))＋y\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),\o(OC,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))＝x\o(OA,\s\up6(→))＋y\o(OB,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|\o(OC,\s\up6(→))|2＝x|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC＋y|\o(OB,\s\up6(→))||\o(OC,\s\up6(→))|cos∠BOC,|\o(OC,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|cos∠BOC＝x|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＋y|\o(OB,\s\up6(→))|2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9＝x×2×3×cos120°＋y×1×3×cos90°,3×1×cos90°＝x×2×1×cos150°＋y×12)).，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＝9,－\r(3)x＋y＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－3\r(3))).∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝－3eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\r(3)eq\o(OB,\s\up6(→