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極坐標(biāo)系1.2.1平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)1.2.2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系1.了解極坐標(biāo)系的意義,能用極坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置.(難點(diǎn))2.了解極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的聯(lián)系,能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.(重點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]1.平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系:在平面上取一個定點(diǎn)O,由O點(diǎn)出發(fā)的一條射線Ox,一個長度單位及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時針方向),合稱為一個極坐標(biāo)系,O點(diǎn)稱為極點(diǎn),Ox稱為極軸.(2)極坐標(biāo):平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫.這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ,θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).ρ稱為極徑,θ稱為極角.2.點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系(ρ,θ)和(ρ,θ+2kπ)代表同一個點(diǎn),其中k為整數(shù).特別地,極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,θ)(θ∈R).如果限定ρ≥0,0≤θ<2π,則除極點(diǎn)外,平面上的點(diǎn)就與它的極坐標(biāo)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系.3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系(1)互化背景:設(shè)在平面上取定了一個極坐標(biāo)系,以極軸作為直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸,以θ=eq\f(π,2)的射線作為y軸的正半軸,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),長度單位不變,建立一個直角坐標(biāo)系(如圖1-2-1所示).圖1-2-1(2)互化公式:設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x,y)極坐標(biāo)(ρ,θ)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=ρcosθ,y=ρsinθ))ρ2=x2+y2tanθ=eq\f(y,x)(x≠0)[思考·探究]1.極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)系?【導(dǎo)學(xué)號:62790002】【提示】極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系,用來刻畫平面內(nèi)點(diǎn)的位置.2.極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的點(diǎn)與極坐標(biāo)是否能建立一一對應(yīng)關(guān)系?【提示】建立極坐標(biāo)系后,給定數(shù)對(ρ,θ),就可以在平面內(nèi)惟一確定一點(diǎn)M;反過來,給定平面內(nèi)一點(diǎn)M,它的極坐標(biāo)卻不是惟一的.所以極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的點(diǎn)與極坐標(biāo)不能建立一一對應(yīng)關(guān)系.3.聯(lián)系點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶是什么?【提示】任意角的三角函數(shù)的定義及其基本關(guān)系式是聯(lián)系點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶.事實(shí)上,若ρ>0,則sinθ=eq\f(y,ρ),cosθ=eq\f(x,ρ),所以x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=eq\f(y,x).[自主·測評]1.極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為()A.(1,0) B.(-1,π)C.(1,π) D.(1,2π)【解析】∵(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(p,π+θ),∴M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(1,π).【答案】C2.極坐標(biāo)系中,到極點(diǎn)的距離等于到極軸的距離的點(diǎn)可以是()A.(1,0) B.(2,eq\f(π,4))C.(3,eq\f(π,2)) D.(4,π)【答案】C3.點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,eq\f(7π,6)),則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為()A.(-1,-eq\r(3)) B.(-eq\r(3),1)C.(-eq\r(3),-1) D.(eq\r(3),-1)【解析】x=ρcosθ=2coseq\f(7,6)π=-eq\r(3),y=ρsinθ=2sineq\f(7,6)π=-1.【答案】C4.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,eq\f(π,2)),則點(diǎn)M的極坐標(biāo)可以為()A.(eq\f(π,2),0) B.(0,eq\f(π,2))C.(eq\f(π,2),eq\f(π,2)) D.(eq\f(π,2),-eq\f(π,2))【解析】∵ρ=eq\r(x2+y2)=eq\f(π,2),且θ=eq\f(π,2),∴M的極坐標(biāo)為(eq\f(π,2),eq\f(π,2)).【答案】C[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:解惑:疑問2:解惑:疑問3:解惑:類型一確定極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)A(2,eq\f(π,3)),直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線,分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸,直線l,極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ>0,-π<θ≤π).【精彩點(diǎn)撥】欲寫出點(diǎn)的極坐標(biāo),首先應(yīng)確定ρ和θ的值.【嘗試解答】如圖所示,關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)為B(2,-eq\f(π,3)).關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C(2,eq\f(2,3)π).關(guān)于極點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為D(2,-eq\f(2,3)π).四個點(diǎn)A,B,C,D都在以極點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上.1.點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的,但若限制ρ>0,0≤θ<2π,則除極點(diǎn)外,點(diǎn)的極坐標(biāo)是惟一確定的.2.寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序:極徑ρ在前,極角θ在后.[再練一題]1.在極坐標(biāo)系中,B(3,eq\f(π,4)),D(3,eq\f(7,4)π),試判斷點(diǎn)B,D的位置是否具有對稱性,并求出B,D關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).【解】由B(3,eq\f(π,4)),D(3,eq\f(7π,4)),知|OB|=|OD|=3,極角eq\f(π,4)與eq\f(7π,4)的終邊關(guān)于極軸對稱.所以點(diǎn)B,D關(guān)于極軸對稱.設(shè)點(diǎn)B(3,eq\f(π,4)),D(3,eq\f(7π,4))關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為E(ρ1,θ1),F(xiàn)(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.當(dāng)θ∈[0,2π)時,θ1=eq\f(5π,4),θ2=eq\f(3π,4),∴E(3,eq\f(5π,4)),F(xiàn)(3,eq\f(3π,4))為所求.類型二將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)寫出下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo),并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限.(1)(2,eq\f(4π,3));(2)(2,-eq\f(2,3)π);(3)(2,-eq\f(π,3)).【精彩點(diǎn)撥】點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ)→eq\o(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=ρcosθ,y=ρsinθ)))→點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)→判定點(diǎn)所在象限.【嘗試解答】(1)由題意知x=2coseq\f(4π,3)=2×(-eq\f(1,2))=-1,y=2sineq\f(4π,3)=2×(-eq\f(\r(3),2))=-eq\r(3).∴點(diǎn)(2,eq\f(4π,3))的直角坐標(biāo)為(-1,-eq\r(3)),是第三象限內(nèi)的點(diǎn).(2)x=2cos(-eq\f(2,3)π)=-1,y=2sin(-eq\f(2,3)π)=-eq\r(3),∴點(diǎn)(2,-eq\f(2,3)π)的直角坐標(biāo)為(-1,-eq\r(3)),是第三象限內(nèi)的點(diǎn).(3)x=2cos(-eq\f(π,3))=1,y=2sin(-eq\f(π,3))=-eq\r(3),∴點(diǎn)(2,-eq\f(π,3))的直角坐標(biāo)為(1,-eq\r(3)),是第四象限內(nèi)的點(diǎn).1.點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個前提條件:①極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;②極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;③兩種坐標(biāo)系的長度單位相同.2.將點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)時,運(yùn)用到求角θ的正弦值和余弦值,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值,靈活運(yùn)用三角恒等變換公式是關(guān)鍵.[再練一題]2.分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo):(1)(2,eq\f(π,6));(2)(3,eq\f(π,2));(3)(π,π).【解】(1)∵x=ρcosθ=2coseq\f(π,6)=eq\r(3),y=ρsinθ=2sineq\f(π,6)=1.∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(2,eq\f(π,6))化為直角坐標(biāo)為(eq\r(3),1).(2)∵x=ρcosθ=3coseq\f(π,2)=0,y=ρsinθ=3sineq\f(π,2)=3.∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(3,eq\f(π,2))化為直角坐標(biāo)為(0,3).(3)∵x=ρcosθ=πcosπ=-π,y=ρsinθ=πsinπ=0,∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(π,π)化為直角坐標(biāo)為(-π,0).類型三將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)分別把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π).(1)(-2,2eq\r(3));(2)(eq\r(6),-eq\r(2)).【精彩點(diǎn)撥】利用公式ρ2=x2+y2,tanθ=eq\f(y,x)(x≠0),但求角θ時,要注意點(diǎn)所在的象限.【嘗試解答】(1)∵ρ=eq\r(x2+y2)=eq\r(-22+2\r(3)2)=4,tanθ=eq\f(y,x)=-eq\r(3),θ∈[0,2π),由于點(diǎn)(-2,2eq\r(3))在第二象限.∴θ=eq\f(2π,3).∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(-2,2eq\r(3))化為極坐標(biāo)(4,eq\f(2,3)π).(2)∵ρ=eq\r(x2+y2)=eq\r(\r(6)2+-\r(2)2)=2eq\r(2),tanθ=eq\f(y,x)=-eq\f(\r(3),3),θ∈[0,2π),由于點(diǎn)(eq\r(6),-eq\r(2))在第四象限,所以θ=eq\f(11π,6).∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(eq\r(6),-eq\r(2))化為極坐標(biāo)為(2eq\r(2),eq\f(11π,6)).1.將直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ),主要利用公式ρ2=x2+y2,tanθ=eq\f(y,x)(x≠0)求解.2.在[0,2π)范圍內(nèi),由tanθ=eq\f(y,x)(x≠0)求θ時,要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號特征判斷出點(diǎn)所在的象限.如果允許θ∈R,再根據(jù)終邊相同的角的意義,表示為θ+2kπ(k∈Z)即可.[再練一題]3.(1)“例3”中,如果限定ρ>0,θ∈R,分別求各點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)如果點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)滿足xy<0,那么在限定ρ>0,θ∈R的情況下轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的極坐標(biāo)時,試探究θ的取值范圍.【解】(1)根據(jù)與角α終邊相同的角為α+2kπ(k∈Z)知,點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ>0,θ∈k)分別如下:(-2,2eq\r(3))的極坐標(biāo)為(4,eq\f(2π,3)+2kπ)(k∈Z).(eq\r(6),-eq\r(2))的極坐標(biāo)為(2eq\r(2),eq\f(11,6)π+2kπ)(k∈Z).(2)由xy<0得x<0,y>0或x>0,y<0.所以(x,y)可能在第二象限或第四象限.把直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ),ρ>0,θ∈R時,θ的取值范圍為(eq\f(π,2)+2kπ,π+2kπ)∪(eq\f(3π,2)+2kπ,2π+2kπ)(k∈Z).類型四極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用在極坐標(biāo)系中,如果A(2,eq\f(π,4)),B(2,eq\f(5π,4))為等邊三角形ABC的兩個頂點(diǎn),求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π).【精彩點(diǎn)撥】解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點(diǎn)C的直角坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)C的極坐標(biāo).【嘗試解答】對于點(diǎn)A(2,eq\f(π,4))有ρ=2,θ=eq\f(π,4),∴x=2coseq\f(π,4)=eq\r(2),y=2sineq\f(π,4)=eq\r(2),則A(eq\r(2),eq\r(2)).對于B(2,eq\f(5,4)π)有ρ=2,θ=eq\f(5,4)π,∴x=2coseq\f(5,4)π=-eq\r(2),y=2sineq\f(5,4)π=-eq\r(2).∴B(-eq\r(2),-eq\r(2)).設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由于△ABC為等邊三角形,故|AB|=|BC|=|AC|=4.∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-\r(2)2+y-\r(2)2=16,,x+\r(2)2+y+\r(2)2=16.))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\r(6),,y=-\r(6),))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-\r(6),,y=\r(6).))∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(6),-eq\r(6))或(-eq\r(6),eq\r(6)).∴ρ=eq\r(6+6)=2eq\r(3),tanθ=eq\f(-\r(6),\r(6))=-1,∴θ=eq\f(7,4)π或θ=eq\f(3,4)π.故點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2eq\r(3),eq\f(7,4)π)或(2eq\r(3),eq\f(3,4)π).1.本例綜合考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì).結(jié)合幾何圖形可知,點(diǎn)C的坐標(biāo)有兩解,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵.2.若設(shè)出C(ρ,θ),利用余弦定理亦可求解,請讀者完成.[再練一題]4.本例中,如果點(diǎn)的極坐標(biāo)仍為A(2,eq\f(π,4)),B(2,eq\f(5π,4)),且△ABC為等腰直角三角形,如何求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號:62790003】【解】對于點(diǎn)A(2,eq\f(π,4)),直角坐標(biāo)為(eq\r(2),eq\r(2)),點(diǎn)B(2,eq\f(5π,4))的直角坐標(biāo)為(-eq\r(2),-eq\r(2)),設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(x,y),由題意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,∴eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))=0,即(x-eq\r(2),y-eq\r(2))·(x+eq\r(2),y+eq\r(2))=0,∴x2+y2=4. ①又|Aeq\o(C,\s\up13(→))|2=|Beq\o(C,\s\up13(→))|2,于是(x-eq\r(2))2+(y-eq\r(2))2=(x+eq\r(2))2+(y+eq\r(2))2,∴y=-x代入①,得x2=2,解得x=±eq\r(2).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\r(2),,y=-\r(2),))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-\r(2),,y=\r(2),))∴點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(eq\r(2),-eq\r(2))或(-eq\r(2),eq\r(2)),∴ρ=eq\
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