高中數(shù)學(xué)人教B版4第一章坐標系極坐標系 第1章極坐標系

極坐標系1.2.1平面上點的極坐標1.2.2極坐標與直角坐標的關(guān)系1.了解極坐標系的意義，能用極坐標系刻畫點的位置.(難點)2.了解極坐標系與直角坐標系的聯(lián)系，能進行極坐標與直角坐標的互化.(重點)[基礎(chǔ)·初探]1.平面上點的極坐標(1)極坐標系：在平面上取一個定點O，由O點出發(fā)的一條射線Ox，一個長度單位及計算角度的正方向(通常取逆時針方向)，合稱為一個極坐標系，O點稱為極點，Ox稱為極軸.(2)極坐標：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫.這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標.ρ稱為極徑，θ稱為極角.2.點與極坐標的關(guān)系(ρ，θ)和(ρ，θ＋2kπ)代表同一個點，其中k為整數(shù).特別地，極點O的坐標為(0，θ)(θ∈R).如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，則除極點外，平面上的點就與它的極坐標構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系.3.極坐標與直角坐標的關(guān)系(1)互化背景：設(shè)在平面上取定了一個極坐標系，以極軸作為直角坐標系的x軸的正半軸，以θ＝eq\f(π,2)的射線作為y軸的正半軸，以極點為坐標原點，長度單位不變，建立一個直角坐標系(如圖1-2-1所示).圖1-2-1(2)互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，于是極坐標與直角坐標的互化公式如表：點M直角坐標(x，y)極坐標(ρ，θ)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))ρ2＝x2＋y2tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)[思考·探究]1.極坐標系與平面直角坐標系有什么區(qū)別和聯(lián)系？【導(dǎo)學(xué)號：62790002】【提示】極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景，而直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系，用來刻畫平面內(nèi)點的位置.2.極坐標系所在平面內(nèi)的點與極坐標是否能建立一一對應(yīng)關(guān)系？【提示】建立極坐標系后，給定數(shù)對(ρ，θ)，就可以在平面內(nèi)惟一確定一點M；反過來，給定平面內(nèi)一點M，它的極坐標卻不是惟一的.所以極坐標系所在平面內(nèi)的點與極坐標不能建立一一對應(yīng)關(guān)系.3.聯(lián)系點的極坐標與直角坐標的互化公式的紐帶是什么？【提示】任意角的三角函數(shù)的定義及其基本關(guān)系式是聯(lián)系點的極坐標與直角坐標的互化公式的紐帶.事實上，若ρ>0，則sinθ＝eq\f(y,ρ)，cosθ＝eq\f(x,ρ)，所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x).[自主·測評]1.極坐標系中，點M(1,0)關(guān)于極點的對稱點為()A.(1,0) B.(－1，π)C.(1，π) D.(1,2π)【解析】∵(ρ，θ)關(guān)于極點的對稱點為(p，π＋θ)，∴M(1,0)關(guān)于極點的對稱點為(1，π).【答案】C2.極坐標系中，到極點的距離等于到極軸的距離的點可以是()A.(1,0) B.(2，eq\f(π,4))C.(3，eq\f(π,2)) D.(4，π)【答案】C3.點A的極坐標是(2，eq\f(7π,6))，則點A的直角坐標為()A.(－1，－eq\r(3)) B.(－eq\r(3)，1)C.(－eq\r(3)，－1) D.(eq\r(3)，－1)【解析】x＝ρcosθ＝2coseq\f(7,6)π＝－eq\r(3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f(7,6)π＝－1.【答案】C4.點M的直角坐標為(0，eq\f(π,2))，則點M的極坐標可以為()A.(eq\f(π,2)，0) B.(0，eq\f(π,2))C.(eq\f(π,2)，eq\f(π,2)) D.(eq\f(π,2)，－eq\f(π,2))【解析】∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\f(π,2)，且θ＝eq\f(π,2)，∴M的極坐標為(eq\f(π,2)，eq\f(π,2)).【答案】C[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：類型一確定極坐標系中點的坐標設(shè)點A(2，eq\f(π,3))，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A關(guān)于極軸，直線l，極點的對稱點的極坐標(限定ρ>0，－π<θ≤π).【精彩點撥】欲寫出點的極坐標，首先應(yīng)確定ρ和θ的值.【嘗試解答】如圖所示，關(guān)于極軸的對稱點為B(2，－eq\f(π,3)).關(guān)于直線l的對稱點為C(2，eq\f(2,3)π).關(guān)于極點O的對稱點為D(2，－eq\f(2,3)π).四個點A，B，C，D都在以極點為圓心，2為半徑的圓上.1.點的極坐標不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，則除極點外，點的極坐標是惟一確定的.2.寫點的極坐標要注意順序：極徑ρ在前，極角θ在后.[再練一題]1.在極坐標系中，B(3，eq\f(π,4))，D(3，eq\f(7,4)π)，試判斷點B，D的位置是否具有對稱性，并求出B，D關(guān)于極點的對稱點的極坐標(限定ρ>0，θ∈[0,2π)).【解】由B(3，eq\f(π,4))，D(3，eq\f(7π,4))，知|OB|＝|OD|＝3，極角eq\f(π,4)與eq\f(7π,4)的終邊關(guān)于極軸對稱.所以點B，D關(guān)于極軸對稱.設(shè)點B(3，eq\f(π,4))，D(3，eq\f(7π,4))關(guān)于極點的對稱點分別為E(ρ1，θ1)，F(xiàn)(ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.當θ∈[0,2π)時，θ1＝eq\f(5π,4)，θ2＝eq\f(3π,4)，∴E(3，eq\f(5π,4))，F(xiàn)(3，eq\f(3π,4))為所求.類型二將點的極坐標化為直角坐標寫出下列各點的直角坐標，并判斷所表示的點在第幾象限.(1)(2，eq\f(4π,3))；(2)(2，－eq\f(2,3)π)；(3)(2，－eq\f(π,3)).【精彩點撥】點的極坐標(ρ，θ)→eq\o(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ)))→點的直角坐標(x，y)→判定點所在象限.【嘗試解答】(1)由題意知x＝2coseq\f(4π,3)＝2×(－eq\f(1,2))＝－1，y＝2sineq\f(4π,3)＝2×(－eq\f(\r(3),2))＝－eq\r(3).∴點(2，eq\f(4π,3))的直角坐標為(－1，－eq\r(3))，是第三象限內(nèi)的點.(2)x＝2cos(－eq\f(2,3)π)＝－1，y＝2sin(－eq\f(2,3)π)＝－eq\r(3)，∴點(2，－eq\f(2,3)π)的直角坐標為(－1，－eq\r(3))，是第三象限內(nèi)的點.(3)x＝2cos(－eq\f(π,3))＝1，y＝2sin(－eq\f(π,3))＝－eq\r(3)，∴點(2，－eq\f(π,3))的直角坐標為(1，－eq\r(3))，是第四象限內(nèi)的點.1.點的極坐標與直角坐標的互化公式的三個前提條件：①極點與直角坐標系的原點重合；②極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合；③兩種坐標系的長度單位相同.2.將點的極坐標(ρ，θ)化為點的直角坐標(x，y)時，運用到求角θ的正弦值和余弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角恒等變換公式是關(guān)鍵.[再練一題]2.分別把下列點的極坐標化為直角坐標：(1)(2，eq\f(π,6))；(2)(3，eq\f(π,2))；(3)(π，π).【解】(1)∵x＝ρcosθ＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f(π,6)＝1.∴點的極坐標(2，eq\f(π,6))化為直角坐標為(eq\r(3)，1).(2)∵x＝ρcosθ＝3coseq\f(π,2)＝0，y＝ρsinθ＝3sineq\f(π,2)＝3.∴點的極坐標(3，eq\f(π,2))化為直角坐標為(0,3).(3)∵x＝ρcosθ＝πcosπ＝－π，y＝ρsinθ＝πsinπ＝0，∴點的極坐標(π，π)化為直角坐標為(－π，0).類型三將點的直角坐標化為極坐標分別把下列點的直角坐標化為極坐標(限定ρ≥0,0≤θ<2π).(1)(－2,2eq\r(3))；(2)(eq\r(6)，－eq\r(2)).【精彩點撥】利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)，但求角θ時，要注意點所在的象限.【嘗試解答】(1)∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(－22＋2\r(3)2)＝4，tanθ＝eq\f(y,x)＝－eq\r(3)，θ∈[0,2π)，由于點(－2,2eq\r(3))在第二象限.∴θ＝eq\f(2π,3).∴點的直角坐標(－2,2eq\r(3))化為極坐標(4，eq\f(2,3)π).(2)∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(\r(6)2＋－\r(2)2)＝2eq\r(2)，tanθ＝eq\f(y,x)＝－eq\f(\r(3),3)，θ∈[0,2π)，由于點(eq\r(6)，－eq\r(2))在第四象限，所以θ＝eq\f(11π,6).∴點的直角坐標(eq\r(6)，－eq\r(2))化為極坐標為(2eq\r(2)，eq\f(11π,6)).1.將直角坐標(x，y)化為極坐標(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)求解.2.在[0,2π)范圍內(nèi)，由tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)求θ時，要根據(jù)直角坐標的符號特征判斷出點所在的象限.如果允許θ∈R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ(k∈Z)即可.[再練一題]3.(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R，分別求各點的極坐標；(2)如果點的直角坐標(x，y)滿足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情況下轉(zhuǎn)化為點的極坐標時，試探究θ的取值范圍.【解】(1)根據(jù)與角α終邊相同的角為α＋2kπ(k∈Z)知，點的直角坐標化為極坐標(ρ>0，θ∈k)分別如下：(－2,2eq\r(3))的極坐標為(4，eq\f(2π,3)＋2kπ)(k∈Z).(eq\r(6)，－eq\r(2))的極坐標為(2eq\r(2)，eq\f(11,6)π＋2kπ)(k∈Z).(2)由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0.所以(x，y)可能在第二象限或第四象限.把直角坐標(x，y)化為極坐標(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R時，θ的取值范圍為(eq\f(π,2)＋2kπ，π＋2kπ)∪(eq\f(3π,2)＋2kπ，2π＋2kπ)(k∈Z).類型四極坐標與直角坐標的綜合應(yīng)用在極坐標系中，如果A(2，eq\f(π,4))，B(2，eq\f(5π,4))為等邊三角形ABC的兩個頂點，求頂點C的極坐標(ρ>0,0≤θ<2π).【精彩點撥】解答本題可以先利用極坐標化為直角坐標，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點C的直角坐標，進而求出點C的極坐標.【嘗試解答】對于點A(2，eq\f(π,4))有ρ＝2，θ＝eq\f(π,4)，∴x＝2coseq\f(π,4)＝eq\r(2)，y＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2)，則A(eq\r(2)，eq\r(2)).對于B(2，eq\f(5,4)π)有ρ＝2，θ＝eq\f(5,4)π，∴x＝2coseq\f(5,4)π＝－eq\r(2)，y＝2sineq\f(5,4)π＝－eq\r(2).∴B(－eq\r(2)，－eq\r(2)).設(shè)C點的坐標為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形，故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)2＋y－\r(2)2＝16，,x＋\r(2)2＋y＋\r(2)2＝16.))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(6)，,y＝－\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(6)，,y＝\r(6).))∴C點的坐標為(eq\r(6)，－eq\r(6))或(－eq\r(6)，eq\r(6)).∴ρ＝eq\r(6＋6)＝2eq\r(3)，tanθ＝eq\f(－\r(6),\r(6))＝－1，∴θ＝eq\f(7,4)π或θ＝eq\f(3,4)π.故點C的極坐標為(2eq\r(3)，eq\f(7,4)π)或(2eq\r(3)，eq\f(3,4)π).1.本例綜合考查了點的極坐標與直角坐標的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì).結(jié)合幾何圖形可知，點C的坐標有兩解，設(shè)出點的坐標尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵.2.若設(shè)出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，請讀者完成.[再練一題]4.本例中，如果點的極坐標仍為A(2，eq\f(π,4))，B(2，eq\f(5π,4))，且△ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點C的極坐標.【導(dǎo)學(xué)號：62790003】【解】對于點A(2，eq\f(π,4))，直角坐標為(eq\r(2)，eq\r(2))，點B(2，eq\f(5π,4))的直角坐標為(－eq\r(2)，－eq\r(2))，設(shè)點C的直角坐標為(x，y)，由題意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，∴eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＝0，即(x－eq\r(2)，y－eq\r(2))·(x＋eq\r(2)，y＋eq\r(2))＝0，∴x2＋y2＝4. ①又|Aeq\o(C,\s\up13(→))|2＝|Beq\o(C,\s\up13(→))|2，于是(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝(x＋eq\r(2))2＋(y＋eq\r(2))2，∴y＝－x代入①，得x2＝2，解得x＝±eq\r(2).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝－\r(2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(2)，,y＝\r(2)，))∴點C的直角坐標為(eq\r(2)，－eq\r(2))或(－eq\r(2)，eq\r(2))，∴ρ＝eq\