安徽省皖江名校2022-2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.一小商販準(zhǔn)備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進(jìn)價元,乙每件進(jìn)價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件3.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.4.己知,,,則()A. B. C. D.5.下列不等式成立的是()A. B. C. D.6.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm37.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件8.某個小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1409.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為4的正三角形,俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.在中,已知,,,為線段上的一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.12.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)14.一個袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個,從中任意摸取3個小球,每個小球被取出的可能性相等,則取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率是__.15.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,則_____.16.如圖,棱長為2的正方體中,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和,并將兩弧各五等分,分點(diǎn)依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點(diǎn)出發(fā),沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為________.參考數(shù)據(jù):;;)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,正方形所在平面外一點(diǎn)滿足,其中分別是與的中點(diǎn).(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.18.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)P,Q分別為,的中點(diǎn).求證:(1)PQ平面;(2)平面.19.(12分)如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動點(diǎn),且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.20.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且順次連接四個頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個邊長為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè),過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn),若對滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)證明::(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點(diǎn),滿足,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

考慮當(dāng)時,有兩個不同的實(shí)數(shù)解,令,則有兩個不同的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對,所以時,有兩個不同的實(shí)數(shù)解.令,則在有兩個不同的零點(diǎn).又,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),在上至多一個零點(diǎn),舍.當(dāng)時,若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因?yàn)橛袃蓚€不同的零點(diǎn),所以,解得.又當(dāng)時,且,故在上存在一個零點(diǎn).又,其中.令,則,當(dāng)時,,故為減函數(shù),所以即.因?yàn)椋栽谏弦泊嬖谝粋€零點(diǎn).綜上,當(dāng)時,有兩個不同的零點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明零點(diǎn)的存在性,本題屬于難題.2、D【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當(dāng)經(jīng)過時,最大.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負(fù)數(shù),并準(zhǔn)確的畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.3、A【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn),數(shù)形結(jié)合,分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個零點(diǎn),等價于與有三個交點(diǎn),又因?yàn)?,且由圖可知,當(dāng)時與有兩個交點(diǎn),故只需當(dāng)時,與有一個交點(diǎn)即可.若當(dāng)時,時,顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點(diǎn)??,故滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點(diǎn),故不滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點(diǎn),故不滿足題意;時,顯然與有一個交點(diǎn),故滿足題意.綜上所述,要滿足題意,只需.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.4、B【解析】

先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運(yùn)算變形,再判斷.【詳解】因?yàn)?,,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于,,,錯誤;對于,在上單調(diào)遞減,,錯誤;對于,,,,錯誤;對于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題;關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.6、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長方體,下面是四棱柱;長方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點(diǎn):三視圖和幾何體的體積.7、B【解析】

先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.8、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C9、A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體,前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐,體積為故答案為A.點(diǎn)睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.10、A【解析】

在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則、、,為線段上的一點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因此,的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個關(guān)鍵點(diǎn)在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計算能力,屬于難題.11、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A12、B【解析】

根據(jù)條件先求出的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則,設(shè),則當(dāng)時,,,即,要使在區(qū)間上單調(diào)遞減,則得,得,即實(shí)數(shù)的最大值為,故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意得,二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,則,所以得系數(shù)為.14、【解析】

由題,得滿足題目要求的情況有,①有一個數(shù)字4,另外兩個數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個數(shù)字4,另外一個數(shù)字從1,2,3里面選,由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類:①有一個數(shù)字4,另外兩個數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況;②有兩個數(shù)字4,另外一個數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況,又從中任意摸取3個小球,有種情況,所以取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.15、81【解析】

設(shè)數(shù)列的公比為,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出,代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知,因?yàn)?,由等比?shù)列通項(xiàng)公式可得,,解得,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系,將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi),結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因?yàn)?,且由誘導(dǎo)公式可得,所以最短距離為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法,注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先證明EF平面,即可求證;(2)根據(jù)二面角的余弦值,可得平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量計算線面角即可.【詳解】(1)連接,交于點(diǎn),連結(jié).則,故面.又面,因此.(2)由(1)知即為二面角的平面角,且.在中應(yīng)用余弦定理,得,于是有,即,從而有平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,于是,,設(shè)平面的法向量為,則,即,解得于是平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角為,因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直,線線垂直的證明,二面角,線面角的向量求法,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)取的中點(diǎn)D,連結(jié),.根據(jù)線面平行的判定定理即得;(2)先證,,和都是平面內(nèi)的直線且交于點(diǎn),由(1)得,再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】(1)取的中點(diǎn)D,連結(jié),.在中,P,D分別為,中點(diǎn),,且.在直三棱柱中,,.Q為棱的中點(diǎn),,且.,.四邊形為平行四邊形,從而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D為中點(diǎn),.由(1)知,,.又,平面,平面,平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理,以及線面垂直的判定定理,難度不大.19、(1)見解析;(II).【解析】

試題分析:(1)取中點(diǎn),連結(jié),以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明為直角三角形;(2)設(shè),由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.試題解析:(I)取中點(diǎn),連結(jié),依題意可知均為正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因?yàn)?所以,即,從而為直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,由可得點(diǎn)的坐標(biāo)所以,設(shè)平面的法向量為,則,即解得,令,得,顯然平面的一個法向量為,依題意,解得或(舍去),所以,當(dāng)時,二面角的余弦值為.法二:由(I)可知平面,所以,所以為二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,當(dāng)時,二面角的余弦值為.20、(1)(2)【解析】

(1)由已知條件列出關(guān)于和的方程,并計算出和的值,jike得到橢圓的方程.(2)設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)坐標(biāo)計算出,分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,求解出的最小值.【詳解】(1)由己知得:,解得,所以,橢圓的方程(2)設(shè),.當(dāng)直線垂直于軸時,,且此時,,當(dāng)直線不垂直于軸時,設(shè)直線由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,并運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個變量的表達(dá)式進(jìn)行求解,需要掌握解題方法,并且有一定的計算量.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)通過證明面,即可由線面垂直推證面面垂直;(2)根據(jù)面,將問題轉(zhuǎn)化為求到面的距離,利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】(1)因?yàn)槔庵侵比庵?,所以又,?/p>

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