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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關于原點對稱的點有2對,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進價元,乙每件進價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件3.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.4.己知,,,則()A. B. C. D.5.下列不等式成立的是()A. B. C. D.6.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm37.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件8.某個小區(qū)住戶共200戶,為調查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1409.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為4的正三角形,俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.在中,已知,,,為線段上的一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.12.將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調遞減,那么實數(shù)的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)14.一個袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個,從中任意摸取3個小球,每個小球被取出的可能性相等,則取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率是__.15.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,則_____.16.如圖,棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和,并將兩弧各五等分,分點依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點出發(fā),沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為________.參考數(shù)據(jù):;;)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,正方形所在平面外一點滿足,其中分別是與的中點.(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.18.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點P,Q分別為,的中點.求證:(1)PQ平面;(2)平面.19.(12分)如圖,四棱錐,側面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動點,且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.20.(12分)已知橢圓的焦點在軸上,且順次連接四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設,過橢圓右焦點的直線交于、兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點.(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點為棱的中點.(1)證明::(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點,滿足,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
考慮當時,有兩個不同的實數(shù)解,令,則有兩個不同的零點,利用導數(shù)和零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為的圖象上關于原點對稱的點有2對,所以時,有兩個不同的實數(shù)解.令,則在有兩個不同的零點.又,當時,,故在上為增函數(shù),在上至多一個零點,舍.當時,若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因為有兩個不同的零點,所以,解得.又當時,且,故在上存在一個零點.又,其中.令,則,當時,,故為減函數(shù),所以即.因為,所以在上也存在一個零點.綜上,當時,有兩個不同的零點.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,一般地,較為復雜的函數(shù)的零點,必須先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,再結合零點存在定理說明零點的存在性,本題屬于難題.2、D【解析】
由題意列出約束條件和目標函數(shù),數(shù)形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當經(jīng)過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負數(shù),并準確的畫出可行域,本題是一道基礎題.3、A【解析】
分段求解函數(shù)零點,數(shù)形結合,分類討論即可求得結果.【詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個零點,等價于與有三個交點,又因為,且由圖可知,當時與有兩個交點,故只需當時,與有一個交點即可.若當時,時,顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??,故滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點,故不滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點,故不滿足題意;時,顯然與有一個交點,故滿足題意.綜上所述,要滿足題意,只需.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.4、B【解析】
先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運算變形,再判斷.【詳解】因為,,所以,故選:B.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想,屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于,,,錯誤;對于,在上單調遞減,,錯誤;對于,,,,錯誤;對于,在上單調遞增,,正確.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調性比較大小的問題;關鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性.6、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長方體,下面是四棱柱;長方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點:三視圖和幾何體的體積.7、B【解析】
先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎.解題時可根據(jù)條件與結論中參數(shù)的取值范圍進行判斷.8、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C9、A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體,前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐,體積為故答案為A.點睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進行調整.10、A【解析】
在中,設,,,結合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標系,根據(jù)已知條件結合向量的坐標運算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,則、、,為線段上的一點,則存在實數(shù)使得,,設,,則,,,,,消去得,,所以,,當且僅當時,等號成立,因此,的最小值為.故選:A.【點睛】本題是一道構思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關鍵是理解是一個單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關系,解決本題的第二個關鍵點在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計算能力,屬于難題.11、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A12、B【解析】
根據(jù)條件先求出的解析式,結合三角函數(shù)的單調性進行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則,設,則當時,,,即,要使在區(qū)間上單調遞減,則得,得,即實數(shù)的最大值為,故選:B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調性求參數(shù),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意得,二項式展開式的通項為,令,則,所以得系數(shù)為.14、【解析】
由題,得滿足題目要求的情況有,①有一個數(shù)字4,另外兩個數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個數(shù)字4,另外一個數(shù)字從1,2,3里面選,由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類:①有一個數(shù)字4,另外兩個數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況;②有兩個數(shù)字4,另外一個數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況,又從中任意摸取3個小球,有種情況,所以取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為:【點睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題,考查學生分析問題和解決問題的能力.15、81【解析】
設數(shù)列的公比為,利用等比數(shù)列通項公式求出,代入等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設數(shù)列的公比為,由題意知,因為,由等比數(shù)列通項公式可得,,解得,由等比數(shù)列通項公式可得,.故答案為:【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式;考查運算求解能力;屬于基礎題.16、【解析】
根據(jù)空間位置關系,將平面旋轉后使得各點在同一平面內(nèi),結合角的關系即可求得兩點間距離的三角函數(shù)表達式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉至與平面共面的位置,將繞旋轉至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因為,且由誘導公式可得,所以最短距離為,故答案為:.【點睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法,注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法,三角函數(shù)誘導公式的應用,綜合性強,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)先證明EF平面,即可求證;(2)根據(jù)二面角的余弦值,可得平面,以為坐標原點,建立空間直角坐標系,利用向量計算線面角即可.【詳解】(1)連接,交于點,連結.則,故面.又面,因此.(2)由(1)知即為二面角的平面角,且.在中應用余弦定理,得,于是有,即,從而有平面.以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,于是,,設平面的法向量為,則,即,解得于是平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為,因此.【點睛】本題主要考查了線面垂直,線線垂直的證明,二面角,線面角的向量求法,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)取的中點D,連結,.根據(jù)線面平行的判定定理即得;(2)先證,,和都是平面內(nèi)的直線且交于點,由(1)得,再結合線面垂直的判定定理即得.【詳解】(1)取的中點D,連結,.在中,P,D分別為,中點,,且.在直三棱柱中,,.Q為棱的中點,,且.,.四邊形為平行四邊形,從而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D為中點,.由(1)知,,.又,平面,平面,平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理,以及線面垂直的判定定理,難度不大.19、(1)見解析;(II).【解析】
試題分析:(1)取中點,連結,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明為直角三角形;(2)設,由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結果.試題解析:(I)取中點,連結,依題意可知均為正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因為,所以,即,從而為直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,則,由可得點的坐標所以,設平面的法向量為,則,即解得,令,得,顯然平面的一個法向量為,依題意,解得或(舍去),所以,當時,二面角的余弦值為.法二:由(I)可知平面,所以,所以為二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,當時,二面角的余弦值為.20、(1)(2)【解析】
(1)由已知條件列出關于和的方程,并計算出和的值,jike得到橢圓的方程.(2)設出點和點坐標,運用點坐標計算出,分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,求解出的最小值.【詳解】(1)由己知得:,解得,所以,橢圓的方程(2)設,.當直線垂直于軸時,,且此時,,當直線不垂直于軸時,設直線由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值為【點睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系,求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,并運用根與系數(shù)的關系轉化為只含一個變量的表達式進行求解,需要掌握解題方法,并且有一定的計算量.21、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)通過證明面,即可由線面垂直推證面面垂直;(2)根據(jù)面,將問題轉化為求到面的距離,利用等體積法求點面距離即可.【詳解】(1)因為棱柱是直三棱柱,所以又,所
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