【教案】三角函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)（第1課時(shí)）必修第一冊(cè)

課題：5.2.1三角函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)（第1課時(shí)）（一）教學(xué)內(nèi)容任意角的三角函數(shù)概念.（二）教學(xué)目標(biāo)通過數(shù)學(xué)抽象，能夠?qū)蛩賵A周運(yùn)動(dòng)歸結(jié)到單位圓上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的刻畫，借助單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，進(jìn)而建立三角函數(shù)的概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的作用，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).（三）教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)概念.2.教學(xué)難點(diǎn)：如何建立任意角的三角函數(shù)概念.（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)圖1引導(dǎo)語：現(xiàn)實(shí)世界中存在著各種各樣的“周而復(fù)始”的變化現(xiàn)象，圓周運(yùn)動(dòng)是這類現(xiàn)象的代表，如右圖1所示,☉上的點(diǎn)以為起點(diǎn)做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在弧度制下，我們已經(jīng)將角的范圍擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù)，能否建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫點(diǎn)的位置變化情況?圖1師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考后，在已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上能夠給出研究路徑：明確研究背景--對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)分析--下定義--性質(zhì).追問：要解決這個(gè)問題，我們需要什么工具？學(xué)生能夠說出建立函數(shù)模型,需要利用直角坐標(biāo)系，并先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，如圖，以單位圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線為軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.把該問題抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)開始在單位圓上的運(yùn)動(dòng).問題1：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？它們是唯一確定的嗎？師生活動(dòng)：教師提出問題后，學(xué)生進(jìn)行討論.利用勾股定理可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)=時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是(32，12)；當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，1)和設(shè)計(jì)意圖：先研究特殊角下點(diǎn)坐標(biāo)，再研究任意角下點(diǎn)坐標(biāo).體現(xiàn)由特殊到一般的思想.問題2：一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)能唯一確定嗎？師生活動(dòng)：教師提出問題后，學(xué)生進(jìn)行討論.因?yàn)閱挝粓A的半徑不變，點(diǎn)的坐標(biāo)只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角確定時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是也唯一確定.追問1：用GGB動(dòng)態(tài)展示角變化的過程，觀察角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)，有什么發(fā)現(xiàn)？能運(yùn)用函數(shù)的語言刻畫這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是唯一確定的，有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：任意角(弧度)→唯一實(shí)數(shù)；任意角(弧度)→唯一實(shí)數(shù)．一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)，還是縱坐標(biāo)，都是唯一確定的.所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是角的函數(shù).設(shè)計(jì)意圖:以函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為指向，從特殊到一般，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角(弧度)的函數(shù)，為引出三角函數(shù)的定義做好鋪墊.問題3：通過閱讀教科書第177-178頁，你能給出三角函數(shù)的定義嗎？師生活動(dòng)：教師給出圖示，學(xué)生結(jié)合圖中信息給出三個(gè)定義，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，那么把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記做，即；把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù)，記做，即；把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切函數(shù)，記做，即.可以看出，當(dāng)=（）時(shí)，的終邊在軸上，這時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x等于0，所以=無意義．除此之外，對(duì)于確定的角，的值也是唯一確定的．所以，=（x≠0）也是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)．追問1：符號(hào)，和分別表示什么？在之前有過類似的引入特定符號(hào)表示一種量的經(jīng)歷嗎？學(xué)生獨(dú)立思考，能回憶并類比已有知識(shí)，（引入符號(hào)）理解三角函數(shù)符號(hào)的意義.追問2：任意角三角函數(shù)的定義域分別是什么呢?學(xué)生進(jìn)行討論.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集，即，對(duì)于正切函數(shù)而言，要求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即角的終邊不能位于軸上，那么正切函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)計(jì)意圖：在問題的引導(dǎo)下，通過閱讀教科書使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義有更深刻的理解.問題4:任意角三角函數(shù)的定義是否符合高中函數(shù)的定義呢？師生活動(dòng)：教師提出問題后，學(xué)生進(jìn)行討論.正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù).由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).按照函數(shù)的定義與常用的符號(hào)，我們通常將它們記為正弦函數(shù)y=sinx，x∈R；余弦函數(shù)y=cosx，x∈R；正切函數(shù)y=tanx，x≠（）將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).追問1：這個(gè)定義相對(duì)于銳角三角函數(shù)的定義有什么不同呢?師生活動(dòng)：任意角的三角函數(shù)是通過角與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義的，銳角三角函數(shù)是通過直角三角形邊長的比值定義的，在單位圓中直角三角形斜邊為1，所以銳角三角函數(shù)也可用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義，此時(shí)終邊上的點(diǎn)都在第一象限，因此銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，而任意角的三角函數(shù)值可以是負(fù)數(shù).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將任意角三角函數(shù)納入到函數(shù)中，豐富學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)知，另外，注意任意角為軸線角的特殊情況，讓學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.問題5：求的正弦、余弦和正切值.師生活動(dòng)：先由學(xué)生說思路，再引導(dǎo)從學(xué)生回歸三角函數(shù)定義總結(jié)求三角函數(shù)值的基本步驟，完成解答.解：在直角坐標(biāo)系中，作，此時(shí)的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)計(jì)意圖：通過概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進(jìn)一步理解定義的內(nèi)涵.問題6：如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為.求證：，，師生活動(dòng)：給出問題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析以下問題，再讓學(xué)生給出證明思路.①你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示和嗎？②在你所作的圖形中，，，表示什么？你能找到它們與任意角的三角函數(shù)的關(guān)系嗎？解：設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，則，.所以得到,即.因?yàn)榕c同號(hào)，所以，即.同理可證：，.設(shè)計(jì)意圖：通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生找到、，并利用它們的相似關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到證明.（五）課堂小結(jié)

問題7：你怎樣建立三角函數(shù)的概念？如何理解三角函數(shù)符號(hào)的意義？經(jīng)歷三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程你體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)思想？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，若不完整，再請(qǐng)其他的同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充．設(shè)計(jì)意圖：回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程，感悟本節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)思想方法，交流分享關(guān)于本節(jié)課的收獲.（六）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.求eq\f(4,3)π的正弦、余弦和正切值．[解析]在直角坐標(biāo)系中作∠AOB＝eq\f(4,3)π，如圖．∠AOB的終邊OB與單位圓的交點(diǎn)B.坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，∴sineq\f(4,3)π＝－eq\f(\r(3),2)，coseq\f(4,3)π＝－eq\f(1,2)，taneq\f(4,3)π＝eq\r(3).2．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5，－12)，則sin＝________，cos＝________，tan＝________.解析：∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq\r(52