空間向量與立體幾何測試題與答案

高中數學選修（2-1）空間向量與立體幾何測試題一、選擇題1．若把空間平行于同一平面且長度相等的所有非零向量的始點放置在同一點，則這些向量的終點構成的圖形是（）A.一個圓B.一個點C.半圓D.平行四邊形答案：A2.在長方體ABCD-ABCD中，下列關于AC的表達中錯誤的一個是（）1111A.AA+AB+AD11111AD+CC+DC111答案F*B.AB+DD+DC111-(AB+CD)+AC2iiii3.若a,b,c為任意向量，meR,)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)c=ac+bcm(a+b)=ma+mb(ab)c=a(bc)答案：DTOC\o"1-5"\h\z若三點AB,C共線，P為空間任意一點，且PA+aP2=pP。，則a-p的值為（）A.1B.-1C.1D.-22答案：B5.設a=(%,4,3),b=(3,2,z)，且a〃b，則％z等于()A.-4B.9C.-9D.史9答案：B.已知非零向量e,e不共線，如果AB=e,a,AC=2e+8e,AD=--3e,則四點12AB,C,D()A.一定共圓

B.恰是空間四邊形的四個頂點心C.一定共面D.肯定不共面答案：C.如圖1,空間四邊形"CD的四條邊及對A.2BAACB.2ADBD2FGCA2EFCB答案：聲8.若”=e+e+e,b=e-e+ec=e+e

i'J/d=e+2e+3e

12貝U%,y,z的值分別為B.C.D.5,2,1答案：A9.若向量a=(1,兀2)與b=(2,-1,2)的夾角的余弦值為A.2BAACB.2ADBD2FGCA2EFCB答案：聲8.若”=e+e+e,b=e-e+ec=e+e

i'J/d=e+2e+3e

12貝U%,y,z的值分別為B.C.D.5,2,1答案：A9.若向量a=(1,兀2)與b=(2,-1,2)的夾角的余弦值為89A.2—2—2或2552或—255答案：C10.已知ABCD為平行四邊形，且A(4,13),B(2,—5,1)C(3,7,—5),則頂點D的坐標為(A.7A,4,—12)B.(2,4,1)C.(—2,141)D.(5,13,—3)答案：D11?在正方體ABCD—ABCD中，1111O為AC,BD的交點，則CO與AD所成角的(A.60B.90C.arccosD.arccos36答案：D12.給出下列命題：①已知a，b，則a(b+c)+c(b—a)=bc;

②AB,M,N為空間四點，若BARWIN不構成空間的一個基底，那么A,B,M,N共面;③已知則。，。與任何向量都不構成空間的一個基底；④若。，力共線，則。，5所在直線或者平行或者重合.正確的結論的個數為()>>>A.1B.2C.3D.4答案：C二、填空題13.已知a=(3J5),5=(12—3),向量c與z軸垂直，且滿足C4=9,c5=—4,貝l」c=215215,0).已知A,B,。三點不共線，0為平面外一點，若由向量+入OC確53定的點尸與AB,。共面，那么入=.答案：-?15.已知線段面a,BCua,CD1BCf。產，面a于點尸，ZDCF=30,且D,A在平面a的同側，若AB=5C=CD=2,貝I」4)的長為.答案：2d.在長方體ABC。-中，5c和CO與底面所成的角分別為60和45,則異面111111直線5C和C。所成角的余弦值為.11答案:如4三、解答題TOC\o"1-5"\h\z17.設“=2i-j+k,a=i+3j-2k,a=-2i+j-3k,a=3i+2j+5k,試問是否存在實1234數％N，v,使a=X?+|n?+v?成立？如果存在，求出尢四，v；如果不存在，請寫出4123證明.答案：解：假設a=+\xa+v?成立.4123'：a=(2,-l,l),a=(13,-2),a=(-2,1,-3),a=(3,2,5),1234.*.(2X+|h-2v,-1+3|ll+v,X-2|n-3v)=(3,2,5).

’2'+|LI—2V=3,-X+3|Li+v=2,解得<入—2Q3V=5,I二

v=-3.所以存在入=-2,H=’2'+|LI—2V=3,-X+3|Li+v=2,解得<入—2Q3V=5,I二

v=-3.所以存在入=-2,H=L了=-3使得〃=-2a+a-3a.4123理由即為解答過程.18.如圖2,正三棱柱ABC-ABC的底面邊長為a,側棱長為111所成的角.解：建立如圖所示的空間直角坐標系,(貝IJA(0,0,0),B(0,a,0),A(0,0,2a),C-3aa,22由于n=(-1,0,0)是面ABBA的法向量，11cosAC,n

1ACn1ACn13a23an=60?故人。與側面AbbA所成出的角力30..如圖3,直三棱柱ABC-ABC中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90,側棱111AA=2,D,E分別是CC與AB的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求點A到平面AED的距離.1解：建立如圖所示的空間直角坐標系，設CA=2a，則A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A(2a,0,2),E(a,a,1),1從而GE從而GE=,BD=(Q-2a,1).J由GE±BDnGEBD=0，得a=1,則A(2,0,2),A(2,0,0),E(1,1,1).1自A作AH1面AED于M，并延長交xOy面于H，設H(x,y,0),11

貝IJAH=(%—2,y,-2).1又AD=(-2,0,1),AE=(-1,1,1).AHLAD,1nAHLAD,1nAHIAEi-2(x-2)-2=0,=「=1'得"(14,0).[y=1,一一.(那么EA=一一.(那么EA=1、,0,-，乙JED==AAcosAA,=AAcosAA,AH

iii.已知正方體Abcd-ABCD的^^^2,P,Q分^是BC，CD上的^點,且PpQ=2,1111TOC\o"1-5"\h\z確定P，Q的位置，使QB1PD.11解：建立如圖所示的空間直角坐標系，設BP=t,得CQ=2-(2-1)2，DQ=2-2-(2-t)2.那么B(2,0,2),D(0,2,2),P(2,,0)Q(2-2-(2-t)2,2,0),11從而QB=(2-(2-1)2,-2,2),PD=(-2,2-t,2),11由QB1PDnQBPD=0,1111

從而cosEA,EDEAED6EAED3因此tanEAF,ED-故面SCO與面SA4所成二面角的正切值為2222.平行六面體ABCD—ABCD的底面ABCD是菱形，且從而cosEA,EDEAED6EAED3因此tanEAF,ED-故面SCO與面SA4所成二面角的正切值為2222.平行六面體ABCD—ABCD的底面ABCD是菱形，且ZCCB=ZCCD=ZBCD,試問:1111當CDCC1的值為多少時，AC1面CBD?請予以證明.解：欲使AC1面CBD，只須AC1CD,且AC1CB.

11欲證AC1CD，只須證CACD=0,即(CA+AA)(CD-CC)=0,八?K也就是(CD+CB+CC)(CD-CC)=0,即CD2—CC2+CBCDcosZBCD—CBCCcosZCCB=0.由于ZCCB=ZBCD,1顯然，當CD=CC時，上式成立;1同理可得，當CD=CC時，AC1CB.

111因此，當CD

CC1=1時，AC1面CBD.一.選擇題：（10小題共4。分）.已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O,下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是A.OMA.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA—OB—OCC.OM=C.OM=OA+1OB+1OCD.OM=1OA+1OB+1OC.直三棱柱ABC—ABC中，若CA=a,CB=b,CC=C,則AB=11111A.a+bA.a+b-cB.a—b+cC.—a+b+cD.—a+b—cTOC\o"1-5"\h\z.若向量形垂直向量a^^b，向量n=九a+^b（九,日￡R且九、四。0）則（）A.m//nB.m工nC.加不平行于n,m也不垂直于nD.以上三種情況都可能.以下四個命題中,正確的是（）A^OP=JOA+3OB，則P、A、B三點共線乙JB.設向量｛a，b，。｝是空間一個基底，則｛a+b,b+。，。+a｝構成空間的另一個基底C.（a?b）c=a?b?c□.△ABC是直角三角形的充要條件是AB?AC=0.對空間任意兩個向量a,b（b豐o）,a〃b的充要條件是（）A.a=bb,a=-bC,b=Xad.a=九b.已知向量a=（0,2,1）,b=（-1,1,-2），則。與的夾角為（）A.0°B.45°C.90°D.180°.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若AB=a,AD=b,AA=c，11111則下列向量中與BM相等的是（）11111111111A.——a+—b+—cB—a+—b+—cC—a——b+cD.——a——b+c22222222228,已知a=（九+1,0,2X）,b=（6,2日-1,2）,若a//b,則九與目的值分別為（）A.5,2B.5,2C,-5,-2D.-5,-29?已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,貝心a與3陰勺數量積等于（）A.-15B.-5C.-3D.-11。,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1clD1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是

2B-52B-5C-310D.——10二-填空題:(4小題共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3Mm點共線，則m+n=..已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),若Ia1=3,且a±AB,a1AC,則向量a的坐標為-.已知a,b是空間二向量，若IaI=3,IbI=2,Ia-bI=7,則必與b的夾角為..已知點G是4ABC的重心，O是空間任一點，若OA+OB+OC=九OG,貝嘰的值為-三-解答題:(10+8+12+14=44分).如圖：ABCD為矩形，PA，平面ABCD,PA=AD,M、N分別是PC、AB中點，(1)求證：MN，平面PCD;(2)求NM與平面ABCD所成的角的大小-16-一條線段夾在一個直二面角的兩個面內，它和兩個面所成的角都是300，求這條線段與這個二面角的棱所成的角的大小-.正四棱錐S—ABCD中，所有棱長都是2,P為SA的中點，如圖-<5<5⑴求二面角B—SC—D的大??；(2)求DP與SC所成的角的大小..如圖，直三棱柱ABC—A]B]C],底面4ABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°，棱AA02,M、N分別是A]BjA￡的中點；⑴求8N的長；(2)求cos<BA,CB>的值；⑶求證：AB±CM.⑷求CB,與平面AABB,所成的角的余弦值.高中數學選修2-1測試題(10)一空間向量⑴參考答案DDBBDCDAAB11.013.6Oo14.315.⑴略(2)45o16.45o17.(1)18.(1)3301018.如圖，建立空間直角坐標系O—xyz.(1)依題意得B(0,1,0)、N(1,0,1);\BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3(2)依題意得A1(1,0,2)、B2)…BA={—1,—1,2},CB={01,2,},BA1|CB|=5「.cos<BA

11CB1BA-CB>=111IBAI-ICBI10?CB1(0,1,0)、C(0,(3)證明：依題意，得C1(0,0,11

2)、M(,,2),乙乙AB={-1,1,2},1CM={111{2,2,0}.「.AB?CM一12+0=0,?AB1CM,,?A1B1C1M.評述：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識.考查空間兩向量垂直的充要條件.即-22-(2-1)2-2(2-t)+4=0nt=1.故P,Q分別為BC,CD的中點時，QB1