立體幾何中的-截面問(wèn)題

立體幾何中的截面問(wèn)題例3:已知A爪立分別是四棱柱曲第一可應(yīng)令烏的棱勁、叫和帆上的點(diǎn),且^與助不平行』求作過(guò)這三點(diǎn)的截面口作法：(L)連接仃井延長(zhǎng)交加延長(zhǎng)線于點(diǎn)工(2)在平面四閉內(nèi)連接々交出于點(diǎn)就⑶連接用屐則四邊形尸婀即為所求.例飛如圖,五棱錦—的城中，三條便接上各有一已知點(diǎn)F,G、墨求作過(guò)F,G,月的截面，作法：⑴將側(cè)面總、PBC,如伸展得到三棱錐4屬「⑵在側(cè)面盛內(nèi)，連結(jié)并延快交他于工⑶在側(cè)面出『內(nèi).連結(jié)井延長(zhǎng)初交舊'干匚⑷在惻面?$了內(nèi)，連結(jié)或分別交陽(yáng)、PE于&M(5)連結(jié)EK磔則五邊形儂3W即為所求的截面例仇己廝直四棱柱4勺，嚴(yán)在面4贖1［內(nèi)，。在面直用研內(nèi).E在桂州上」畫出過(guò)人久斤三點(diǎn)的覲面口作法：⑴過(guò)戶作即J_◎于點(diǎn)嚴(yán)，過(guò)Q作QQJU〃于Q(2)在底面破刀內(nèi)連接肝.BQ,并交于瓦⑶由平行線R、所作平面我掰連接明⑷在平面8班內(nèi)過(guò)4祚版L面M07交篇于尤⑸由平行線用,川］作平面用照i，則荒必落在面月24］內(nèi)⑹在面所池［內(nèi)，連接掰井延長(zhǎng)交山1于必⑺在面為幽內(nèi)，連接卸，并延長(zhǎng)交納于￡1s⑻在面網(wǎng)比Q內(nèi),連接陽(yáng)并延長(zhǎng)交CCy于兀⑼連接￡八限則多邊形S班丁即為所求.例去在側(cè)棱和高的夾角為q的正四棱鐐中，求隹一個(gè)過(guò)底面頂點(diǎn)且與這點(diǎn)所對(duì)側(cè)柱垂直的般面（）＜45,，作法；⑴在平面胡心中.作延工宓于點(diǎn)反⑵在底面ABCD內(nèi)過(guò)H作國(guó)”跛⑶延長(zhǎng)嵌切分別交啟于點(diǎn)風(fēng)M弧）連接小懿分別交雅、副于點(diǎn)國(guó)風(fēng)￡5）連接』以血?jiǎng)t多邊形/磔H即為所求.類型生截面經(jīng)逑的三個(gè)已知點(diǎn)兩兩不在同一面內(nèi)的樓上.Af例的aar三點(diǎn)分別在直四棱柱的橋的、和四上，試畫出過(guò)ra#三點(diǎn)的截面JVJV【注】如果G在平面4Q內(nèi)時(shí)，任平而4G內(nèi)作GF〃片卻，情助平面POCB分割出直四棱柱44用—QR0U.又回到基本題型,在求得A1.N兩點(diǎn)后，易得截面ERFEH若E在棱，4匕F.G分別在不經(jīng)過(guò)校區(qū)4的兩個(gè)面f共楂的兩個(gè)面或相對(duì)的兩個(gè)if力內(nèi),則作截面的步驟，仍是先作一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助平面?歸結(jié)為基本題型MKj?1/MKj?1/例m色E在平加4以內(nèi),F在平而且「內(nèi)，G在平面耳R內(nèi)，求過(guò)E.EG的截面解：如圖，先作輔助平面在0PT，得到直五桂柱A.RQC.D,-ATPCD、連接EF并延長(zhǎng)交尸。的延長(zhǎng)埃廣時(shí),按增本我型方法作出截面KHL5例二七￡F分別在正方體的梭B與＜①上.G在正方體的內(nèi)部.求過(guò)EFG的截面解:過(guò)行作GH,平面且C,并延長(zhǎng)交平而4G于K.作輔助平面4P0B,連接EC并延枝交尸0TM.連接EF.在平面H以內(nèi)過(guò)尺作TS//EF.連接7T和FS,則所求裁面為『EF5【總結(jié)X①若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截繞.②若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點(diǎn).③若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)平面的交線與截面的交點(diǎn).④若兩平行平面中一個(gè)平面與截面有交戰(zhàn)，另一個(gè)面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì)，可得截面與平面的交線Q⑤若有一點(diǎn)在面上而不在樓上，則可通過(guò)作輔助平面轉(zhuǎn)化為核上的點(diǎn)的何題；若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可通過(guò)輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)解決.u切二M-g=匹二/一,rc=m=-—gs8&ii】8cos0sing軸威面工期混的面積為S=R-tan&-(R-hSotran9-fi)-2Rh-fi2&截而CQRG的面積為5?工fs-臬叱也jIJ?.3.1.Rh.>,.,2Rh=—()-sina——(-sina=sin孤2cos328g8sin6sin2^在△白B和△附力中，a<^-23⑴當(dāng)時(shí)，所以。式儀式打420改卜L2*in〃在（0,斤）可取得最大值L此時(shí)故而面積的最大清為廣sin2。2sin例18：三棱椎A(chǔ)-BCD中，截卸任FGH與對(duì)棱AC\BD都平行，旦與AB.BC.CD.DA交干E.FG.H.則EF一GH在何處時(shí).就而EF5面積城大解士由*?！ㄆ矫鍱FGN,過(guò)的平面.州C交平而EFGN『EF,EFf/AC同理7/?！?「.所以￡尸〃/0,同理可證/77"96.故EFGH是平行四邊形記工FEH三6,由EF//AC.EH//BD可知異面直線與ED所成用為6或萬(wàn)-S由于三棱維司―BCD是給定的，則8是定值，記"一二二一二丁，則*+】=[ABAB^EFACnf^BEF^^BA,C=>=r=>￡F-vJC'ACAB'^pujr￡H*R0=4AEHs△aBR^二土=xnEH=<4B,故BDABS￡rQ^=EF.EH.SUI&三（JB./fC,sillr.ivsf^RJC.siJC.5in^14例1伙如圖f,正四面體HRCD，相尸是線段XB上簾近月的三等分點(diǎn),0是線段寸節(jié)近Q的三等分點(diǎn)，R是線段CD的中點(diǎn)，作截而尸。員，交線段8「于5.試確定5的具地位較解工設(shè)方=江工？二2萬(wàn)三工則尸0三百十牙。匚TOC\o"1-5"\h\zII■*?Hi—■I??Im*9R=pD+HR=pQ+—(*C—?=—』+—9――}=y——d―3—之由截面F0取交線段EC于S,則萬(wàn)：麗.礪共面，于是存在唯一的實(shí)數(shù)人“,使得萬(wàn)=乂國(guó)+〃圓，記說(shuō)=#反1則方=廂+方=二5+16一3)=(——,r)5+xc3333284—4—所以《3」二2一二”工二2,.丫二二，于是HS三二3C.1「55E"彳*所以5是線段BCt的軾近點(diǎn)「的五等分點(diǎn),Ss_$Ss_$證明：以正楂臺(tái)為例二例20；如圖,曲凌臺(tái)的上下底面油閘分別為平行丁底面的他間4曷CJJ/o分晶母T的比里幺二坦，截面面糊為舟，求證；叵J而中建屈H0fTnut+n證明］過(guò)/作TN.與4序交于對(duì)AM網(wǎng)ui…用HB=iMB『hn5+，M6A-SV區(qū)及，『飛"j"n…川十"S.'S"例21若臺(tái)體的側(cè)面積被平行底面的截面自上而下分成M：小則截而面枳%=上上二L9+JJ05?姻=$一§|一二膽"Sq="居二+"§1：5卜朗S|.-5an，〃+"若舍體的體視被平行底面的戳匍自上諭下分成加㈤3ijmq?_“S?則低而面積5口滿足5/二1—m-Hi例桀過(guò)正方體4比工）-月禺G0的對(duì)角線助1的微曲耐積為&心和鼠分別為E的最大值和最小值，求必把的值5'a解:設(shè)北、分別為班、偌的中點(diǎn).易證截而皿是班長(zhǎng)為色■的菱形加力體極長(zhǎng)設(shè)為2J6口.其面積$皿二號(hào)而心ini能所◎是比膨、其而秋一=J，例23.如圖，己加球日是模長(zhǎng)為1的正方體」比0-4挽Ga的內(nèi)切碎.則平而，屈徒球。的截面面根為.解:平而月s是邊長(zhǎng)為五的正三珈形r且理與以點(diǎn)口為公共點(diǎn)不F三個(gè)面的切點(diǎn)恰為S、三邊的中點(diǎn)?故所求戒面的曲積是該.正三角形的內(nèi)切網(wǎng)的面積，則由圖得,入4匚4內(nèi)切照的半捺是旦皿野二四,則所求的破而PS的面積是正（四廣三二2666

解：如國(guó)，9_L平面EPC于Fi故4cp是』仃與平面郎￡所成的便出據(jù)最小角定理.ZACS>Z.4CP,同理/￡/「〉上仁4Fa所以WB+^BAC>A4CP+Z.CAP=900n^L4BC匕9/［司理可證/E匚工上二4月都是銳角.故△/月「為銳角一角電T利、（州"氣M聯(lián)容）己怔iF方體ARCn-4風(fēng)「［口的椅長(zhǎng)為1.以頂點(diǎn)X用球心.=為半論作一個(gè)球，求球面與正方體的表曲相交歷得到的曲線的長(zhǎng)解：TE二受.AD=102DAE=三,同理幺發(fā)/二三二ZE肝二二366—6散畬的長(zhǎng)為2更.2=迫疳，這樣的弧共有3條369在平面胃線口只上，交線為元.因?yàn)榘胍蹫椤?3內(nèi)仃二m所以啟的長(zhǎng)為史a二無(wú)「卜EshTOC\o"1-5"\h\z這樣的弧也有&條.故所得曲線長(zhǎng)為3區(qū)工匚笈十3以上二1*k966例29：已知球的半徑為2,相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓.若兩圓的公共弦長(zhǎng)為2,則兩圓的喇心距等于()-、A.1B.41匚點(diǎn)D,1Z,解析；Q與Q的公共弦為AB,球心為0.里中點(diǎn)為C,/\則四邊形duqr為矩形，iqanoc\..-|aii=2.1；07明以\AC^LAC±OC二I叩=J&fT元『二石、、J/

s與的交點(diǎn)r滿足r國(guó)利用三角形相似解得GM所以為假s與的交