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廣東省云浮市千官中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,,則等于(
)
A.2
B.2
C.
D.參考答案:D2.已知集合A={x|y=ln(1﹣2x)},B={x|x2≤x},則?A∪B(A∩B)=()A.(﹣∞,0) B.(﹣,1] C.(﹣∞,0)∪[,1] D.(﹣,0]參考答案:C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【專題】集合.【分析】分別求出關(guān)于集合A、B中的x的范圍,從而求出A∪B,A∩B,進(jìn)而求出?A∪B(A∩B).【解答】解:∵集合A={x|y=ln(1﹣2x)},∴A={x|1﹣2x>0}={x|x<},∵B={x|x2≤x}={x|0≤x≤1},∴A∪B={x|x≤1},A∩B={x|0≤x<},∴?A∪B(A∩B)=(﹣∞,0)∪[,1],故選:C.【點(diǎn)評】本題考查了集合的交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算,是一道基礎(chǔ)題.3.定義域?yàn)镽的函數(shù)當(dāng)時(shí),,若時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(
)A. B.C. D.參考答案:C4.已知集合,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A試題分析:并集是所有元素,故.考點(diǎn):集合并集.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】集合的三要素是:確定性、互異性和無序性.研究一個(gè)集合,我們首先要看清楚它的研究對象,是實(shí)數(shù)還是點(diǎn)的坐標(biāo)還是其它的一些元素,這是很關(guān)鍵的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我們首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的過程中,要注意分母不能為零.元素與集合之間是屬于和不屬于的關(guān)系,集合與集合間有包含關(guān)系.在求交集時(shí)注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍.熟練畫數(shù)軸來解交集、并集和補(bǔ)集的題目.5.下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若x2+y2=0,則x=y=0”的逆否命題為“若x,y中至少有一個(gè)不為0,則x2+y2≠0”B.若命題,則¬p:?x∈R,x2﹣x+1>0C.△ABC中,sinA>sinB是A>B的充要條件D.若向量,滿足?<0,則與的夾角為鈍角參考答案:D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.【專題】綜合題.【分析】A.我們知道:命題“若p,則q”的逆否命題是“若¬q,則¬p”,同時(shí)注意“x=y=0”的否定是“x,y中至少有一個(gè)不為0”,據(jù)此可以判斷出A的真假.B.依據(jù)“命題:?x0∈R,結(jié)論p成立”,則¬p為:“?x∈R,結(jié)論p的反面成立”,可以判斷出B的真假.C.由于,因此在△ABC中,sinA>sinB?>0?A>B.由此可以判斷出C是否正確.D.由向量,可得的夾角,可以判斷出D是否正確.【解答】解:A.依據(jù)命題“若p,則q”的逆否命題是“若¬q,則¬p”,可知:命題“若x2+y2=0,則x=y=0”的逆否命題為“若x,y中至少有一個(gè)不為0,則x2+y2≠0”.可判斷出A正確.B.依據(jù)命題的否定法則:“命題:?x0∈R,﹣x0+1≤0”的否定應(yīng)是“?x∈R,x2﹣x+1>0”,故B是真命題.C.由于,在△ABC中,∵0<A+B<π,∴0,∴,又0<B<A<π,∴0<A﹣B<π,∴,∴.據(jù)以上可知:在△ABC中,sinA>sinB?>0?A>B.故在△ABC中,sinA>sinB是A>B的充要條件.因此C正確.D.由向量,∴,∴的夾角,∴向量與的夾角不一定是鈍角,亦可以為平角π,∴可以判斷出D是錯(cuò)誤的.故答案是D.【點(diǎn)評】本題綜合考查了四種命題之間的關(guān)系、命題的否定、三角形中的角大小與其相應(yīng)的正弦值之間的大小關(guān)系、向量的夾角,解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握其有關(guān)基礎(chǔ)知識.6.若對任意,,(、)有唯一確定的與之對應(yīng),稱為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)、的廣義“距離”:(1)非負(fù)性:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號;(2)對稱性:;(3)三角形不等式:對任意的實(shí)數(shù)z均成立.今給出四個(gè)二元函數(shù):①;②;③;④.能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號是
A.①
B.②
C.③
D.④參考答案:A略7.(5分)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)A,B為拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn),且滿足∠AFB=120°.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則的最小值為()A.B.C.1D.參考答案:D【考點(diǎn)】:拋物線的簡單性質(zhì).【專題】:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】:先畫出圖象、做出輔助線,設(shè)|AF|=a、|BF|=b,由拋物線定義得2|MN|=a+b,由題意和余弦定理可得|AB|2=(a+b)2﹣ab,再根據(jù)基本不等式,求得|AB|2的取值范圍,代入化簡即可得到答案.解:如右圖:過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線AQ、BP,垂足分別是Q、P,設(shè)|AF|=a,|BF|=b,連接AF、BF,由拋物線定義,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2﹣ab,因?yàn)閍b≤,則(a+b)2﹣ab≥(a+b)2﹣=(a+b)2,即|AB|2≥(a+b)2,所以≥=3,則,即所求的最小值是,故選:D.【點(diǎn)評】:本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質(zhì),基本不等式求最值,余弦定理的應(yīng)用等知識,屬于中檔題.8.已知M,N是四邊形ABCD所在平面內(nèi)的點(diǎn),滿足:,則(
)A. B.C. D.參考答案:C【分析】將變形為,可得四邊形是平行四邊形,又由利用向量加法運(yùn)算法則可得.【詳解】由得,所以四邊形是平行四邊形,又由得,選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算,向量加法的三角形法則,考查轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算能力,屬于基本題.9.如圖,由函數(shù)的圖象,直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于 (
)A. B.C. D.參考答案:B10.不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于A. B.2 C. D.參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐A-SBC的體積為,各頂點(diǎn)均在以SC為直徑球面上,,則這個(gè)球的表面積為_____________。參考答案:16π【分析】由,所以為直角三角形,設(shè)三棱錐的高為,解得,取的中點(diǎn),連接,根據(jù)球的性質(zhì),可得平面,得出,再在在直角中,利用勾股定理,求得球的半徑,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)球的直徑是該球面上的兩點(diǎn),如圖所示,因?yàn)椋詾橹苯侨切危O(shè)三棱錐的高為,則,解得,取的中點(diǎn),連接,根據(jù)球的性質(zhì),可得平面,所以,在直角中,,即球的半徑為,所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球內(nèi)接三棱錐的組合體的應(yīng)用,其中解答中熟練球的截面的性質(zhì),求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.若不等式在時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.參考答案:13.已知離心率是的雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=20x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.參考答案:【考點(diǎn)】KI:圓錐曲線的綜合.【分析】利用拋物線方程求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),通過離心率求出a,然后求解b,即可求解雙曲線方程.【解答】解:離心率是的雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=20x的焦點(diǎn)重合,可得c=5,=,可得a=,則b==2.所求的雙曲線方程為:.故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,雙曲線方程的求法,考查計(jì)算能力.14.在大小相同的4個(gè)小球中,2個(gè)是紅球,2個(gè)是白球,若從中隨機(jī)抽取2個(gè)球,則所抽取的球中至少有一個(gè)紅球的概率是.參考答案:【考點(diǎn)】等可能事件的概率.【分析】先求出“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的對立事件的概率,再用1減去此概率的值,即得所求.【解答】解:從中隨機(jī)抽取2個(gè)球,所有的抽法共有=6種,事件“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的對立事件為“所抽取的球中沒有紅球”,而事件:“所抽取的球中沒有紅球”的概率為=,故事件“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的概率等于1﹣=,故答案為.15.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組,且z=2x-y的最大值為a,則=______.參考答案:6分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用平移法進(jìn)行求解可得a的值,然后求解定積分即可.【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:(陰影部分).由z=2x-y得y=2x-z,平移直線y=2x-z,由圖象可知當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),直線y=2x-z的截距最小,此時(shí)z最大.由,得,即a=zmax=2×4-2=6,則==6lnx=6.故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及函數(shù)的積分公式是解決此類問題的基本方法,屬中檔題.16.已知函數(shù),其中,.(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè),函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,求的取值范圍.參考答案:解:(Ⅰ)(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),令(x)=0,則=0,x2=2a,(1)當(dāng)a>0時(shí),0<2a,當(dāng)x變化時(shí),(x),(x)的變化情況如下表:x(-,0)0(0,2a)2a
(2a,+)(x)+0-0+(x)↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)(x)在區(qū)間(-,0)和(2a,+)內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間(0,2a)內(nèi)是減函數(shù).(2)當(dāng)a<0時(shí),2a<0,當(dāng)x變化時(shí),(x),(x)的變化情況如下表:x(-,2a)2a
(2a,0)0(0,+)(x)+0-0+(x)↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)(x)在區(qū)間(-,2a)和(0,+)內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間(2a,0)內(nèi)是減函數(shù).(Ⅱ)由及(Ⅰ),(x)在[1,2a]內(nèi)是減函數(shù),在[2a,2]內(nèi)是增函數(shù),又(2)-(1)=(8-12a+b)-(1-3a+b)=7-9a>0,∴M=(2),m=(2a)=8a3-12a3+b=b-4a3.∴M-m=(8-12a+b)-(b-4a3)=4a3-12a+8.設(shè)g(a)=4a3-12a+8,∴(a)=12a2-12=12(a+1)(a-1)<0(a[]).∴g(a)在[]內(nèi)是減函數(shù).故g(a)max=g()=2+=,g(a)min=g()=-1+4=.∴≤M-m≤.
略17.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,4},B={3,4},則?U(A∪B)=
.參考答案:{2}【考點(diǎn)】1H:交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】根據(jù)已知中集合U,A,B,結(jié)合集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算的定義,可得答案.【解答】解:∵集合A={1,4},B={3,4},∴A∪B={1,3,4},又∵全集U={1,2,3,4},∴?U(A∪B)={2},故答案為:{2}【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是集合的交集,并集,補(bǔ)集運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖,在多面體ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD.四邊形ADEF為正方形,四邊形ABCD為梯形,且,是邊長為1的等邊三角形,M為線段BD中點(diǎn),.(1)求證:;(2)求直線MF與平面CDE所成角的正弦值;(3)線段BD上是否存在點(diǎn)N,使得直線平面?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.參考答案:(1)見解析(2)(3)線段BD上存在點(diǎn)N,使得直線平面AFN,且,詳見解析.【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,由此證得.(2)取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,證得兩兩垂直.分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,通過計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算出線面角的正弦值.(3)通過向量共線設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),求得的坐標(biāo),根據(jù)列方程,解方程求得的值,由此證得存在點(diǎn)符合題意.【詳解】(1)證明:因?yàn)闉檎叫?,所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?,且平面平面,所以平面.所以?/p>
(2)取AD中點(diǎn)O,EF中點(diǎn)K,連接OB,OK.于是在△ABD中,,在正方ADEF中,又平面平面,故平面,進(jìn)而,即兩兩垂直.
分別以為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).于是,,,,,所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則
即
令,則,則.設(shè)直線與平面所成角為,
(3)要使直線平面,只需,設(shè),則,,,所以,又,由得解得所以線段BD上存在點(diǎn)N,使得直線平面AFN,且.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查利用空間向量法求線面角的正弦值,考查利用空間向量法求解存在性問題,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19.已知橢圓過點(diǎn),且離心率e=.(Ⅰ)求橢圓方程;(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且線段的垂直平分線過定點(diǎn),求的取值范圍。參考答案:(Ⅱ)設(shè)
由消去并整理得
…………8分∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),即又
中點(diǎn)的坐標(biāo)為……10分設(shè)的垂直平分線方程:在上
即……11分將上式代入得
即或
的取值范圍為……12分
略20.(本題滿分9分)在中,內(nèi)角的對邊分別為,且,.(Ⅰ)求角的大?。唬á颍┰O(shè)邊的中點(diǎn)為,,求的面積.參考答案:【答案解析】(1)(2)解析:解:(I)由,得又代入得由,得得,(II),則,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正弦定理列出關(guān)系式求出角A,再根據(jù)余弦定理求出邊長及三角形的面積.21.班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析,決定從全班25位女同學(xué),15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析.(Ⅰ)如果按性別比例分層抽樣,求樣本中男生、女生人數(shù)分別是多少;(Ⅱ)隨機(jī)抽取8位同學(xué),數(shù)
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