廣東省廣州市從化第四中學2021-2022學年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

廣東省廣州市從化第四中學2021-2022學年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】先判斷函數(shù)的單調性，由于在定義域上兩個增函數(shù)的和仍為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為單調增函數(shù)，而f（0）＜0，f（）＞0由零點存在性定理可判斷此函數(shù)僅有一個零點【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域為[0，+∞）∵y=在定義域上為增函數(shù)，y=﹣在定義域上為增函數(shù)∴函數(shù)f（x）=在定義域上為增函數(shù)而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0故函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)為1個故選B【點評】本題主要考查了函數(shù)零點的判斷方法，零點存在性定理的意義和運用，函數(shù)單調性的判斷和意義，屬基礎題2.已知平面，直線，點A，下面四個命題，其中正確的命題是A.若，則與必為異面直線；

B.若則；

C.若則；

D.若，則.參考答案：D3.設數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：因該函數(shù)的對稱軸,結合二次函數(shù)的圖象可知當,即時,單調遞增,應選C.考點：數(shù)列的單調性等有關知識的綜合運用．【易錯點晴】數(shù)列是高中數(shù)學中的重要內容之一,也高考和各級各類考試的重要內容和考點.解答本題時要充分利用題設中提供的有關信息,借助二次函數(shù)的對稱軸進行數(shù)形結合,合理準確地建立不等式是解答好本題的關鍵.求解時很多學生可能會出現(xiàn)將對稱軸放在的左邊而得,而得的答案.這是極其容易出現(xiàn)的錯誤之一.4.若，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，則=

A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.已知等差數(shù)列單調遞增且滿足，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B試題分析：∵等差數(shù)列單調遞增，∴，∵，即，即，∴.考點：等差數(shù)列的通項公式.6.在復平面內，復數(shù)（是虛數(shù)單位）所對應的點位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B略7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用圖像可得A值，由周期性可得，代點可得值，可得函數(shù)解析式，代值計算可求?！驹斀狻拷猓河深}意和圖像可得，，，解得，代入點可得結合可得，故函數(shù)的解析式為故選：C

8.下列命題中的假命題是（）A．?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0 B．?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1C．?x＞0，5x＞3x D．?x0∈R，lnx0＜0參考答案：A【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】利用反例判斷A的正誤；利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性以及最值，推出B的正誤；指數(shù)函數(shù)的性質判斷C的正誤；特例判斷D的正誤．【解答】解：x∈（0，）時，x＞sinx，所以?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0不正確；x∈（﹣∞，0），令g（x）=ex﹣x﹣1，可得g′（x）=ex﹣1＜0，函數(shù)是減函數(shù)，g（x）＞g（0）=0，可得?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1恒成立．由指數(shù)函數(shù)的性質的可知，?x＞0，5x＞3x正確；?x0∈R，lnx0＜0，的當x∈（0，1）時，恒成立，所以正確；故選：A．【點評】本題考查命題的真假的判斷與應用，考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系，函數(shù)的最值的求法，指數(shù)函數(shù)的性質，命題的真假的判斷，考查計算能力．9.已知為平面上的定點，、、是平面上不共線的三點，若，則DABC是（

）（A）以AB為底邊的等腰三角形

（B）以BC為底邊的等腰三角形（C）以AB為斜邊的直角三角形

（D）以BC為斜邊的直角三角形參考答案：B10.已知則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知曲線的極坐標方程為（，），曲線在點處的切線為，若以極點為坐標原點，以極軸為軸的正半軸建立直角坐標系，則的直角坐標方程為

．參考答案：根據(jù)極坐標與直角坐標的轉化公式可以得到曲線點,因為點在圓上,故圓在點處的切線方程為,故填.12.以雙曲線的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是

▲

．參考答案：13.在區(qū)間[－1,5]上任取一個實數(shù)b，則曲線在點處切線的傾斜角為銳角的概率為

．參考答案：∵，∴∴，∴．由幾何概型，可得所求概率為．故答案為．14.在平面四邊形ABCD中，，，，則CD的取值范圍是___________．參考答案：【分析】首先補全平面四邊形，成為等腰直角三角形，在內平移直線都能滿足條件，通過數(shù)形結合，分析的兩個臨界點得到的取值范圍.【詳解】如圖1，延長和交于點，由已知可知是等腰直角三角形，直線向下平移，當點和點重合時，如圖2，此時，，，中，根據(jù)正弦定理可知，，解得：,圖1的向上平移，當重合于點時，此時,的取值范圍是.,故答案為：【點睛】本題考查求幾何圖形中的長度計算，意在考查數(shù)形結合分析問題和解決問題的能力，本題的關鍵是通過平行移動，根據(jù)臨界點分析出的長度.15.以橢圓的右焦點為焦點，且頂點在原點的拋物線標準方程為______.參考答案：

略16.在△中，，，且在邊上分別取兩點，點

關于線段的對稱點正好落在邊上，則線段長度的最小值為

．參考答案：方法一：設，

∵A點與點P關于線段MN對稱，∴，，

在中，，，，，

由正弦定理：

則，當時此時，.方法二：建立如圖如示坐標系

由

得，設，，

與交于點，由，得，

，此時．

17.

.參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，短軸的一個頂點與橢圓兩焦點構成的三角形面積為2．（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線y=x+m與橢圓交于A，B兩點，求△OAB面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．【專題】方程思想；設而不求法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（I）運用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式及a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），將y=x+m代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，由直線與y軸交于（0，m），則S△OAB=|m|?|x1﹣x2|，化簡整理，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（I）由題意可得，e==，?2c?b=2，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，即有橢圓方程為+=1；（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），將y=x+m代入橢圓方程x2+4y2=8，可得x2+2mx+2m2﹣4=0，判別式△=4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2且m≠0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，由直線與y軸交于（0，m），則S△OAB=|m|?|x1﹣x2|=|m|?=|m|?≤=2，當且僅當m=±時取得等號．則OAB面積的最大值為2．【點評】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和基本不等式，考查運算化簡能力，屬于中檔題．19.（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形A1ABB1為菱形，∠A1AB=45°，四邊形BCC1B1為矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求證：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．參考答案：考點： 與二面角有關的立體幾何綜合題．專題： 綜合題；空間位置關系與距離；空間角．分析： （1）證明AB1⊥面A1BC，只需證明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，證明CB⊥平面AA1B1B，利用四邊形A1ABB1為菱形可證；（2）過B作BD⊥AA1于D，連接CD，證明∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．解答： （1）證明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因為四邊形BCC1B1為矩形，所以CB⊥BB1，因為AB∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B，又因為AB1?平面AA1B1B，所以CB⊥AB1，又因為四邊形A1ABB1為菱形，所以AB1⊥A1B，因為CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC；（2）解：過B作BD⊥AA1于D，連接CD因為CB⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1，因為CB∩BD=B，所以AA1⊥面BCD，又因為CD?面BCD，所以AA1⊥CD，所以，∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角．在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，所以cos∠CDB==．點評： 本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面垂直的判定，作出面面角是關鍵．20.（12分）已知在銳角中，角對邊分別為且（1）求；（2）求函數(shù)的最小正周期及單調遞減區(qū)間；參考答案：解析：（1）在中，利用余弦定理，，

代入得，

而是銳角三角形，所以角·······················5分

（2）

周期

因為

所以·························8分

當時，又；

所以，在上的單調減區(qū)間為········12分21.

（12分）如圖：在三棱錐中，面，是直角三角形，，，，點分別為的中點。⑴求證：；⑵求直線與平面所成的角的大?。虎乔蠖娼堑恼兄?。參考答案：解析：⑴連結。在中，，點為的中點，又面，即為在平面內的射影

（2分）分別為的中點

（4分）⑵面，連結交于點，，平面為直線與平面所成的角，且

（6分）面，，又，，在中，，

（8分）⑶過點作于點，連結，，面，即為在平面內的射影，為二面角的