廣東省廣州市英東中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

廣東省廣州市英東中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則大小關(guān)系為

A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法正確的是（

）A.函數(shù)g(x)的最大值為 B.函數(shù)g(x)的最小正周期為πC.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增參考答案：D【分析】根據(jù)平移變換和伸縮變換的原則可求得的解析式，依次判斷的最值、最小正周期、對(duì)稱軸和單調(diào)性，可求得正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得：最大值為2，可知Q錯(cuò)誤；最小正周期為，可知B錯(cuò)誤；時(shí)，，則不是的對(duì)稱軸，可知C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，可知D正確.本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)平移變換和伸縮變換、正弦型函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、值域和最小正周期的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確圖象變換的基本原則，同時(shí)采用整體對(duì)應(yīng)的方式來判斷正弦型函數(shù)的性質(zhì).3.若，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C4.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)k的范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的T＝（A）29

（B）44 （C）52

（D）62參考答案：A6.設(shè)分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過引圓的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)，為切點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（

） A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A略7.如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為，則的取值范圍是(

)A. B.C. D.參考答案：B試題分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，所以，.又直線與平面所成的角小于等于90°，而為鈍角，所以的范圍為，選B.【考點(diǎn)定位】空間直線與平面所成的角.8.如果，那么下列不等式一定成立的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.某幾何體的三視圖如圖所示（在右邊的網(wǎng)格線中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），則該幾何體的表面積為（）A．48 B．54 C．60 D．64參考答案：C【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該幾何體是底面為矩形的四棱錐，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的表面積即可．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是底面為矩形的四棱錐，如圖所示；根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的表面積為S=S矩形ABCD+S△PAB+2S△PAD+S△PCD=3×6+×6×4+2××3×5+×6×5=60．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用幾何體三視圖求表面積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10.已知f(x)=是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是（

）A．（1，+∞）

B．(-∞,3)

C．(,3)

D．(1,3)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，邊所對(duì)的角分別是已知，若，則的面積是____參考答案：略12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為

.參考答案：13.在一個(gè)密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是

．參考答案：14.已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上的射影是M，定點(diǎn)，2,4,6

則|PA|+|PM|的最小值是____________參考答案：15.將斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體體積是

．參考答案：．【分析】幾何體為兩個(gè)同底等高的圓錐的組合體．【解答】解：等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4，斜邊的高為2．∴旋轉(zhuǎn)后的幾何體為兩個(gè)大小相等的圓錐的組合體．圓錐的底面半徑為2，高為2．∴幾何體的體積V=2×=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征和體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．16.已知五個(gè)實(shí)數(shù)依次成等比數(shù)列，則=___________．參考答案：略17.某高校“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到

（保留三位小數(shù)），所以判定

（填“有”或“沒有”）的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系.參考答案：，有三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+b（a，b為常數(shù)），其圖象是曲線C．（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A處作曲線C的切線l1與曲線C交于另一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處作曲線C的切線l2，設(shè)切線l1，l2的斜率分別為k1，k2．問：是否存在常數(shù)λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可；（2）由于存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，則存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，就把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；（3）假設(shè)存在常數(shù)λ，依據(jù)曲線C在點(diǎn)A處的切線l1與曲線C交于另一點(diǎn)B，曲線C在點(diǎn)B處的切線l2，得到關(guān)于λ的方程，有解則存在，無解則不存在．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）=x3+x2﹣2x+b則f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2，）；（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為由于存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，則即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，令y=2x3+x2+x，則y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，則函數(shù)y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函數(shù)，在（，﹣）上是減函數(shù)，由于x=﹣時(shí)，y=﹣；x=﹣時(shí)，y=﹣；故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；（3）設(shè)點(diǎn)A（x0，f（x0）），則在點(diǎn)A處的切線l1的切線方程為y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），與曲線C聯(lián)立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xB=﹣（2x0+）由題意知，切線l1的斜率為k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率為k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常數(shù)λ，使得k2=λk1，則12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常數(shù)λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=時(shí)，存在常數(shù)λ=4，使得k2=4k1；a≠時(shí)，不存在常數(shù)，使得k2=4k1．【點(diǎn)評(píng)】本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線，同時(shí)還考查了方程根的問題，一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來解決．19.已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；（2）若為的內(nèi)角，，，的面積為，求的周長(zhǎng).參考答案：（I），2;(2).試題分析：（1）先根據(jù)向量數(shù)量積及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù),再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值及對(duì)應(yīng)自變量,(2)先根據(jù)條件求出角A,再利用余弦定理得兩邊平方和,最后根據(jù)基本不等式求兩邊和的最大值,即得的周長(zhǎng)的最大值.試題解析：（1）∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值2．點(diǎn)睛：向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識(shí)都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.對(duì)于此類問題的解決方法就是利用向量的知識(shí)將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，或轉(zhuǎn)化為三角形中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.20.已知函數(shù)f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）． （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求使f（x）=x成立的x的值； （Ⅱ）當(dāng)a∈（0，3），求函數(shù)y=f（x）在x∈上的最大值． 參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的最值及其幾何意義． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=﹣x|x﹣1|+1=，依題意，可得，解之即可； （Ⅱ）當(dāng)a∈（0，3），作出函數(shù)y=f（x）的圖象，分0＜a≤1、1＜a＜2與2≤a＜3三類討論，數(shù)形結(jié)合，即可求得函數(shù)y=f（x）在x∈上的最大值； 【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=﹣x|x﹣1|+1=， 由f（x）=x可得：． 解得x=1， （Ⅱ）f（x）=，作出示意圖， 注意到幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的值： f（0）=f（a）=1，f（）=1﹣， 當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為f（1）=a； 1＜a＜2時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 函數(shù)的最大值為f（a）=1； 當(dāng)2≤a＜3時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)第增， 且直線x=是函數(shù)的對(duì)稱軸，由于（2﹣）﹣（﹣1）=3﹣a＞0， 故函數(shù)的最大值為f（2）=5﹣2a． 綜上可得，f（x）max=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，綜合考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯思維、抽象思維、創(chuàng)新思維的綜合運(yùn)用，是難題 21.設(shè)全集，集合，集合(Ⅰ)求集合與；

(Ⅱ)求、參考答案：(Ⅰ)，不等式的解為，，(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大??；Ks5u

（3）求證：參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，，令，得或．

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的極大值是，極小值是．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．……………