廣東省揭陽市三都中學2022-2023學年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

廣東省揭陽市三都中學2022-2023學年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《張丘建算經》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問織幾何．”其意思為：有個女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織五尺，最后一天織一尺，三十天織完，問三十天共織布（）A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺參考答案：B【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列的定義與前n項和求解即可．【解答】解：由題意每天織布的數(shù)量組成等差數(shù)列，在等差數(shù)列{an}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的前n項和的求法問題，解題時應注意數(shù)列知識在生產生活中的合理運用，是基礎題目．2.公元前5世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜仍然前于他10米.當阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.根據(jù)這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（

）A. B. C. D.參考答案：B根據(jù)條件，烏龜每次爬行的距離構成等比數(shù)列，公比為當阿基里斯和烏龜?shù)乃俣惹『脼槊讜r，烏龜爬行的總距離為故選3.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，，若有窮數(shù)列（）的前項和等于，則等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B，因為，所以，即函數(shù)單調遞減，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即數(shù)列為首項為，公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得，選B.4.巳知集合，是虛數(shù)單位，設為整數(shù)集，則集合中的元素個數(shù)是A．3個

B．２個

C．１個

D．0個參考答案：B略5.過橢圓上一點作圓的兩條切線,點為切點.過的直線與軸,軸分別交于點兩點,則的面積的最小值為A.

B.

C.1

D.

參考答案：B6.已知實數(shù)成等差數(shù)列，且函數(shù)當時取得極大值，則

等于（）

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.若cos（﹣α）=，則cos（+2α）的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】利用二倍角公式求出cos（﹣2α）的值，再利用誘導公式求出cos（+2α）的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，∴cos（+2α）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=．故選：A．【點評】本題考查了余弦二倍角公式與誘導公式的應用問題，是基礎題．8.已知等比數(shù)列{}的前n項和，則…等于（）A．B．

C．D．參考答案：D略3、的最大值為（

）A、9

B、

C、

D、參考答案：：B10.已知集合A={－1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，則A∩B=A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{－1,1} D．{0,1,2}參考答案：A由題意得，，則．故選A．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，則m=．參考答案：﹣1考點： 平面向量共線（平行）的坐標表示．分析： 先求出兩個向量的和的坐標，再根據(jù)向量平行的充要條件寫出關于m的等式，解方程得到要求的數(shù)值，注意公式不要用錯公式．解答： 解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，所以m=﹣1故答案為：﹣1點評： 掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題，能用坐標形式的充要條件解決求值問題．12.已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，，拋物線C上的點B滿足AB⊥AF，且|BF|=4，則p=．參考答案：2或6【考點】拋物線的簡單性質．【分析】求出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出B的橫坐標，利用拋物線的定義，即可得出結論．【解答】解：由題意，kAF=﹣，∴直線AB的方程為y=x+，代入y2=2px，可得p2x2﹣12px+36=0，∴x=，∵|BF|=4，∴+=4，∴p=2或6，故答案為2或6．【點評】本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線位置關系的運用，屬于中檔題．13.某高中共有學生900人，其中高一年級240人，高二年級260人，為做某項調查，擬采用分層抽樣法抽取容量為45的樣本，則在高三年級抽取的人數(shù)是

______．參考答案：20高三的人數(shù)為400人，所以高三抽出的人數(shù)為人。14.（幾何證明選講）如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，則線段AE的長為

.

參考答案：略15.已知集合A=｛x|lg|x|=0｝，B=｛x|＜2x+1＜4｝,則A∩B=

．參考答案：16.若二次函數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍為

。參考答案：17.在△ABC中，，△ABC的面積，為線段BC上一定點，且滿足，若P為線段BC上任意一點，且恒有，則線段BC的長為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，已知(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在請說明理由；(3)證明：對任意，都有．參考答案：（文）(1)∵，∴當時，．

兩式相減得，

∴

…………2分

∵，∴，又，∴

∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列．……2分

∴

…………1分

(2)由(1)知，

…………2分假設正整數(shù)滿足條件，

則

∴，

解得；

…………3分

(3)

…………2分

于是

…………2分

…………3分

∴

…………1分19.10月1日，某品牌的兩款最新手機（記為W型號，T型號）同時投放市場，手機廠商為了解這兩款手機的銷售情況，在10月1日當天，隨機調查了5個手機店中這兩款手機的銷量（單位：部），得到下表：手機店ABCDEW型號手機銷量6613811T型號手機銷量1291364（Ⅰ）若在10月1日當天，從A，B這兩個手機店售出的新款手機中各隨機抽取1部，求抽取的2部手機中至少有一部為W型號手機的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從這5個手機店中任選3個舉行促銷活動，用X表示其中W型號手機銷量超過T型號手機銷量的手機店的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；（III）經測算，W型號手機的銷售成本（百元）與銷量（部）滿足關系.若表中W型號手機銷量的方差，試給出表中5個手機店的W型號手機銷售成本的方差的值.（用m表示，結論不要求證明）參考答案：（I）；（II）見解析；(Ⅲ)【分析】（Ⅰ）將從，這兩個手機店售出的新款手機中分別隨機抽取的1部手機記為甲和乙，記事件“甲手機為型號手機”為，記事件“乙手機為型號手機”為，分別求出的值，根據(jù)相互獨立事件的公式求出，最后利用對立事件概率公式求出抽取的2部手機中至少有1部為型號手機的概率；（Ⅱ）由表可知：型號手機銷量超過型號手機銷量的手機店共有2個，故的所有可能取值為：0，1，2，分別求出的值，寫出隨機變量的分布列，并根據(jù)數(shù)學期望計算公式求出；（III）根據(jù)方差的性質和變量的關系即可求出方差的值.【詳解】（Ⅰ）將從，這兩個手機店售出的新款手機中分別隨機抽取的1部手機記為甲和乙，記事件“甲手機為型號手機”為，記事件“乙手機為型號手機”為，依題意，有，，且事件、相互獨立設“抽取的2部手機中至少有1部為型號手機”為事件，則即抽取的2部手機中至少有1部為型號手機的概率為（Ⅱ）由表可知：型號手機銷量超過型號手機銷量的手機店共有2個，故的所有可能取值為：0，1，2且，，所以隨機變量的分布列為：012

故（III）.【點睛】本題考查了相互獨立事件的概率，離散型隨機變量分布列、數(shù)學期望的計算，以及方差的性質，考查了數(shù)學運算能力.20.已知函數(shù)f(x)=4tanxsin()cos()－.（Ⅰ）求f(x)的定義域與最小正周期；（Ⅱ）討論f(x)在區(qū)間[]上的單調性.參考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減.解：令函數(shù)的單調遞增區(qū)間是由,得設，易知.所以,當時,在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減.21.在四棱錐P—ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，△PDA，△PAB都是邊長為1的正三角形.（1）證明：平面PDB⊥平面ABCD；（2）求點C到平面PAD的距離.參考答案：（Ⅰ）證明：如圖，連接∵，都是正三角形，∴，設為的中點，∴，，在Rt中，，∴，∵為的中點，∴，在等腰中，，，∴，在中，，，，∵，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，設點到平面的距離為，則，即，∴，∴點到平面的距離為．22.（本小題滿分分）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行，求的值；（2）若，恒成立，求的取值范圍．參考答案：（1）