廣東省揭陽市南僑中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省揭陽市南僑中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，則“a=3”是“A?B“的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】先有a=3成立判斷是否能推出A?B成立，反之判斷“A?B”成立是否能推出a=3成立；利用充要條件的題意得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)a=3時(shí)，A={1，3}所以A?B，即a=3能推出A?B；反之當(dāng)A?B時(shí)，所以a=3或a=2，所以A?B成立，推不出a=3故“a=3”是“A?B”的充分不必要條件故選A．2.已知函數(shù)f（x）=﹣x2+2lnx的極大值是函數(shù)g（x）=x+的極小值的﹣倍，并且，不等式≤1恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)f（x）的極大值，再求出g（x）的極小值，得到關(guān)于a的方程即可得出a的值，通過對(duì)k﹣1分正負(fù)討論，把要證明的不等式變形等價(jià)轉(zhuǎn)化，再利用導(dǎo)數(shù)研究其極值與最值即可．【解答】解：f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，故f（x）極大值=f（1）=﹣1；g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，故g（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，故g（x）極小值=g（）=2，由函數(shù)f（x）的極大值是函數(shù)g（x）的極小值的﹣倍，得：2?（﹣）=﹣1，解得：a=﹣1；令h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2+2lnx﹣x﹣，x∈[，3]．則h′（x）=﹣2x+﹣1+=﹣，令h′（x）=0，解得x=1．當(dāng)x∈[，1）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值h（1）=﹣3．h（3）=﹣+2ln3，h（）=﹣e﹣2﹣，可知：h（3）＜h（）．①當(dāng)k﹣1＞0時(shí)，對(duì)于?x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價(jià)于k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max，∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又k＞1，∴k＞1．②當(dāng)k﹣1＜0時(shí)，對(duì)于?x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價(jià)于k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min，∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣+2ln3，∴k≤﹣+2ln3，又∵k≤1，∴k≤﹣+2ln3．綜上可知：實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，﹣+2ln3]∪（1，+∞）．故選：B．3.若，則等于A.2

B.0

C.-4

D.-2參考答案：C4.閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S＝()A．45

B．35C．21

D．15參考答案：D5.參考答案：A6.已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一焦點(diǎn)距離為

（

）A

B

C

D參考答案：D略7.若變量滿足約束條件則的最大值為（

）A．

-3

B.1

C.

2

D.

3參考答案：D略8.以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（） A． B． C． D． 參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【專題】計(jì)算題． 【分析】先求出橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)即所求雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)可知且焦點(diǎn)位置確定，即可求解雙曲線的方程 【解答】解：∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上且a=7，b=，c==5 ∴橢圓的焦點(diǎn)為（0，5），（0，﹣5），頂點(diǎn)為（0，7），（0，﹣7） ∴雙曲線的頂點(diǎn)（0，5），（0，﹣5），焦點(diǎn)（0，7），（0，﹣7） ∴a=5，c=7，b=2 ∴雙曲線方程是 故選C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用橢圓與雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓與雙曲線的性質(zhì)，正確找出題中的相關(guān)量 9.我們把離心率為黃金分割系數(shù)的橢圓稱為“黃金橢圓”.已知“黃金橢圓”C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A，B分別為右頂點(diǎn)和是上頂點(diǎn)，則（

）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：D【分析】設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題意寫出A,B,F的坐標(biāo)，利用向量與向量乘積為0，得到.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，由已知，得則離心率即故答案選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.參考答案：略12.關(guān)于二項(xiàng)式(x-1)2005有下列命題：①該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1；②該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為Cx1999；③該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1002項(xiàng)；④當(dāng)x=2006時(shí)，(x-1)2005除以2006的余數(shù)是2005．其中正確命題的序號(hào)是__________．(注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)參考答案：①④略13.函數(shù)的極大值點(diǎn)是_______，極大值是________。參考答案：2

16【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的極大值點(diǎn)和極大值.【詳解】依題意，故函數(shù)在或時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，在時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極大值.即極大值點(diǎn)為，極大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)極值點(diǎn)和極值的求法，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù),已知f(x)在x=－3時(shí)取得極值,則a=_____參考答案：5函數(shù)f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=-3時(shí)取得極值，∴f′（-3）=3×9-6a+3=0，解得a=5．

15.已知，，，，則__________（其中）．參考答案：試題分析：第一個(gè)式子左邊1個(gè)數(shù)的平方，右邊從1開始，連續(xù)的2個(gè)整數(shù)相乘，再乘；第二個(gè)式子左邊2個(gè)數(shù)的平方，右邊從2開始，連續(xù)的2個(gè)整數(shù)相乘，再乘；第個(gè)式子左邊個(gè)數(shù)的平方和，右邊從開始，連續(xù)的2個(gè)數(shù)相乘，在乘，即為．考點(diǎn)：歸納推理的應(yīng)用．16.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.

參考答案：17.設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P（﹣1，0）的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若|FQ|=2，則直線l的斜率等于

．參考答案：不存在【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意設(shè)直線l的方程為my=x+1，聯(lián)立得到y(tǒng)2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=4m，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由拋物線C：y2=4x得焦點(diǎn)F（1，0）．再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出m及k，再代入△判斷是否成立即可．【解答】解：由題意設(shè)直線l的方程為my=x+1，聯(lián)立得到y(tǒng)2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由拋物線C：y2=4x得焦點(diǎn)F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化為m2=1，解得m=±1，不滿足△＞0．故滿足條件的直線l不存在．故答案為不存在．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系與△的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力和計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)的Sn=n2．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，記數(shù)列{bn}，的前n項(xiàng)和為Tn，求使成立的最小正整數(shù)n的值．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1求通項(xiàng)公式，a1=S1=1符合上式，從而求出通項(xiàng)公式．，（II）由（I）求得的an求出bn，利用裂項(xiàng)求和方法求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，解不等式求得最小的正整數(shù)n．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=n2當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1=（n﹣1）2∴相減得：an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1又a1=S1=1符合上式∴數(shù)列{an}，的通項(xiàng)公式an=2n﹣1（II）由（I）知∴Tn=b1+b2+b3++bn==又∵∴∴成立的最小正整數(shù)n的值為519.已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，.（1）求直線的方程；（2）圓的圓心在直線上，且過點(diǎn)和，求圓的方程.參考答案：(1)(2)設(shè)圓心為,則解得

20.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。

參考答案：

略21.已知函數(shù)f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的最值．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈，可求范圍x+∈，即可求得f（x）的取值范圍，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈，∴x+∈，∴sin（x+）∈，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈，∴可解得f（x）在區(qū)間上的最小值為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．22.已知，函數(shù)，，

.（I）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成