廣東省揭陽(yáng)市大南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

廣東省揭陽(yáng)市大南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某高中生共有2400人，其中高一年級(jí)800人，高二年級(jí)700人，高三年級(jí)900人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取一個(gè)容量為48的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取人數(shù)分別為（）A.15，21，12

B.16，14，18

C.15，19，14

D.16，18，14參考答案：B由分層抽樣在各層中的抽樣比為,則在高一年級(jí)抽取的人數(shù)是人,在高二年級(jí)抽取的人數(shù)是人,在高三年級(jí)抽取的人數(shù)是人,故選B.

2.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，雙曲線﹣=1的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意，雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=±x，根據(jù)以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，可得（2，2）在橢圓C：+=1（a＞b＞0），利用e=，即可求得橢圓方程．【解答】解：由題意，雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=±x∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，故邊長(zhǎng)為4，∴（2，2）在橢圓C：+=1（a＞b＞0）上∴，∵e=，∴，∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴橢圓方程為+=1．故選D．3.若，則的值為（

）A-

B

1

C

D

參考答案：B4.已知等比數(shù)列中，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則等于A．16

B.8

C.4

D.2參考答案：B略5.已知直線，平面，且，下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是①若，則

②若，則③若，則;

④若，則A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B6.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，則P（X＞4）的值等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6參考答案：A【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性，即可求得P（X＞4）．【解答】解：∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，o2），∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x=2P（0＜X＜4）=0.8，∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，故選A．7.下列結(jié)論不正確的是(

)A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則參考答案：D略8.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有A．4種B．10種

C．18種

D．20種參考答案：B略9.曲線和直線所圍成圖形的面積是（

）A．4

B．6

C．8

D．10參考答案：C10.某人朝正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值為（

）A.

B.2

C.2或

D.3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后，擦去第奇數(shù)行中的奇數(shù)和第偶數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列{an}．若an=902，則n=．參考答案：436【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理；數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法．【分析】利用累加法，求出新數(shù)列每一行的第一個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)新新數(shù)列每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{bn}，則b1=3，b2=6，b3=11，b4=18，b5=27，則b2﹣b1=3，b3﹣b2=5，b4﹣b3=7，b5﹣b4=9，…bn﹣bn﹣1=2（n﹣1）+1=2n﹣1，等式兩邊同時(shí)相加得bn﹣b1=3+6+…+（2n﹣1）==（n+1）（n﹣1）=n2﹣1，即bn=b1+n2﹣1=n2+2，假設(shè)an=902所處的行數(shù)為k行，則由n2+2≤902，得n2≤900，解得n≤30，∴an=902位于第30行，而且為第30行的第1個(gè)數(shù)，數(shù)列{an}的前29行共有1+2+3…+29=個(gè)，則an=902位于435+1=436個(gè)，即n=436．故答案為：436．12.為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布.已知成績(jī)?cè)?17.5分以上（含117.5分）的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績(jī)不超過(guò)82.5分的概率為_(kāi)________；如果成績(jī)大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有________人.（若，則，參考答案：0.16；

10人.【分析】根據(jù)已知，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可求出學(xué)生成績(jī)不超過(guò)82.5分的概率，求出，進(jìn)而求出學(xué)生總?cè)藬?shù)，再由，即可求解.【詳解】，，成績(jī)?cè)?17.5分以上（含117.5分）的學(xué)生有80人，高三考生總?cè)藬?shù)有人，，本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有人.故答案為:0.16；10人.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)及應(yīng)用，運(yùn)用概率估計(jì)實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題.13.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則________________.

參考答案：214.已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是．參考答案：y=2x【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】由已知函數(shù)的奇偶性結(jié)合x(chóng)≤0時(shí)的解析式求出x＞0時(shí)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），然后代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，設(shè)x＞0，則﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x，則f′（x）=ex﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案為：y=2x．15.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面積是．參考答案：4【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義和條件可得△AKF為正三角形，F(xiàn)到l的距離為d=2，結(jié)合中位線定理，可得|AK|=4，根據(jù)正三角形的面積公式可得到答案．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=﹣1，由拋物線的定義可得|AF|=|AK|，由直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得|FK|=|AF|，即有△AKF為正三角形，由F到l的距離為d=2，則|AK|=4，△AKF的面積是×16=4．故答案為：4．16.隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩個(gè)班各10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高（單位：cm）獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如下圖甲，在樣本的20人中，記身高在，的人數(shù)依次為、、、．圖乙是統(tǒng)計(jì)樣本中身高在一定范圍內(nèi)的人數(shù)的算法流程圖，由圖甲可知甲、乙兩班中平均身高較高的是

班；圖乙輸出的

．（用數(shù)字作答）參考答案：乙，1817.當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）過(guò)拋物線焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑。如圖，已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線交拋物線于、

兩點(diǎn)。過(guò)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、.（1）求出拋物線的通徑，證明和都是定值，并求出這個(gè)定值；（2）證明：.參考答案：解：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線（1）時(shí)、，通徑，、，是定值.AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB：由得，所以，是定值.（2）、，所以方法二：由拋物線知：19.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E（﹣1，0），F(xiàn)（1，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，），M、N為橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若⊥，試求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若A（x1，0），B（x2，0）為x軸上兩點(diǎn)，且x1x2=2，試判斷直線MA，NB的交點(diǎn)P是否在橢圓C上，并證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）利用橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的定義及焦點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過(guò)設(shè)M（m，n），N（m，﹣n），利用，計(jì)算即得結(jié)論；（3）通過(guò)設(shè)M（m，n）、直線MA與直線NB交點(diǎn)為P（x0，y0），分別將點(diǎn)P代入直線MA、NB的方程，利用x1x2=2、m2=2﹣2n2，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】（1）解：依定義，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，∴4a2=8，即a2=2，又∵b2=a2﹣1=1，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：設(shè)M（m，n），N（m，﹣n），則，，∵，∴，即（m+1）2﹣n2=0

①∵點(diǎn)M（m，n）在橢圓上，∴

②由①②解得，或，∴符合條件的點(diǎn)有（0，1）、（0，﹣1）、、；（3）結(jié)論：直線MA與直線NB的交點(diǎn)P仍在橢圓C上．證明如下：設(shè)M（m，n），則直線MA的方程為：y（m﹣x1）=n（x﹣x1）

③直線NB的方程為：y（m﹣x2）=﹣n（x﹣x2）

④設(shè)直線MA與直線NB交點(diǎn)為P（x0，y0），將其坐標(biāo)代人③、④并整理，得：（y0﹣n）x1=my0﹣nx0⑤（y0+n）x2=my0+nx0⑥⑤與⑥相乘得：

⑦又x1x2=2，m2=2﹣2n2，代入⑦化簡(jiǎn)得：，∴直線MA與直線NB的交點(diǎn)P仍在橢圓C上．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．20.如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA中點(diǎn)．（1）求證：直線BD⊥平面OAC；（2）求直線MD與平面OAC所成角的大小；（3）求點(diǎn)A到平面OBD的距離．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】方法一：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的數(shù)量積為0，判斷直線與平面垂直．（2）求出平面的法向量，即可求出直線與平面所成的二面角的大?。?）利用向量在平面是的法向量上的投影即可求出點(diǎn)到平面的距離．方法二：（1）直接證明直線BD垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即可利用判定定理證明結(jié)果．（2）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角，通過(guò)解三角形求解即可．（3）作AH⊥OE于點(diǎn)H．說(shuō)明線段AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OBD的距離，利用三角形相似求解即可．【解答】解：方法一：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AO分別x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A﹣xyz．（1）∵=（﹣1，1，0），=（0，0，2），=（1，1，0）∴=0，=﹣1+1=0∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC=A故BD⊥平面OAC

…（2）取平面OAC的法向量=（﹣1，1，0），又=（0，1，﹣1）則：∴=60°故：MD與平面OAC所成角為30°

…（3）設(shè)平面OBD的法向量為=（x，y，z），則取=（2，2，1）則點(diǎn)A到平面OBD的距離為d=…方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD．∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形∴BD⊥AC，又AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC

…（2）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角∵M(jìn)D=，DE=∴直線MD與平面OAC折成的角為30°

…（3）作AH⊥OE于點(diǎn)H．∵BD⊥平面OAC∴BO⊥AH線段AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OBD的距離．∴AH=∴點(diǎn)A到平面OBD的距離為…21.(本題滿分12分）某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽出100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組得到的頻率分布表如下：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[160,165)50.050第2組[165,170)a0.350第3組[170,175)30b第4組[175,180)c0.200第5組[180,185)100.100合計(jì)1001.00（1）為了能選拔出優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第2輪面試，試確定a、b、c的值并求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?（2）在（1）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官的面試，求第4組中至少有一名學(xué)生被A考官面試的概率.參考答案：解：（1）有頻率分布表知

--------------3分

因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣法在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第3組人，第4組人，第5組人，所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面試.