廣東省揭陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省揭陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為q，則q的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：答案:D2.函數(shù)的圖象大致為參考答案：D3.命題“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”的否定是（）A．?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1 B．?x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1 D．?x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】2J：命題的否定．【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可．【解答】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”的否定是?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查命題的否定，基本知識的考查．4.設(shè)a，b∈R，c∈[0，2π），若對于任意實(shí)數(shù)x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組（abc）的組數(shù)為（）A．2組 B．4組 C．5組 D．6組參考答案：B5.在△ABC中，E為AC上一點(diǎn)，，P為BE上任一點(diǎn)，若，則的最小值是A.9 B.10C.11 D.12參考答案：D【分析】由題意結(jié)合向量共線的充分必要條件首先確定的關(guān)系，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可知：，三點(diǎn)共線，則：，據(jù)此有：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上可得：的最小值是12.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查三點(diǎn)共線的充分必要條件，均值不等式求最值的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6.定義在上的函數(shù)滿足.當(dāng)時,,當(dāng)時,.則 （）A．335 B．338 C．1678 D．2012參考答案：B略7.在△ABC中，∠A=30°，，BC=1，則△ABC的面積等于(

)A． B． C．或 D．或參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosA，a與c的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，AB=c=，BC=a=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或b=2，則S△ABC=bcsinA=或．故選D【點(diǎn)評】此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．8.設(shè)全集，集合，則集合=

（▲）A．

B． C．

D．參考答案：B略9.設(shè)向量，，定義一種向量積：．已知向量，，點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則在區(qū)間上的最大值是A．

B．

C．

D．參考答案：D

10.曲線處的切線方程是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

。參考答案：略12.若函數(shù)在其定義域上的最小值為0，則a2b的最小值為

參考答案：13.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)以上、下底面各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正四棱柱為P,以左、右側(cè)面各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正四棱柱為Q，則正方體體對角線AC1在P、Q公共部分的長度為

.參考答案：

畫出圖像如下圖所示，根據(jù)正四棱柱的對稱性可知在，公共部分的長度，也即是在內(nèi)的長度，，設(shè)在，公共部分的長度為，由平行線分線段成比例和正方形的對稱性得，故.

14.在展開式中，含x的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)共有_____項(xiàng)．參考答案：4【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)：由0≤r≤10及5為負(fù)整數(shù)，可求r的值，即可求解【詳解】展開式的通項(xiàng)為其中r＝0，1，2…10要使x的指數(shù)為負(fù)整數(shù)有r＝4，6，8，10故含x的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)共有4項(xiàng)故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)通項(xiàng)及r的范圍確定r的值15.已知是單位向量，，若向量滿足，則的最大值是

.參考答案：∵||=||=1，且，∴可設(shè)，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故答案為：．

16.對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”：

給出下列三個命題：①若點(diǎn)C在線段AB上，則②在中，若則③在中，其中真命題為

***

（寫出所有真命題的代號）．參考答案：

①17.在△ABC中，A=30°，AB=3，，且，則=．參考答案：﹣6【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意建立直角平面坐標(biāo)系，得出△ABC是直角三角形，利用坐標(biāo)表示向量、，求出?即可．【解答】解：如圖所示，△ABC中，A=30°，AB=3，，∴cos30°==，∴∠ABC=90°，∴BC=AC=；又，∴A（0，3），D（0，1），C（，0）；∴=（，﹣3），=（﹣，1），∴?=×（﹣）﹣3×1=﹣6．故答案為：﹣6．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分16分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足等式.（1）能否在數(shù)列中找到按原來順序成等差數(shù)列的任意三項(xiàng)，說明理由；（2）能否從數(shù)列中依次抽取一個無限多項(xiàng)的等比數(shù)列，且使它的所有項(xiàng)和滿足，如果這樣的數(shù)列存在，這樣的等比數(shù)列有多少個？參考答案：19.設(shè)，函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求在內(nèi)的極大值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個極值點(diǎn)時，總有，求實(shí)數(shù)的值.（其中是的導(dǎo)函數(shù)．）

參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時，，則，

………2分令，則，顯然在內(nèi)是減函數(shù)，又因，故在內(nèi)，總有，所以在上是減函數(shù)

…………4分又因，

…………5分所以當(dāng)時，，從而，這時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，從而，這時單調(diào)遞減，所以在的極大值是．

…………7分（Ⅱ）由題可知，則．

…………8分

根據(jù)題意，方程有兩個不同的實(shí)根，（），

所以，即，且，因?yàn)椋?

由，其中，可得注意到，所以上式化為，即不等式對任意的恒成立

…………10分（i）當(dāng)時，不等式恒成立，；（ii）當(dāng)時，恒成立，即．令函數(shù)，顯然，是上的減函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以；

…………12分（iii）當(dāng)時，恒成立，即．由（ii），當(dāng)時，，所以

…………14分綜上所述，．

…………15分

略20.已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知函數(shù)∴的圖象經(jīng)過點(diǎn)，b、a、c成等差數(shù)列，且?=9，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；余弦定理．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的周期以及正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可．（2）求出A，利用等差數(shù)列以及向量的數(shù)量積求出bc，通過三角形的面積以及余弦定理求解a即可．【解答】解：==，（1）最小正周期：由得：，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）由可得：所以，又因?yàn)閎，a，c成等差數(shù)列，所以2a=b+c，而，?=bccosA==9，∴bc=18，，∴．21.在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）證明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，從而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能證明BD⊥平面SAD．（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2，∴∠SDA=120°，SA==6，∵底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=60°，BA=BS=4．∴cos60°=，解得BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∵SD2+BD2=SB2，∴BD⊥SD，∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．解：（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），S（﹣，0，3），=（3，0，﹣3），=（），=（﹣，2，﹣3），設(shè)平面ABS的法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，），設(shè)平面BCS的法向量=（a，b，c），則，取b=3，得=（0，3，2），設(shè)二面角A﹣SB﹣C的平面角為θ，則cosθ===．∴二面角A﹣SB﹣C的