極值點偏移第二招-含參數的極值點偏移問題

專建04,極值點偏移第二招——含參數的極值點偏移問J含參數的極值點偏移問題，在原有的兩個變元玉，叢的基礎上，又多了一個參數，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數，從而轉化成不含參數的問題去解決：或者以參數為媒介，構造出一個變元的新的函數.★例1.己知函數f(x)=x-aex有兩個不同的零點xL,x2,求證：x{+x2>2.t解析】思路1：函數/CO的兩個零點，等價于方程的兩個實根，從而這一問題與專題三(不合參數的極值點偏移問題)例題完全等價，專題三例題的四種方法全都可以用5思路2：也可以利用參數。這個媒介去構造出新的函數?解答如下；因為函數S有兩個零點而，改'由(1}+(2)得；而+河=成/I+/)j要證明玉+改>2,只要證明々甘+@均)>2,由得；而一也g朝)，即g"—e1即證：5F一>2<=>6F >2,01-c2 e12—1不妨設x{>x2,i^t=xl-x2,貝e1+i 2(er-1)因此只要證明：/?一一>2<=>r一一\一>0,el-1 d+1再次換元令ef=x>l,t=hix,即證Inx-—―—>O.xe(1,+s)x+1構造新函數F(x)=ln.s2(xT).尸(i)=ox+1求導F\x)=-——』={A'~[)>0,得F(x)在(1,+s)上遞增,X(x+1)-x(x+l)"所以F(x)>0,因此原不等式耳+毛>2獲證.★例2.己知函數f（X）=hlX-CVi,。為常數，若函數孑3）有兩個零點上易，證明:%?毛>e~.[解析]法_：消參轉化成無參數問題：f（x）=0<^lnx=oxOliix=ae^>西丹是方程/（x）=0的兩根，也是方程tax=勇心的兩根,則血斗In的是方程工=&'的兩根，設％=血毛,花=血叱，g（x）=xe~x,則g（?L）=g（Mi）,從而而此>/oln;q+ln改>2。珂+牝>2,此問題等價轉化成為專題三例題，下略一法二：利用參數。作為媒介，換元后構造新函數：不妨設X]>x2,?/InxL-axL=05hix2-ax2=0,/?hi+hix2= +x2）,Inxk-hix2=。（耳一易），:. =。，欲證明xLXy>e2,即證hixk+hi>2.TOC\o"1-5"\h\zx.—m - 一A _2?「lux】+lnx,=。（凡+x「），「?即證。> ,. . Xi+x2..?原命題等價于證明虹虹>二，即證：心>四4,饑=塵（3），X]一毛+x2 x2xk+x2 x2構造g（，）=hU—四二4j〉l,此問題等價轉化成為例1中思路2的解答，卜略.r+1法三：直接換元構造新函數：111X111 111叢叢叢，八a=—=—-<=>—==,設耳<叢,，=二（>1）,TOC\o"1-5"\h\zX]x2InX]& - &InZx. hif+hix.則m=叫,——=t<=> =t,- In§ hi&I hif,t ,In/thit及解出：Inx= ,inxy=hitxx=hu+ln兀=ln，+ = ,1r-1 " 1 1t-lt-l故x.x^>e2<=>inx.+lnx^>2<=> >2,轉化成法二，卜同，略..t-l

★例3.已知耳,易是函數/(x)=ex-ax的兩個零點，且由<x2.(1)求證：思+工2>2；(2)求證：xrx2<1.【解析】(1)問題可以轉化為：y=—與卜=一有兩個宣點』由圖知，Ovjqviv改

ea且<%即，*且<%即，*"工_gl=Q(Xg—而)>a= TOC\o"1-5"\h\z礦+召心 +/ 2故要證：而+改：>2,艮［1證： >2,也艮［1證：——> a 事一事習—沔c&f+1 2也即sx,A 〉令￡=勺一西：則活(如皿9%—1 x1—x［設詼)*+1)*—如貝板&)=庭_/+1:加”斗.?.g'(f)在(0,也單調遞增，即gO)>g'(0)=Q-■.?g(0在(0,訴)單調遞增J即g(r)Ag(O)=Oj故原不等式得證.(2)要證：X/,<1,即證：-——t—<1,等價于eXl-eXz<(- )2,(T X2-XY〃七丐 1 1也即- ‘V—-—,等價于 <—-—,令t=x.-Xi>0(亦一(氣一" (*f—l)-(X.-Aj- 'tp11 1 L等價于,1.<_(r>o),也等價于一<-(，>0),等價于即證：，.苦—#+1<0(#一1)-「 e-1t令h(t)=te2-e1+l(r>0),則h'(t)=e2+-t-e2-e1=e2(l+--e2),2 2tL |tL又令(p(t)=l+——e2(t>0),得(p(t) e2<0,/.(p(t)在(0,+s)單調遞減，\o"CurrentDocument"2 22(p(t)<例0)=0，從而hr(t)<0,h(t)在(0,+s)單調遞減，:.h(t)<h(0)=0,即證原不等式成立.【點評】從消元的角度，消掉參數。，得到一個關于X],氣的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過構造函數證明相應不等式.★例4.己知函數f（x）=x-etL\a>0）,若存在凡,工2（凡ex?）,使f（X]）=/（易）=0,求Y證：【解析】函教/W的零點等價于方程的實根，令威X）=重,（XA0）,X X求導可知jg（x）在（。矽上里調睡增，在（。出）上里調理;原或或蜘=s<^）=-e（i）下證：當。日寸，方程有兩個實根一e xx當xe（Oy）B七義（、）是減函數廣.?歡1）=0涪但）=1頑1）心<爪矽€.?.當xE（0,或g（x）為增函數，菖（1）=Qg（@）-:g（y）<a<歡e）,e二當注（0"）時，。=給有一解,記為耳.X當XE（E+CD）時，￡（*）為減函數，從（4）=一23勺11仁a先證：義（4"）<口，即證：7令取8）=alnQ（a>。），a 2求導由相。）的單調性可得:A（曰）酣=人（【）=一[>一!，故不等式々111曰>一!即證,& & 2 2也即原不等式或4）〈曰成立.a.??當xe（^-H?）時'?=—W—解，記為他.XY再證：—<ae.x2...王_OT]_OT]x2ax2hix2而0v&ve<七，hix2>1.&axAae?.—=一-<一=ae?i止畢.Mhim1

【招式演練】★設函數/(x)=ex-ax+a(aeR)的圖像與x軸交于人(&,0),Bg。)。＜.％)兩點，(1)證明：(扁g)v0；(2)求證：xkx2<xL+x2.【解析】(1〉法一：因為eX|-ax】+q=0,_xnv4kZR?巧_兩式相減得“=一—e"-ax2+a=0?} *2一玉記互產=s(s>o),則r，五也設g(s)=2s-(W-e-勺，則典)=2-e+e")<0,為“2可一再a政=忘-[2sTS—(r)],所以g(s)是單調減函數,則有g(s)<g(0)=0,而￡>0,所以r(五方冬)又f\x)=cx-a是單調增函氮且色尹>盡，所以尸(反)<0.法二：x=\na是/(尤)的極小值點，易iiE^<ln<2<x2,設F(x)=/(lna4-x)-/(lna-x)=a(ex-e-x-2x),(x>0),Fr(x)=a(ex+e-x-2)>0戶。)在(0,秒)單調遞增，因此F(x)>F(0)=0,即x>0時/(ma+.)〉/(lna-*),易證<Ina<x,,所以2Ina-x2>In因此f(x})=f(x2)=f(]na+(x2-\na))>f(]na-(x2-lna))=f(2\na-x2),因為八x)在(—00,In。)單調遞減，所以噸v21mo一嶺=>壬即姊7<司寺上L Xr又/U)=e'-Q是單調遞增函數，所以廣(卮)<r(m。)=0.<0.<\na,eh=a(x.-1)(2)證明：由/ ,易知且?！礸,1)-TOC\o"1-5"\h\za._vx.-l ,c1Ea-Ba1116Z-111/7 ,從而——=《*，=一，令a=xl-\,p=x,-l,則/〃=—=> =1,K x2-l - pa-p由于氣匚+<=>初vl,下面只要證明：o/7<l<=>/7<—,(0<a<l<^),- - a結合對數函數y=lnx的圖像可知，只需證：(a,lna),(L,lnL)兩點連線的斜率要比aa(Q,InQ),(0、In/?)兩點連線的斜率小即可，】!1I|, ma-ln—<又因為R= =1,即證： <lo——a+21na>0(0<a<1),臣1 aCZ a令g(a)=L-Q+21no〉0,(0<q<1),則g\ct)=-A--l+—=- <0.a a-aa~...g(a)在(0,1)上單調遞減，..?g(Q)>g(l)=0,:.原不等式X]土<X]+x2成立.★設函數f(x)=ahix-bx2,其圖像在點F(2J(2))處切線的斜率為-3.當a=2時，令g(x)=/(x)-Aa-,設1],,%(】1<叢)是方程g(x)=0的兩個根，%是3,易的等差中項，求證：g'So)vO(g'(x)為函數g(x)的導函數)?【解析】由函數了(力圖像在點必(2質2))處切線的斜率為一3得力=1,所以氛閔=211]1*-￥-坂的兩個零點氣,改，貝巾2岫不炕"2111 —-^2—^0^2相減得：2(lnjq-血沔)一(峙一也與一忒為一氣)=0,'.'工]六沔，展=竺冬匝-3+改)，故&=—…里--紙當而一也 為 邑+工2邑一也2(^-1)=w_[竺而-1D成=_2-勻習一行血+習 祈—西丑+1叫TOC\o"1-5"\h\z令f=送,烷(?！?‘^)=^Z^-lnf=2-—-InGx+1 r+14 1 (t-Vi1 2則^)=-—t—=-^-^<0,例r)在(0,1)±單調i弱戚，故秘下)>秘。=0,又 <0,所(/+1)t <2?+1) 而一習以E0j)<O,證畢一★設函數/(X)=a2x---2ahiax(a>0),函數f\x)為f(x)的導函數，且xA。,f(x】)),B(土,f(易))是/(x)的圖像上不同的兩點，滿足/(xj+/(x2)=0,線段AB中點的橫坐標為X。,證明：O￥°>1.y_i_y 1 ? 1【解析】7^0>10^-^>-0^>——叢，又依題意f\x)=(6/——)2>0,2 a a X

2得/(x)在定義域上單調遞增，所以要證ox°>l,只需證—/(%.)=/(^)a2即/(—叢)+/(*■>)<。 ①a- -不妨設，注意到/(-)=0,由函數單調性知，有耳<上,叢>上，- a ci"a構造函數F(x)=/(--X)+/(x)，則尸⑴=f\x)-/X--A-)=-4、一1)\,a ax^(2-axy當x>—時，F\x)<0,即F(x)單調遞減，當x>—時，F(x)<F(—)=0?從而不等式a a a①式成立，故原不等式成立.★己知函數/(A)=6Z---111X(ClGR).若。=2,求函數/(x)在(1,〃)上的零點個數；(2)若/(x)有兩零點xlyx2(xk<x2),求證：2〈X]+馮<3/i-1.【解析】(1)由題設，故在(1,。2)上單調遞減，X所以/⑴在(1,e2)上至多只有一個零點.又/(1)/(e2)=-4<0,故f⑴在(1,e2)上只有一個零點.e(2)①證：先證與+互>2?法f利用通法證明/(】)=。-土-lnx的極值點x=l向左偏移，即1<的蘭.法二t直接換元法化單變元：依題設，有a=l+lnx=—+lnx2,于是土邑=血五. 寧毛 X2' X}X2X]? 1 2| 2( Inf)id—=6t>\>則lni= ,故X]= ?于是,x\+xi=xi(t+\)= ， 玉 f叫 Zin/ lint Inf記函數亦aO—E，4L因g'(x)=°浮>0,故亦)在(1,+8)上單調遞增.2x 2x于是，Q1時，g(r)>g(lM.又出>0,所以，x}+x2>l.②再證X[+恐<3卯一1?因為滬0U*人(x>w-l-xln心)，故Xi，x2也是/(*)的兩零點,Bh\x)=a-l-hw=0,得x=3,且xvJil(x)>0^x>e",h\x)<0利用通法證明h(x)=ax-l-xhx的極值點x=e"向右偏移，所以竺壘< 即a,+x2<2/t,由耳+為>2即竺也>1得，2 2]+(歷+易)<^^~+(弓+》2)=3(可+易)〈2.2。3=3丁-'=習+易〈女3_1.2 2 2【點評】1.方程的變形方向：①凡,％是函數/(X)的兩個零點，1是該函數的極值點.②％,%是函數/?(Q的兩個零點，礦T是該函數的極值點.2.難點X]+易<3礦—1的證明依賴利用Xl+x2>2放縮.★己知函數f(x)= +(1-a)x-alnx.J(I)討論f(x)的單調性；(II)設aAO,證明：當Ovxva時，f(a+x)<f(a-x)；X+X(III)設七會是f(X)的兩個零點，證明f'(一)>0.2【答案】(I)f(x)在(O,a)上單調遞減，在(a,+8)上單調遞增；(【I)當0<x<aW，f(a+x)<f(a-x)；(III)證明過程見解析【解析】試題分析：<I)求導，并判斷導數的符號，分別討論義的取值』確定函數的單調區(qū)間.(0)構造函數8閔=仙?x)-仙?xb利用導歉求幽數啪當。vx<a時的最大值小于零即可.X.+X, X.+X,(III)由(11)得，伽-叩頊小>七)5卻=?！簭亩ビ谑怯?I)知.『II-a)乂-a(x+『II-a)乂-a(x+2)(x-a}求導數'/?曰■ a求導數'(x)=x-t-1-a--=K若心0,則袍”0,此時倒萄小呵上單調睡增，若a>0,則由櫛心了甘和力，當0〈XVa時，,當xm時jfW>0,此時f閔在2閣上單調遞減，在+呵上里調遞增.(II)令g(x)=f(a+x)"(a-X),則1,1、g(x)=-(a+x)~+(1-a)(a+x)?aln(a+x)?[^(a?x)~+(1-a)(a.x)-aln(a?x)]=2x-aln(a+x)+aln(a-x). 5"t aa~2x求導數，得g(x)=2. ——=—―-,a+xa-xa"-x"當時0〈XVa,g'(x)<0??,-g(x)在。a)上是減函數.而g(0)=0，???g(x)<g(0)=0,故當0vxva時,f(a+x)vf(a-x)(III)由(I)可知，當aw。時，函數y=f(x)至多有一個零點,故點0,從而f(x)的最小值為f(a),且f(a)v。，

不妨設°VX］〈X2，貝iJO<Xj<a<x2, 0<a-Xj<a,由（II）得f（2a-X］）=f（a+a-X］）<f（x】）=0,X+Xn從而x°>2a.X］,于是_>a>2V+X由（I）知，f（2_2）>o.2點晴:本題考查函數導數的單調性.不等式比較大小，函數的零點問題：在（【）中通過求導,并判斷導數的符號，分別討論的取值，確定函數的單調區(qū)間.（II）通過構造函數g（x）=f（a+x）-f（a-x）,把不等式證明問題轉化為函數求最值問題，求函數g（x）當0<x<a時的最大值小于零即nJ.（Ill）要充分利用（【）（1【）問的結論.★己知函數/（x）=4111V-inx2（/w>0）.（I）若= 求函數/'（x）的單調遞增區(qū)間；（II）若函數^（x）=/（x）-（7h-4）x,對于曲線y=g（x）上的兩個不同的點N（土,g（易）），記直線MN的斜率為k,若k=g，（X。）,證明：xk+x2>2x°?【答案】（1）（0,2）（2）見解析【解析】試題分析"1）先確定函數定義域〈Q+切，再求導函數，進而求定義區(qū)間上導函數的零點2,最后列表分析導函數符號：當o<X<2時，確定單調增區(qū)間為（0,2）.〈2）極點偏移問題，關鍵構造函數；先轉化所證不等式號希為g（五尹 因為g沖）一5■（查苔）=4（岫一1nxj）g4（岫一1nxj）g（5電一些毛+工］毛一石，所以轉化研=山-半洛（。1）單調性，易得在（Lz）上單調遞增，即得結論.試題解析"I）依題意，fr（x）=--x=^-X X X令廣（工）>0,即2—?0,解得0<x<2j故函數/（》）的單調遞增區(qū)間為（。2）.（II〉依題意，g（x）=/（對一（jh-4）x=41nx-一wd?+（4-時尤,2￡（而）一艮（叱）=4（1嗎一岫J一；川（￡一殳）+（4-時（而一沔）=4（岫一嶼）一:血（沔+改）3—五）+（4—功）（沔一與"￡由題設彳y）=g"E=些土L頃"易）+（4-少X]—X-, Xj—X-y 2+ 8 x+X.A又g———-= -in-——+4-/W,V2JxL+x22.?.川）一對宇卜4（岫-蛀）二=工（虹-岫）-主國\ 2 ）I】-x2X]+x2x2-xk x2+凡2—-12—-13不妨設0<出〈易，1=圣.貝則瓦旦—xi *1旦+1%(f>l)?(f>l)?令力（/）=11令力（/）=11"（'_1）q>i）,則/?,（/）=（，_七>0,所以/（）在（1,+s）上單調遞增,，+1'（'+1）-所以/i(r)>h(l)=o,故11舟-無迫+故11舟-無迫+1乙＞0.又因為〉。，因此ei’W>0,即g［片)<g，(x。).又由g'(x)=￡-〃7X+(4-〃7)知g'(x)在(0,+8)上單調遞減,A所以虹擔>%,即x1+x2>2x0.★已知函數/(x)=ln(x+l)★已知函數/(x)=ln(x+l),1SW-x^-x（I）求過點（—1,0）且與曲線y=f{x）相切的直線方程;（II）設/?（x）=#（x）+g（x）,其中一為非零實數,y=/?（%）有兩個極值點x^x2,且A<x2,求a的取值范圍；（III）在（II）的條件下，求證:2從易）_入]>0.【答案】（1）x-ey+l=0（2）見解析【解析】試題分析；（1）設切點為（而,處），先根據導數幾何意義得切線斜率等于切點處導數值*=—I,與+1再根據切點與點（-LO）連線的斜率等于切線斜率，列方程，解得氣=侖-1,最后根據點斜式與切線方程，（2）由題意得導函數在定義區(qū)間上有兩個不等的零點，即方程盤+（。-1）=0在（-1+8）上有兩個不同的實根，即解得a的取值范圍；<3）由為二改二后，化簡不等式2五（改）一氣>0得2（L十易）1b（沔十1）—習>0,構造函數r[x）=2（l十x）ln（x十1）—x,x?利用導數研究函數單調性：20在（0.1）±單調遞增，確定r3）><0）=0,即證得結論.試題解析，（I）尸⑴二上x+1設切點為（布,處），則切線的斜率為k=-1—互+1點(與，為)在/(x)=h(x+l)±,/.*o=ln(j^+l)...ln(A°+l)=l,解得*0=?！?x°+lxQ+l?.?切線的斜率為上，..?切線方程為x—c，+1=0e(II)h(x)=af(x)+g(x)=aln(<x+l)+—x~-xxa 1 ^+(。一1)h(x)= +x-l= ,x>-l'7x+1 x+l當a-l>0時，即“21時，/?'(x)20,/?(x)在(—1,+s)上單調遞增；當0V<<1時，由/?'(*)=0得，X］ ,x,=Jk-a,故/?(x)在(-上單調遞增，在(-JT二萬,JT二萬)上單調遞減，在(JTH,+o。)上單調遞增：當。<o時，由//(x)=o得，Xo=Jj=京，機工)在)上單調遞減，在(Jl-Q,+cO)上單調遞增.當0v<<l時，/?(工)有兩個極值點，即工］=-』1一。,￥=』1-。，即a的范［韋|是(0,1)(III)由(II〉知為+也=0,jqxj=。一1,由0<￡j<l得，—1 <0^0<Xj<1由2威改)—而>。4?2頁改)+羽>0 + >0沔=Jl-々,'.a=1—,即證明2(1—巴')】"習+1)+X—改>0即證明2(1+羽)地(羽+1)—改>0構造函數/(x)=2(1+x)血(工+1)-x,xe(0:l),汽a)=1+21e(1+*)>0』r(x)在Q1)上單調遞增，又r(0)=0,所W/(x)>0在xe(O：1)時恒成立」即2(1+為)血(巧+1)-改>0成立.'.21u此一而