廣東省梅州市星聚中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省梅州市星聚中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.不等式的解集為(

)．A.(－∞,－1)∪(2,+∞) B. (－∞,－2)∪(1,+∞)C.(－1,2) D.(－2,1)參考答案：C2.已知函數(shù)f（x）=，則f′（x）=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】利用導(dǎo)數(shù)除法的運(yùn)算公式進(jìn)行求導(dǎo)即可．【解答】解：f'（x）=；故選D．3.若曲線(為參數(shù))與曲線相交于,兩點(diǎn)，則的值為(

).A．

B．

C．

D．參考答案：D4.國(guó)慶期間，甲去某地的概率為，乙和丙二人去此地的概率為、，假定他們?nèi)说男袆?dòng)相互不受影響，這段時(shí)間至少有1人去此地旅游的概率為

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略5.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.在等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a5＝64，，則公比q為（

）A．2

B．3

C．4

D．8參考答案：A7.由直線曲線及軸所圍圖形的面積為

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，則其身高可能是A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm參考答案：B【分析】理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解．【詳解】設(shè)人體脖子下端至肚臍的長(zhǎng)為xcm，肚臍至腿根的長(zhǎng)為ycm，則，得．又其腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，所以其身高約為42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題．9.直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)、、，其中．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C由題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程，由三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又由，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，其圖象如圖所示，且當(dāng)時(shí)，，要使得函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則，所以①正確的；當(dāng)時(shí)，即，解得或，所以當(dāng)時(shí)，則所以②是正確的；結(jié)合圖象可得，所以③是正確的；又由，整理得，又因?yàn)?，所以，即，結(jié)合③可知，所以④是錯(cuò)誤的，故選C．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為雙曲線上一點(diǎn)，，為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若則的面積為

▲

．參考答案：略12.變量x，y滿足(t為參數(shù))，則代數(shù)式的取值范圍是

．

．參考答案：13.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，，有，在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.

參考答案：14.在兩曲線和的交點(diǎn)處，兩切線的斜率之積等于

.參考答案：15.下列命題：①?x∈R，x2+1＞0；②?x∈N，x2≥1；③?x∈Z，x3＜1；④?x∈Q，x2=3；⑤?x∈R，x2﹣3x+2=0⑥?x∈R，x2+1=0其中所有真命題的序號(hào)是

．參考答案：①③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】①由?x∈R，x2+1≥1＞0，即可得出；②當(dāng)x=0時(shí)，x2=0，即可判斷出；③例如x=0∈Z，滿足x3＜1，即可判斷出；④由x2=3，解得x=±，為無(wú)理數(shù)，即可判斷出；⑤舉反例如x=0時(shí)，x2﹣3x+2=0不成立；⑥由x2+1=0在R范圍內(nèi)無(wú)實(shí)數(shù)根，即可判斷出．【解答】解：①∵?x∈R，x2+1≥1＞0，因此①正確；②?x∈N，x2≥0，因此②不正確；③?x∈Z，例如x=0，滿足x3＜1，故③正確；④由x2=3，解得x=±，為無(wú)理數(shù)，因此不存在x∈Q，滿足x2=3，因此④不正確；⑤?x∈R，x2﹣3x+2=0，不正確，例如x=0時(shí)，x2﹣3x+2=0不成立；⑥∵x2+1=0在R范圍內(nèi)無(wú)實(shí)數(shù)根，∴不存在實(shí)數(shù)x滿足x2+1=0，因此⑥不正確．綜上可知：只有①③正確．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)、一元二次方程的解與實(shí)數(shù)及判別式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．16.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若=，則=．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，我們可得，，則=，代入若=，即可得到答案．【解答】解：∵在等差數(shù)列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，∴，，則=，又∵=，∴=即=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】在等差數(shù)列中，S2n﹣1=（2n﹣1）?an，即中間項(xiàng)的值，等于所有項(xiàng)值的平均數(shù)，這是等差數(shù)列常用性質(zhì)之一，希望大家牢固掌握．17.若圓與圓相外切，則實(shí)數(shù)=

．參考答案：±3圓的圓心為，半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－m)2+y2=1其圓心為，半徑為，兩圓外切時(shí)，圓心距等于半徑之和，即：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得：.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，D是BC的中點(diǎn)．

(1)求直線與所成角的余弦值；

(2)求三棱錐的體積．參考答案：（1）連結(jié)交于E，連結(jié)DE∵D為BC中點(diǎn)，E為中點(diǎn)∴在中，∴為直線與所成的角∵側(cè)棱長(zhǎng)和低面邊長(zhǎng)均為2∴∴在中,……7分（2）∵，∴

在正中，D為BC中點(diǎn)，∴

∴∴…12分19.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為求數(shù)列的通項(xiàng)

(2)設(shè)數(shù)列滿足參考答案：略20.（本小題14分）已知、分別為橢圓:的上、下焦點(diǎn)，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）已知，，直線（）與相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于、兩點(diǎn)．求四邊形面積的最大值．參考答案：（1）方法1：由知，設(shè)，因在拋物線上，故，

①又，則，

②，由①②解得，.

……………4分橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)橢圓上，由橢圓定義得，∴，又，∴，∴橢圓的方程為.……………6分方法2：由知，設(shè)，因在拋物線上，故，

①又,則，

②由①②解得，.

……………4分而點(diǎn)橢圓上，故有，即，

③又，則，

④由③④可解得，，∴橢圓的方程為．

……………6分（2）由題，直線的方程為，即，

……………7分設(shè)，其中．將代入中，可得，即，

………8分點(diǎn)到直線的距離為，同理，可得點(diǎn)到直線的距離為，………………10分又，所以四邊形面積．

……………12分從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)四邊形面積的最大值為．

……………14分21.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足

.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,軌跡的右端點(diǎn)為點(diǎn)N，求直線MN的斜率的取值范圍.參考答案：解:(1)由橢圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的橢圓，……….1分且，

∴……….……….3分∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程是.

…4分

(2)解法一：依題意，直線過(guò)點(diǎn)且斜率不為零，故可設(shè)其方程為,由方程組

消去，并整理得

……….……….5分設(shè),,則

，………………6分∴

∴,,……………8分(1)當(dāng)時(shí)，；……………9分(2)當(dāng)時(shí),

..且

.

……………11分綜合(1)、(2)可知直線MN的斜率的取值范圍是：.………………12分解法二：依題意，直線過(guò)點(diǎn)且斜率不為零.(1)

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，；

…………5分(2)

當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為,

由方程組

消去，并整理得

………6分ks*5u設(shè),,則

，……………7分∴

,,

…9分.且

.

……………11分綜合(1)、(2)可知直線MN的斜率的取值范圍是：.………………12分略22.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若，求a的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間[0,2]上的最大值．參考答案：、解：∵

∴

……1分（1）∵

∴

……2分

∴