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廣東省梅州市水西中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為(
)。A
BC
D參考答案:B略2.在△ABC中,,則A等于(
)A.45° B.120° C.60° D.30°參考答案:C由等式可得:,代入關(guān)于角的余弦定理:.所以.故選C.3.已知命題p:在銳角三角形ABC中,A,B,使sinA<cosB;命題q:x∈R,都有x2+x+1>0,給出下列結(jié)論:①命題“p∧q”是真命題;
②命題“p∨q”是真命題;③命題“p∨q”是假命題;
④命題“p∧q”是假命題;其中正確結(jié)論的序號(hào)是(
)
A.②③
B.②④
C.③④
D.①②③參考答案:B略4.正方體的棱長(zhǎng)為1,是的中點(diǎn),則到平面的距離是
()A.
B. C.
D.
參考答案:B5.已知,則的值是
(
)
A.0
B.–1
C.1
D.2參考答案:A試題分析:因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù),則.故選A.考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性.6.已知是定義在R上的函數(shù),且對(duì)于任意,不等式恒成立,則整數(shù)a的最小值為(
)A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:A【分析】利用的單調(diào)性和奇偶性,將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式,然后將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題,借助導(dǎo)數(shù)知識(shí),即可解決問(wèn)題?!驹斀狻?,可知,且單調(diào)遞增,可以變?yōu)?,即,∴,可知,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,可知,∴,∵,∴整數(shù)的最小值為1.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)、抽象不等式的解法、以及恒成立問(wèn)題的一般解法,意在考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的的能力。7.若橢圓的離心率為,則實(shí)數(shù)m等于(
)A.3
B.1或3
C.3或
D.1或參考答案:C略8.函數(shù)(其中,)的部分圖象如圖所示、將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象,則下列說(shuō)法正確的是(
)A.函數(shù)g(x)為奇函數(shù)B.函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為C.函數(shù)g(x)為偶函數(shù)D.函數(shù)g(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線參考答案:B【分析】本題首先可以根據(jù)題目所給出的圖像得出函數(shù)f(x)的解析式,然后根據(jù)三角函數(shù)平移的相關(guān)性質(zhì)以及函數(shù)f(x)的解析式得出函數(shù)g(x)的解析式,最后通過(guò)函數(shù)g(x)的解析式求出函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,即可得出結(jié)果。【詳解】由函數(shù)的圖像可知函數(shù)的周期為、過(guò)點(diǎn)、最大值為3,所以,,,,,所以取時(shí),函數(shù)的解析式為,將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得,當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,故選B?!军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),主要考查三角函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)以及三角函數(shù)圖像的變換,函數(shù)向左平移個(gè)單位所得到的函數(shù),考查推理論證能力,是中檔題。
9.已知不等式組的解集為,則a取值范圍為A.a(chǎn)≤-2或a≥4
B.-2≤a≤-1 C.-1≤a≤3 D.3≤a≤4參考答案:C略10.夏季高山上氣溫從山腳起每升高100m降低0.7℃,已知山頂?shù)臍鉁厥?4.1℃,山腳的氣溫是26℃.那么,此山相對(duì)于山腳的高度是()A.1500m
B.1600m
C.1700m
D.1800m參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果直線直線,直線直線那么直線與直線的位置關(guān)系是
。參考答案:平行或相交或異面
12.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示,則不等式xf′(x)<0的解集為_(kāi)_______.
參考答案:略13.直線x﹣y+1=0被圓x2+y2﹣2x﹣3=0所截得的弦長(zhǎng)為.參考答案:2考點(diǎn):直線與圓相交的性質(zhì).專(zhuān)題:計(jì)算題;直線與圓.分析:由圓的方程求出圓心和半徑,求出圓心到直線x﹣+1=0的距離d的值,再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng).解答:解:圓x2+y2﹣2x﹣3=0,即(x﹣1)2+y2=4,表示以C(1,0)為圓心,半徑等于2的圓.由于圓心到直線x﹣+1=0的距離為d==1,故弦長(zhǎng)為2=2.故答案為:2.點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì),點(diǎn)到直線的距離公式,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.14.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若球的體積為,則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______.參考答案:15.已知,若是純虛數(shù),則=
▲
.參考答案:16.,則=________.參考答案:1
略17.一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面,如果圓錐的體積和半球的體積相等,則這個(gè)圓錐的母線與軸所成角正弦值為
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(n∈N+).(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)bn=log4(1﹣Sn+1)(n∈N+),,求使成立的最小的正整數(shù)n的值.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.【分析】(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1,結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式計(jì)算即可得到所求;(Ⅱ)運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得bn,再由裂項(xiàng)相消求和方法,求得Tn,解不等式即可得到所求最小值.【解答】解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,S1+a1=1,解得a1=,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣an﹣(1﹣an﹣1),即為an=an﹣1,由a1+a2+a2=1,可得a2=,則an=a2?()n﹣2=?()n﹣2=3?()n,對(duì)n=1也成立,可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3?()n;(Ⅱ)bn=log4(1﹣Sn+1)=log4[1﹣]=log4=﹣(n+1),=++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣,成立,即為﹣≥,解得n≥2016,則使成立的最小的正整數(shù)n的值為2016.19.(本題滿分12分)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)
(1)求的極值.(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線軸僅有一個(gè)交點(diǎn).參考答案:解:(1)=3-2-1若=0,則==-,=1當(dāng)變化時(shí),,變化情況如下表:(-∞,-)-(-,1)1(1,+∞)+0-0+極大值極小值∴的極大值是,極小值是
(2)由(I)可知,取足夠大的正數(shù)時(shí),有>0,取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有<0,結(jié)合的單調(diào)性可知:<0,或-1>0時(shí),曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn),∴當(dāng)∪(1,+∞)時(shí),曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。略20.已知命題p:任意x∈R,x2+1≥a,命題q:方程﹣=1表示雙曲線.(1)若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若“p且q”為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:解(1)記f(x)=x2+1,x∈R,則f(x)的最小值為1,因?yàn)槊}p為真命題,所以a≤f(x)min=1,即a的取值范圍為(﹣∞,1].
(2)因?yàn)閝為真命題,所以a+2>0,解得a>﹣2.因?yàn)椤皃且q”為真命題,所以即a的取值范圍為(﹣2,1]略21.數(shù)列的前n項(xiàng)和為,和滿足等式
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)設(shè),求證:參考答案:解:(1)∵同除以
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