微專題一　特殊三角形中的分類討論

第四章三角形微專題一特殊三角形中的分類討論特殊三角形中的分類討論主要針對(duì)于等腰三角形和直角三角形的角和邊不確定引起的討論，本專題主要對(duì)等腰三角形角和邊的不確定、直角三角形直角頂點(diǎn)的不確定進(jìn)行了分類討論.本專題知識(shí)在河南中考中常以填空題或解答題中的特殊三角形的存在性形式呈現(xiàn).

類型條件圖示分類討論等腰三角形頂角和底角不確定已知等腰三角形的一個(gè)角為α，求另外兩個(gè)角的度數(shù)需分α為頂角或底角兩種情況進(jìn)行討論，計(jì)算結(jié)果需用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行檢驗(yàn)類型條件圖示分類討論等腰三角形腰和底邊不確定已知點(diǎn)A，B和直線l，在直線l上找一點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形（1）以AB為腰.①當(dāng)AB＝AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線l于點(diǎn)P1，P2，如圖所示，即為所求；②當(dāng)AB＝BP時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線l于點(diǎn)P3，P4，如圖所示，即為所求；（2）以AB為底.作線段AB的垂直平分線，交直線l于點(diǎn)P5，如圖所示，即為所求.簡(jiǎn)記為“兩圓一線”類型條件圖示分類討論等腰三角形腰和底邊不確定解題方法（1）代數(shù)法：設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別表示出線段AB2，BP2，AP2的長(zhǎng)，分AB2＝AP2，AB2＝BP2，AP2＝BP2三種情況，列方程求解；（2）幾何法：分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP三種情況，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)（線段相等）求出相應(yīng)的未知量即可類型條件圖示分類討論直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定已知點(diǎn)A，B和直線l，在直線l上找一點(diǎn)P，使△PAB為直角三角形（1）當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，交直線l于點(diǎn)P1，如圖所示，即為所求；（2）當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，交直線l于點(diǎn)P2，如圖所示，即為所求；（3）當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，以線段AB的中點(diǎn)O為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線l于點(diǎn)P3，P4，如圖所示，即為所求.簡(jiǎn)記為“兩線一圓”類型條件圖示分類討論直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定解題方法（1）代數(shù)法：設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別表示出線段AB2，BP2，AP2的長(zhǎng)，分∠BAP＝90°，∠ABP＝90°，∠APB＝90°三種情況，每種情況下分別用勾股定理列方程求解.若方程有解，則此情況存在；若方程無(wú)解，則此情況不存在.（2）幾何法：分∠BAP＝90°，∠ABP＝90°，∠APB＝90°三種情況，利用兩直線垂直，k1·k2＝－1，求得與AB垂直的直線解析式，此解析式和已知直線聯(lián)立即可得到答案.（3）一線三垂直法：作輔助線構(gòu)造一線三垂直模型，利用兩三角形全等或相似，即可得到答案（此方法詳見(jiàn)微專題四

一線三等角模型）

?類型1：等腰三角形頂角和底角不確定【例1】如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角為130°，那么其頂角的度數(shù)為（

D

）DA.50°B.80°C.130°D.50°或80°?類型2：等腰三角形腰和底邊不確定

思路點(diǎn)撥?類型3：直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定

思路點(diǎn)撥

?類型1：等腰三角形頂角和底角不確定1.等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它另外兩個(gè)角的度數(shù)是

80°，20°或50°，50°

?.

?類型2：等腰三角形腰和底邊不確定2.已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（

B

）A.13B.17C.13或17D.13或1080°，20°或50°，50°

B

∴分BC＝BP和BC＝CP兩種情況進(jìn)行討論：

?類型3：直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定

5.如圖，拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).解：在y＝x2－2x－3中，令x＝0，得y＝－3，∴C（0，－3）.令y＝0，即x2－2x－3＝0，

∴分∠BCD＝90°，∠DBC＝90°和∠BDC＝90°三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，如圖1.此時(shí)DC2＋BC2＝DB2，即t2＋6t＋10＋18＝t2＋4，解得t＝－4.∴D1（1，－4）；圖1圖2圖1圖2②當(dāng)∠DBC＝90°時(shí)，如圖2.此時(shí)BC2＋DB2＝DC2，即18＋t2＋4＝t2＋6t＋10，解得t＝2.∴D2（1，2）；③當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，如圖3