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2022-2023學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知,,,為空間不共面的四點(diǎn),且向量,向量,則與,必共面的向量為(
)A. B. C. D.或【答案】B【分析】判斷是否存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),使選項(xiàng)中的向量等于即可.【詳解】由已知,與不共線,對(duì)于A,若與,共面,則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),使,即,該方程組無解,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若與,共面,則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),使,即,解得,即,與,共面,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,若與,共面,則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),使,即,該方程組無解,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由選項(xiàng)A及選項(xiàng)C的判斷知,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:B.2.已知在平行六面體中,同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都等于,且彼此的夾角都是,則此平行六面體的對(duì)角線的長為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用空間向量基本定理,表示出,進(jìn)而求出的長.【詳解】如圖,由題意可知,
,.故選:D.3.已知空間三點(diǎn),,,若,且,則點(diǎn)的坐標(biāo)為(
)A. B.C.或 D.或【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),由可解出坐標(biāo),再用空間向量模長公式即可.【詳解】設(shè),則,,因?yàn)?,所以,,,所以,又,解得或,所以或,故選:C4.直線與直線交于點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】聯(lián)立直線的方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo),再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】聯(lián)立,解得,故,所以點(diǎn)到直線的距離為,故選:B.5.直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】化簡曲線方程,根據(jù)方程確定曲線形狀,位置及大小,根據(jù)直線與曲線的位置關(guān)系,列不等式求的取值范圍.【詳解】方程可化為且,所以曲線的軌跡為原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓上橫坐標(biāo)為非負(fù)實(shí)數(shù)的點(diǎn)的集合,因?yàn)橹本€:表示與平行的直線系,為直線在軸上的截距,作出曲線和直線,對(duì)應(yīng)的圖象如下,從圖中可知在,之間的平行線都與圓有兩個(gè)交點(diǎn),(包含,不包含直線),設(shè)的方程為,直線的方程為,其中,因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以,即,又到直線的距離為,所以,又,所以,所以當(dāng)時(shí),直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:D.6.已知?是橢圓:()的兩個(gè)焦點(diǎn),為橢圓上的一點(diǎn),且.若的面積為,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)的面積以及該三角形為直角三角形可得,,然后結(jié)合,簡單計(jì)算即可.【詳解】依題意有,所以又,,所以,又,可得,即,則,故選:B.7.已知F是橢圓的左焦點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn),若,且,則橢圓E的離心率為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為,根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理可求出的關(guān)系,即可求出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為,連接,,根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形,則,因?yàn)?,可得,所以,則,,由余弦定理可得,即,即故橢圓離心率故選:C.8.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明,方程(k>0,k≠1,a≠0)表示橢圓,費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì):若從橢圓上任意一點(diǎn)P向長軸AB(異于A,B兩點(diǎn))引垂線,垂足為Q,則為常數(shù).據(jù)此推斷,此常數(shù)的值為(
)A.橢圓的離心率 B.橢圓離心率的平方C.短軸長與長軸長的比 D.短軸長與長軸長比的平方【答案】D【分析】特殊化,將P取為橢圓短軸端點(diǎn).【詳解】設(shè)橢圓方程為,為上頂點(diǎn),則為原點(diǎn).,,則.故選:D.二、多選題9.如圖,在平行六面體中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1,且它們彼此的夾角都是60°,M為與的交點(diǎn),若,則下列正確的是(
)A. B.C.的長為 D.【答案】BD【分析】AB選項(xiàng),利用空間向量基本定理進(jìn)行推導(dǎo)即可;C選項(xiàng),在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上,平方后計(jì)算出,從而求出;D選項(xiàng),利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A選項(xiàng),,A錯(cuò)誤,對(duì)于B選項(xiàng),,B正確:對(duì)于C選項(xiàng),,則,則,C錯(cuò)誤:對(duì)于,則,D正確.故選:BD.10.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A.過點(diǎn),的直線的傾斜角為B.直線與直線之間的距離為C.已知點(diǎn),,點(diǎn)在軸上,則的最小值為D.已知兩點(diǎn),,過點(diǎn)的直線與線段沒有公共點(diǎn),則直線的斜率的取值范圍是【答案】ABD【分析】求出直線的斜率,再由斜率的定義求出傾斜角可判斷A;根據(jù)兩平行線間的距離可判斷B;點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,則求出最小值可判斷C;求出臨界值和,由可判斷D,進(jìn)而可得符合題意的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于,因?yàn)?,,所以,因?yàn)橹本€的傾斜角的范圍為,所以直線的傾斜角為,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由可得,與平行,則兩條平行直線間的距離為,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤,對(duì)于C,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,則,所以,的最小值為,故選項(xiàng)C正確,對(duì)于D,,,又因?yàn)橹本€與線段沒有公共點(diǎn),所以,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選:ABD.11.圓:和圓:的交點(diǎn)為,,則有(
)A.公共弦所在直線方程為B.過直線上任意一點(diǎn)作圓:的切線,與圓切于點(diǎn),則線段長度的最小值為C.公共弦的長為D.圓:與圓關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【分析】對(duì)于A,將兩圓方程相減即可;對(duì)于B,切線段長,圓半徑為定值,故令最小即可,而的最小值,就是到直線的距離;對(duì)于C,求出圓或圓的圓心到直線的距離,利用圓的弦長公式求解即可;對(duì)于D,判斷兩圓半徑是否相同,圓心是否關(guān)于直線對(duì)稱即可.【詳解】對(duì)于A,由已知兩圓相交,將兩圓方程相減得,即,∴公共弦所在直線方程為,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于B,由選項(xiàng)A的判斷知,直線的方程為,圓的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離,直線與圓相離,過作圓的切線,與圓切于點(diǎn),則,∵,∴,∴線段長度的最小值為,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,圓:的圓心,半徑,由選項(xiàng)A的判斷知,公共弦所在直線方程為,圓心到公共弦所在直線的距離,∴公共弦長,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,對(duì)于D,圓:的圓心,半徑,由選項(xiàng)C的判斷知,圓的圓心,半徑,兩圓心連線的斜率,直線的斜率,∵,∴兩圓心連線與直線垂直,又∵中點(diǎn)在直線上∴圓與圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱,又∵,∴圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱,故選項(xiàng)D正確.故選:ABD.12.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,為坐標(biāo)原點(diǎn),以下說法正確的是(
)A.橢圓的離心率為B.橢圓上存在點(diǎn),使得C.過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),則的面積最大值為D.定義曲線為橢圓的伴隨曲線,則曲線與橢圓無公共點(diǎn)【答案】BD【分析】利用橢圓方程給出的信息逐項(xiàng)分析、推理、計(jì)算即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A:因,,則,即,離心率,A錯(cuò)誤;對(duì)于B:以線段為直徑的圓O:,顯然橢圓的短軸端點(diǎn)在圓O內(nèi),于是得圓O與橢圓C有公共點(diǎn),即橢圓上存在點(diǎn),有,則,B正確;對(duì)于C:顯然直線AB不垂直于y軸,將直線的方程代入橢圓的方程得:,設(shè),,,因此,因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),則,C錯(cuò)誤;對(duì)于D:橢圓中,,而伴隨曲線中,,因此,曲線與橢圓C不可能有公共點(diǎn),D正確.故選:BD三、填空題13.在四棱錐P-ABCD中,ABCD為平行四邊形,AC與BD交于O,G為BD上一點(diǎn),BG=2GD,,,,試用基底表示向量=________.【答案】【分析】由空間向量的基本定理求解即可【詳解】因?yàn)锽G=2GD,所以,又,所以故答案為:14.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,圓C:,在圓上存在點(diǎn)P滿足,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】######【分析】設(shè)點(diǎn),根據(jù)可得點(diǎn)P的軌跡是圓心為,半徑為的圓,將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓有公共點(diǎn)問題,借助圓與圓的位置關(guān)系計(jì)算化簡即可.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),由可得,化簡得即點(diǎn)P的軌跡是圓心為,半徑為的圓,因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C:上,所以圓O和C有公共點(diǎn),所以,故即,所以,又,所以,故答案為:.15.已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn),且點(diǎn)到直線的距離的最小值為,則的值為________________.【答案】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找出圓心坐標(biāo)和半徑,由圓上一點(diǎn)到直線距離的最小值為,得到圓心到直線的距離等于,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于的方程,求出方程的解即可得到的值.【詳解】解:將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得:,圓心坐標(biāo)為,半徑,圓上一點(diǎn)到直線距離最小值為,圓心到直線的距離為,即,解得.故答案為:16.已知是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),與橢圓相交于兩點(diǎn),若,則斜率的值為______.【答案】或【分析】由已知點(diǎn)A,B坐標(biāo)即可表示橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,聯(lián)立橢圓方程與直線EF可得,此后再由平面向量的已知關(guān)系構(gòu)建方程求得參數(shù)即可.【詳解】由題可知,該橢圓的方程為,直線,的方程分別為,設(shè),其中,聯(lián)立方程,故,由,知,由點(diǎn)D在直線AB上,則,所以或故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),還考查了由直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)而聯(lián)立方程與已知平面向量關(guān)系求參數(shù),屬于較難題.四、解答題17.已知空間三點(diǎn),,.(1)求以、為邊的平行四邊形的面積;(2)若,且分別與、垂直,求向量的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或【分析】(1)首先求出,的坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值,從而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出夾角的正弦值,再根據(jù)面積公式計(jì)算可得;(2)設(shè),依題意得到方程組,解得即可;【詳解】(1)解:因?yàn)?,,,所以,,所以,,,,∴,∴平行四邊形面積為.(2)解:設(shè),則,①∵,,所以,∴,②,③由①②③解得,,或,,.∴或.18.如圖,直角梯形AEFB與菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,,,,M為AD中點(diǎn).(1)證明:直線面DEF;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)由平面平面ABCD,可得平面ABCD,連接BD,可得,以為原點(diǎn),為軸,豎直向上為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計(jì)算與平面的法向量的數(shù)量積為0即可得證;(2)分別計(jì)算出平面和平面的法向量,然后利用向量夾角公式即可求解.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,平面平面ABCD,且,所以平面ABCD,連接BD,則為等邊三角形,所以,以為原點(diǎn),為軸,豎直向上為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)為平面的法向量,因?yàn)?,則有,取,又因?yàn)椋?,因?yàn)槠矫?,所以平面;?)解:分別設(shè)為平面和平面的法向量,因?yàn)?,則有,取,因?yàn)椋瑒t有,取,所以,由圖可知二面角為銳二面角,所以二面角的余弦值為.19.已知圓過點(diǎn),,且圓心在直線:上.(1)若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射,反射光線恰好平分圓的圓周,求反射光線的一般方程.(2)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),求的最小值.【答案】(1)(2)20【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱,求解,由幾何法求圓心坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解直線方程,(2)根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),解得,所以,由于圓過點(diǎn),,因?yàn)閳A心在直線::上,垂直平分線的方程為,聯(lián)立與得圓的圓心:
則反射光線必經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),,由點(diǎn)斜式得為:,:,(2)設(shè)點(diǎn),則,則又,故當(dāng)時(shí),的最小值為20.20.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓:.(1)若直線:恒過圓內(nèi)一定點(diǎn),求過點(diǎn)的最短弦所在直線的方程;(2)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線,切點(diǎn)為,且有,求的最小值.【答案】(1);(2).【分析】(1)首先求出直線所過定點(diǎn),然后分析出最短弦與垂直,求出斜率,寫出直線即可;(2)根據(jù)題意得到,即,即,化簡得到的軌跡方程為,求出點(diǎn)到上述直線的距離即為最小值.【詳解】(1)直線的方程變形為,令,解得,所以無論取何值,直線過定點(diǎn),又因?yàn)閳A的圓心,因?yàn)檫^點(diǎn)的最短弦與垂直,且直線CM的斜率,所以最短弦所在直線的斜率為,故最短弦的直線方程為,即;(2)由于,所以,又,所以,所以,化簡得,所以點(diǎn)的軌跡方程為,因?yàn)?,所以取得最小值,即取得最小值,點(diǎn)到直線的距離,即的最小值為.21.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,為橢圓上一點(diǎn),且是與的等差中項(xiàng).(1)求此橢圓方程;(2)若點(diǎn)滿足,求的面積.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)橢圓的兩焦點(diǎn)為,可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)為橢圓上一點(diǎn),且是與的等差中項(xiàng),結(jié)合橢圓的定義可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)利用余弦定理和面積公式可以直接求出的面積.【詳解】(1)設(shè)所求橢圓方程為,根據(jù)已知可得,所以此橢圓方程為;(2)在中,設(shè),由余弦定理得:【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和余弦定理以及三角形面積公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為為
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