2022-2023學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，，為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與，必共面的向量為（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】判斷是否存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使選項(xiàng)中的向量等于即可.【詳解】由已知，與不共線，對(duì)于A，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，即，該方程組無(wú)解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，即，解得，即，與，共面，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，即，該方程組無(wú)解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)A及選項(xiàng)C的判斷知，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.2．已知在平行六面體中，同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于，且彼此的夾角都是，則此平行六面體的對(duì)角線的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量基本定理，表示出，進(jìn)而求出的長(zhǎng).【詳解】如圖，由題意可知，

，．故選：D．3．已知空間三點(diǎn)，，，若，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由可解出坐標(biāo)，再用空間向量模長(zhǎng)公式即可.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)椋?，，，所以，又，解得或，所以或，故選:C4．直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】聯(lián)立，解得，故,所以點(diǎn)到直線的距離為，故選：B.5．直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)曲線方程，根據(jù)方程確定曲線形狀，位置及大小，根據(jù)直線與曲線的位置關(guān)系，列不等式求的取值范圍.【詳解】方程可化為且，所以曲線的軌跡為原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上橫坐標(biāo)為非負(fù)實(shí)數(shù)的點(diǎn)的集合，因?yàn)橹本€：表示與平行的直線系，為直線在軸上的截距，作出曲線和直線，對(duì)應(yīng)的圖象如下，從圖中可知在，之間的平行線都與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，（包含，不包含直線），設(shè)的方程為，直線的方程為，其中，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，即，又到直線的距離為，所以，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．6．已知?是橢圓：()的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且.若的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的面積以及該三角形為直角三角形可得，，然后結(jié)合，簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】依題意有，所以又，，所以，又，可得，即，則，故選：B.7．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理可求出的關(guān)系，即可求出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椋傻?，所以，則，，由余弦定理可得，即，即故橢圓離心率故選：C.8．17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點(diǎn)P向長(zhǎng)軸AB(異于A，B兩點(diǎn))引垂線，垂足為Q，則為常數(shù).據(jù)此推斷，此常數(shù)的值為（

）A．橢圓的離心率 B．橢圓離心率的平方C．短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 D．短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)比的平方【答案】D【分析】特殊化，將P取為橢圓短軸端點(diǎn).【詳解】設(shè)橢圓方程為，為上頂點(diǎn)，則為原點(diǎn).，，則.故選：D.二、多選題9．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．【答案】BD【分析】AB選項(xiàng)，利用空間向量基本定理進(jìn)行推導(dǎo)即可；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，平方后計(jì)算出，從而求出；D選項(xiàng)，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，，B正確：對(duì)于C選項(xiàng)，，則，則，C錯(cuò)誤：對(duì)于，則，D正確.故選：BD.10．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．直線與直線之間的距離為C．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的最小值為D．已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是【答案】ABD【分析】求出直線的斜率，再由斜率的定義求出傾斜角可判斷A；根據(jù)兩平行線間的距離可判斷B；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則求出最小值可判斷C；求出臨界值和，由可判斷D，進(jìn)而可得符合題意的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，，所以，因?yàn)橹本€的傾斜角的范圍為，所以直線的傾斜角為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，與平行，則兩條平行直線間的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以，的最小值為，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于D，，，又因?yàn)橹本€與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABD.11．圓：和圓：的交點(diǎn)為，，則有（

）A．公共弦所在直線方程為B．過(guò)直線上任意一點(diǎn)作圓：的切線，與圓切于點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為C．公共弦的長(zhǎng)為D．圓：與圓關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【分析】對(duì)于A，將兩圓方程相減即可；對(duì)于B，切線段長(zhǎng)，圓半徑為定值，故令最小即可，而的最小值，就是到直線的距離；對(duì)于C，求出圓或圓的圓心到直線的距離，利用圓的弦長(zhǎng)公式求解即可；對(duì)于D，判斷兩圓半徑是否相同，圓心是否關(guān)于直線對(duì)稱即可.【詳解】對(duì)于A，由已知兩圓相交，將兩圓方程相減得，即，∴公共弦所在直線方程為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A的判斷知，直線的方程為，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，直線與圓相離，過(guò)作圓的切線，與圓切于點(diǎn)，則，∵，∴，∴線段長(zhǎng)度的最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，圓：的圓心，半徑，由選項(xiàng)A的判斷知，公共弦所在直線方程為，圓心到公共弦所在直線的距離，∴公共弦長(zhǎng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D，圓：的圓心，半徑，由選項(xiàng)C的判斷知，圓的圓心，半徑，兩圓心連線的斜率，直線的斜率，∵，∴兩圓心連線與直線垂直，又∵中點(diǎn)在直線上∴圓與圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱，又∵，∴圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的面積最大值為D．定義曲線為橢圓的伴隨曲線，則曲線與橢圓無(wú)公共點(diǎn)【答案】BD【分析】利用橢圓方程給出的信息逐項(xiàng)分析、推理、計(jì)算即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A：因，，則，即，離心率，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：以線段為直徑的圓O：，顯然橢圓的短軸端點(diǎn)在圓O內(nèi)，于是得圓O與橢圓C有公共點(diǎn)，即橢圓上存在點(diǎn)，有，則，B正確；對(duì)于C：顯然直線AB不垂直于y軸，將直線的方程代入橢圓的方程得：，設(shè)，，，因此，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：橢圓中，，而伴隨曲線中，，因此，曲線與橢圓C不可能有公共點(diǎn)，D正確.故選：BD三、填空題13．在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點(diǎn)，BG＝2GD，，，，試用基底表示向量＝________.【答案】【分析】由空間向量的基本定理求解即可【詳解】因?yàn)锽G＝2GD，所以，又，所以故答案為：14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓C：，在圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】######【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)可得點(diǎn)P的軌跡是圓心為，半徑為的圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓有公共點(diǎn)問(wèn)題，借助圓與圓的位置關(guān)系計(jì)算化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，由可得，化簡(jiǎn)得即點(diǎn)P的軌跡是圓心為，半徑為的圓，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C：上，所以圓O和C有公共點(diǎn)，所以，故即，所以，又，所以，故答案為：.15．已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離的最小值為，則的值為_(kāi)_______________.【答案】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和半徑，由圓上一點(diǎn)到直線距離的最小值為，得到圓心到直線的距離等于，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓上一點(diǎn)到直線距離最小值為，圓心到直線的距離為，即，解得．故答案為：16．已知是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則斜率的值為_(kāi)_____．【答案】或【分析】由已知點(diǎn)A,B坐標(biāo)即可表示橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，聯(lián)立橢圓方程與直線EF可得，此后再由平面向量的已知關(guān)系構(gòu)建方程求得參數(shù)即可.【詳解】由題可知，該橢圓的方程為，直線，的方程分別為，設(shè)，其中，聯(lián)立方程，故，由，知，由點(diǎn)D在直線AB上，則，所以或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，還考查了由直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)而聯(lián)立方程與已知平面向量關(guān)系求參數(shù)，屬于較難題.四、解答題17．已知空間三點(diǎn)，，.(1)求以、為邊的平行四邊形的面積；(2)若，且分別與、垂直，求向量的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，從而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出夾角的正弦值，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得；（2）設(shè)，依題意得到方程組，解得即可；【詳解】（1）解：因?yàn)?，，，所以，，所以，，，，∴，∴平行四邊形面積為.（2）解：設(shè)，則，①∵，，所以，∴，②，③由①②③解得，，或，，.∴或.18．如圖，直角梯形AEFB與菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，，M為AD中點(diǎn).(1)證明：直線面DEF；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，連接BD，可得，以為原點(diǎn)，為軸，豎直向上為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算與平面的法向量的數(shù)量積為0即可得證；（2）分別計(jì)算出平面和平面的法向量，然后利用向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD，且，所以平面ABCD，連接BD，則為等邊三角形，所以，以為原點(diǎn)，為軸，豎直向上為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的法向量，因?yàn)?，則有，取，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面；?）解：分別設(shè)為平面和平面的法向量，因?yàn)?，則有，取，因?yàn)?，則有，取，所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.19．已知圓過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線：上.(1)若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程.(2)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.【答案】(1)(2)20【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱，求解，由幾何法求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解直線方程，（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，解得，所以，由于圓過(guò)點(diǎn)，，因?yàn)閳A心在直線：：上，垂直平分線的方程為，聯(lián)立與得圓的圓心：

則反射光線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，，由點(diǎn)斜式得為：，：，（2）設(shè)點(diǎn)，則，則又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為20．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：．(1)若直線：恒過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的最短弦所在直線的方程；(2)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，且有，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）首先求出直線所過(guò)定點(diǎn)，然后分析出最短弦與垂直，求出斜率，寫(xiě)出直線即可；（2）根據(jù)題意得到，即，即，化簡(jiǎn)得到的軌跡方程為，求出點(diǎn)到上述直線的距離即為最小值.【詳解】（1）直線的方程變形為，令，解得，所以無(wú)論取何值，直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)閳A的圓心，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的最短弦與垂直，且直線CM的斜率，所以最短弦所在直線的斜率為，故最短弦的直線方程為，即；（2）由于，所以，又，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)椋匀〉米钚≈?，即取得最小值，點(diǎn)到直線的距離，即的最小值為．21．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)，且是與的等差中項(xiàng).(1)求此橢圓方程；(2)若點(diǎn)滿足，求的面積．【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)橢圓的兩焦點(diǎn)為，可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)為橢圓上一點(diǎn)，且是與的等差中項(xiàng)，結(jié)合橢圓的定義可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)利用余弦定理和面積公式可以直接求出的面積．【詳解】(1)設(shè)所求橢圓方程為，根據(jù)已知可得,所以此橢圓方程為；(2)在中，設(shè)，由余弦定理得：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和余弦定理以及三角形面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.22．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為為