2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市萊蕪高一年級上冊學(xué)期第二次核心素養(yǎng)測評數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高一上學(xué)期第二次核心素養(yǎng)測評數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合滿足，那么這樣的集合的個數(shù)為A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)子集關(guān)系可知：集合中一定包含元素，可能包含元素，由此可判斷集合的個數(shù)即為集合的子集個數(shù).【詳解】由題意可知：且可能包含中的元素，所以集合的個數(shù)即為集合的子集個數(shù)，即為個，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合的子集關(guān)系確定集合的數(shù)目，難度較易.2．已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可求得，再利用誘導(dǎo)公式即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，由誘導(dǎo)公式可知，；故選：C.3．若,則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由換底公式將表示為,再將代入,再用指數(shù)的運(yùn)算法則寫為底數(shù)為5的式子,再用對數(shù)恒等式計算出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知,,.故選：A4．已知函數(shù)關(guān)于直線對稱,且當(dāng)時,恒成立,則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于直線對稱,可得為偶函數(shù),根據(jù),恒成立,可得在時單調(diào)遞增,將根據(jù)奇偶性化為區(qū)間內(nèi),再根據(jù)單調(diào)性解得范圍即可.【詳解】解:由題知關(guān)于直線對稱,故為偶函數(shù),,當(dāng)時,恒成立,則在上單調(diào)遞增,,,,即,解得:.故選：C5．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方關(guān)系將函數(shù)寫成關(guān)于的一元二次函數(shù)形式，再利用換元法求二次函數(shù)的值域即可.【詳解】由可得令，則，易知，二次函數(shù)關(guān)于對稱，且開口向上，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增，所以，所以，其值域?yàn)?故選：D.6．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C．1或-1 D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)奇偶性可確定，再利用誘導(dǎo)公式即可求得的值.【詳解】由函數(shù)是偶函數(shù)可知，，即；所以，；故選：A.7．設(shè)，，為正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，用k表示出x，y，z，再借助對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可比較作答.【詳解】因，，為正數(shù)，令，則，因此有：，，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，于是得，所以.故選：D8．已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性，利用其在上的解析式求得函數(shù)的解析式，將方程有三個不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象與的圖象在內(nèi)有三個交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)函數(shù)可知，函數(shù)的周期，由是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，可得當(dāng)時，，所以，即函數(shù)的解析式為；畫出函數(shù)部分周期內(nèi)的圖象如下圖粗實(shí)線所示，若在區(qū)間內(nèi)方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)圖象與的圖象在內(nèi)有三個交點(diǎn)，圖象如上圖中細(xì)實(shí)線所示，則需滿足，即，解得故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個數(shù)問題時，往往將此類問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，在同一坐標(biāo)系下畫出兩個函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合根據(jù)題意進(jìn)行求解即可.二、多選題9．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則及對數(shù)恒等式,換底公式即可選出選項(xiàng).【詳解】解:由題,關(guān)于選項(xiàng)A:,故選項(xiàng)A正確;根據(jù)對數(shù)恒等式可知,選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C:,故選項(xiàng)C錯誤;根據(jù)換底公式可得:,故選項(xiàng)D正確.故選:ABD10．已知，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】將式子兩邊同時平方，可得，即可判斷的取值范圍，進(jìn)而確定余弦值和正切值的符號，可判斷選項(xiàng)ABC錯誤，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得選項(xiàng)D中表達(dá)式的值，即可做出判斷.【詳解】將兩邊同時平方，可得；所以，即符號相同，又因?yàn)椋詰?yīng)在第一象限，所以，故A錯誤；當(dāng)時，，故BC均錯誤；由可知，；即D正確；故選：ABC.11．已知函數(shù),下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小值是D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】AC【分析】根據(jù)的解析式,由可求其周期,令即可求對稱軸,根據(jù),即可求最值,根據(jù)對稱中心是令,即可判斷選項(xiàng)D正誤.【詳解】解:由題知,,故選項(xiàng)A正確;令,解得:,令,令,故選項(xiàng)B錯誤;因?yàn)?所以,故選項(xiàng)C正確;因?yàn)閷ΨQ中心縱坐標(biāo)為1,故選項(xiàng)D錯誤.故選:AC12．已知，若存在，使得，則下列結(jié)論錯誤的有（

）A．實(shí)數(shù)的取值范圍為B．C．D．的最大值為1【答案】AD【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，再利用方程的根的個數(shù)即為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用圖象判斷出根的分布情況即可做出判斷.【詳解】由函數(shù)可知其圖象如下圖所示，又因?yàn)榇嬖?，使得，所以函?shù)與有三個不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知，故A錯誤；根據(jù)函數(shù)圖像可知，所以得，即，故B正確；顯然，且關(guān)于對稱，所以，故C正確；因?yàn)?，且，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；又因?yàn)?，所以，故D錯誤；故選：AD.三、填空題13．計算__________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算法則即可求得結(jié)果.【詳解】原式故答案為：14．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義以及函數(shù)對稱軸可求得的值，代入解不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由冪函數(shù)定義可知，，解得或又因?yàn)槠鋱D象關(guān)于軸對稱，顯然不合題意；所以.則不等式即為，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：15．函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【分析】由對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)定義域，可確定正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性即可求得其定義域.【詳解】由題意可知，要使函數(shù)各部分有意義，則須滿足即由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)單調(diào)性得；即得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：16．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值等于__________.【答案】##【分析】根據(jù)圖象可求得三角函數(shù)解析式，計算出一個周期內(nèi)的函數(shù)值即可求得結(jié)果.【詳解】由圖象可知，，周期，可得將代入可得，所以經(jīng)計算可知，，所以，易得所以.故答案為：四、解答題17．已知集合.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可求得；（2）由可知，對集合是否為空集進(jìn)行分類討論，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵集合，，∴；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時，則，即；當(dāng)時，則，解得；綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18．關(guān)于x的不等式的解集為，(1)求a，b的值；(2)當(dāng)，且滿足時，有恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為和2是方程的兩個實(shí)數(shù)根，根據(jù)韋達(dá)定理列出方程組，即可求解；（2）由（1）得到，化簡，利用基本不等式求得其最小值，根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化為，即可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，所以和2是方程的兩個實(shí)數(shù)根，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，所以.（2）解：由（1）知，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，可得，解得，所以的取值范圍為?9．求下列值.(1)已知,若,求的值;(2)已知,其中是第三象限角,若,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)先用誘導(dǎo)公式將進(jìn)行化簡,將代入,求得的值,再將分母看作,分式上下同時除以,代入的值即可求出結(jié)果;(2)先根據(jù)是第三象限角,判斷的正負(fù),再對進(jìn)行化簡,將代入,再根據(jù)平方關(guān)系即可求得的值.【詳解】（1）解:由題知,;（2）由題知是第三象限角,,,,,∴,,則.20．已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若對任意，，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，進(jìn)而根據(jù)換元法求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為對任意，不等式恒成立，再求解恒成立問題即可.【詳解】（1）解：令，則，則，故．（2）解：由（1）可得．因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．故．對任意，，不等式恒成立，即對任意，不等式恒成立，則解得或．故的取值范圍是．21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間;(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】(1)增區(qū)間為;減區(qū)間為(2)(3)最小值為,最大值為【分析】(1)根據(jù)解析式及誘導(dǎo)公式,先將化為正,再將放在的單調(diào)區(qū)間內(nèi),即可求得的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)得的單調(diào)遞增區(qū)間,令,,求得遞增區(qū)間,再由即可得出結(jié)果;(3)先由,求出的范圍,再求出的范圍,進(jìn)而得到的范圍,即可得最值.【詳解】（1）解:由題知,令,,得,,令,,得,,故的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為;（2）由(1)可得的單調(diào)遞增區(qū)間為令,在單調(diào)遞增,令,在單調(diào)遞增,令,在單調(diào)遞增,因?yàn)?所以在上的單調(diào)增區(qū)間是;（3）由題知,當(dāng)時,,根據(jù)圖象性質(zhì)可知:,,故,.22．已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若關(guān)于x的方程在上有解，求m的取值范圍；(3)若函數(shù)，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍