高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機變量及其分布 第二章事件的相互獨立性

第二章隨機變量及其分布二項分布及其應(yīng)用2.2.2事件的相互獨立性A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．有以下3個問題：(1)擲一枚骰子一次，事件M：“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件N：“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”；(2)袋中有5紅、5黃10個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M：“第1次摸到紅球”，事件N：“第2次摸到紅球”；(3)分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M：“第1枚為正面”，事件N：“兩枚結(jié)果相同”．這3個問題中，M，N是相互獨立事件的有()A．3個B．2個C．1個D．0個解析：只有(1)中的事件M，N是相互獨立事件．答案：C2．打靶時，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時射擊，則他們同時中靶的概率是()\f(14,25)\f(12,25)\f(3,4)\f(3,5)解析：P甲＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，P乙＝eq\f(7,10)，所以P＝P甲·P乙＝eq\f(14,25).答案：A3．如圖所示，在兩個圓盤中，指針落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()\f(4,9)\f(2,9)\f(2,3)\f(1,3)解析：設(shè)A表示“第一個圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”，則P(A)＝eq\f(2,3)，B表示“第二個圓盤的指針落在奇數(shù)據(jù)在的區(qū)域”，則P(B)＝eq\f(2,3).故P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).答案：A4．兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()\f(1,2)\f(5,12)\f(1,4)\f(1,6)解析：所求概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12)或P＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).答案：B5．加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為()\f(1,35)\f(3,68)\f(3,70)\f(5,69)解析：設(shè)加工出來的零件為次品為事件eq\o(\s\up12(-),\s\do4(A))，則A為加工出來的零件為正品．所以P(A)＝1－P(eq\o(\s\up12(-),\s\do4(A)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(3,70).答案：C二、填空題6．在甲盒內(nèi)的200個螺桿中有160個是A型，在乙盒內(nèi)的240個螺母中有180個是A型．若從甲、乙兩盒內(nèi)各取一個，則能配成A型螺栓的概率為________．解析：從甲盒內(nèi)取一個A型螺桿記為事件M，從乙盒內(nèi)取一個A型螺母記為事件N，因事件M，N相互獨立，則能配成A型螺栓(即一個A型螺桿與一個A型螺母)的概率為P(MN)＝P(M)P(N)＝eq\f(160,200)×eq\f(180,240)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)7．已知P(A)＝，P(B)＝，當(dāng)事件A、B相互獨立時，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．解析：因為A，B相互獨立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝＋－×＝；P(A|B)＝P(A)＝.答案：8．有一道數(shù)學(xué)難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是eq\f(1,2)，乙能解決的概率是eq\f(1,3)，2人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率為________，問題得到解決的概率為________．解析：都未解決的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，問題得到解決就是至少有1人能解決問題，所以P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(2,3)三、解答題9．已知電路中有4個開關(guān)，每個開關(guān)獨立工作，且閉合的概率為eq\f(1,2)，求燈亮的概率．解：因為A，B斷開且C，D至少有一個斷開時，線路才斷開，導(dǎo)致燈不亮，P＝P(AB)[1－P(CD)]＝P(A)P(B)[1－P(CD)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(3,16).所以燈亮的概率為1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).10．某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委，甲當(dāng)選的概率為eq\f(4,5)，乙當(dāng)選的概率為eq\f(3,5)，丙當(dāng)選的概率為eq\f(7,10).(1)求恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率；(2)求至多有兩人當(dāng)選的概率．解：設(shè)甲、乙、丙當(dāng)選的事件分別為A，B，C，則有P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,5)，P(C)＝eq\f(7,10).(1)因為A，B，C相互獨立，所以恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率為P(Aeq\o(\s\up14(—),\s\do5(B))eq\o(\s\up14(—),\s\do5(C)))＋P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(A))Beq\o(\s\up14(—),\s\do5(C)))＋P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(A))eq\o(\s\up14(—),\s\do5(B))C)＝P(A)P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(B)))P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(C)))＋P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(A)))P(B)P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(C)))＋P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(A)))P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(B)))P(C)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).(2)至多有兩人當(dāng)選的概率為1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(83,125).B級能力提升1．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個球，則eq\f(2,3)等于()A．2個球不都是紅球的概率B．2個球都是紅球的概率C．至少有1個紅球的概率D．2個球中恰有1個紅球的概率解析：分別記從甲、乙袋中摸出一個紅球為事件A、B，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A、B相互獨立，所以1－P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(A)))P(eq\o(\s\up14(—),\s\do5(B)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).根據(jù)互斥事件可知C正確．答案：C2．一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為，則服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為________(用數(shù)字作答)．解析：分情況討論：若共有3人被治愈，則P1＝Ceq\o\al(3,4)×(1－＝6；若共有4人被治愈，則P2＝＝1.故至少有3人被治愈的概率為P＝P1＋P2＝7.答案：73．已知A，B，C為三個獨立事件，若事件A發(fā)生的概率是eq\f(1,2)，事件B發(fā)生的概率是eq\f(2,3)，事件C發(fā)生的概率是eq\f(3,4)，求下列事件的概率：(1)事件A、B、C只發(fā)生兩個；(2)事件A、B、C至多發(fā)生兩個．解：(1)記“事件A，B，C只發(fā)生兩個”為A1，則事件A1包括三種彼此互斥的情況，ABeq\o(\s\up12(—),\s\do4(C))；Aeq\o(\s\up12(—),\s\do4(B))C；eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))BC，由互斥事件概率的加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，所以概率為P(A1)＝P(ABeq\o(\s\up12(—),\s\do4(C)))＋P(Aeq\o(\s\up12(—),\s\do4(B))C)＋P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))BC)＝eq\f(2,24)＋eq\f(3,24)＋eq\f(6,24)＝eq\f(11,24)，所以事件A，B，C只發(fā)生兩個